极低截断维度下高维积分的数值计算
Very Low Truncation Dimension for High Dimensional Integration Under Modest Error Demand
AI总结：
本文研究了在误差要求不高的情况下，利用仅k个变量的四次方近似高维积分的方法，证明了当维度s足够大时，k随着误差需求ε的增加而显著减小。
摘要：
我们考虑了加权锚定和ANOVA Sobolev空间中s元函数的数值积分问题。这里s是大的，包括s=∞。在假设权重足够快速衰减的条件下，我们证明了通过仅k个变量的函数f_k的四次方可以近似这些积分，其中k=k(ε)仅依赖于误差需求ε，并且当s相对于ε足够大时，k(ε)出人意料地小。这尤其适用于s=∞和任意ε，因为此时对于所有ε，k(ε)<∞。此外，k(ε)不依赖于被积分的函数，即对于单位球空间中的所有函数，k(ε)是相同的。
英文摘要：
We consider the problem of numerical integration for weighted anchored and ANOVA Sobolev spaces of $s$-variate functions. Here $s$ is large including $s=\infty$. Under the assumption of sufficiently fast decaying weights, we prove in a constructive way that such integrals can be approximated by quadratures for functions $f_k$ with only $k$ variables, where $k=k(\varepsilon)$ depends solely on the error demand $\varepsilon$ and is surprisingly small when $s$ is sufficiently large relative to $\varepsilon$. This holds, in particular, for $s=\infty$ and arbitrary $\varepsilon$ since then $k(\varepsilon)<\infty$ for all $\varepsilon$. Moreover $k(\varepsilon)$ does not depend on the function being integrated, i.e., is the same for all functions from the unit ball of the space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
