海森堡群中旋转环的模
Modulus of revolution rings in the Heisenberg group
AI总结：
本文研究海森堡群中旋转环内水平边界连接曲线族的模，证明在特定几何条件下其模为 π²(log(b/a))⁻³，并应用于 Korányi 球面、Carnot-Carathéodory 球面及气泡集等曲面。
摘要：
设 $\mathcal{S}$ 是嵌入海森堡群 $\mathcal{H}$ 中的旋转曲面。旋转环 $R_{a,b}(\mathcal{S})$，$0<a<b$，是 $\mathcal{H}$ 中由 $\mathcal{S}$ 的两个伸缩像所围成的区域，其伸缩因子分别为 $a$ 和 $b$。我们证明：若 $\mathcal{S}$ 满足某些几何条件，则 $R_{a,b}(\mathcal{S})$ 内部水平边界连接曲线族 $Γ$ 的模为 $$ {\rm Mod}(Γ)=π^2(\log(b/a))^{-3}. $$ 我们的结果适用于许多有趣的曲面，例如 Korányi 度量球面、Carnot-Carathéodory 度量球面和气泡集。
英文摘要：
Let $\mathcal{S}$ be a surface of revolution embedded in the Heisenberg group $\mathcal{H}$. A revolution ring $R_{a,b}(\mathcal{S})$, $0<a<b$, is a domain in $\mathcal{H}$ bounded by two dilated images of $\mathcal{S}$, with dilation factors $a$ and $b$, respectively. We prove that if $\mathcal{S}$ is subject to certain geometric conditions, then the modulus of the family $Γ$ of horizontal boundary connecting curves inside $R_{a,b}(\mathcal{S})$ is $$ {\rm Mod}(Γ)=π^2(\log(b/a))^{-3}. $$ Our result applies for many interesting surfaces, e.g., the Korányi metric sphere, the Carnot-Carathéodory metric sphere and the bubble set.
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