A Schur Complement Cheeger Inequality
Cheeger不等式表明，任何具有最小非零归一化Laplacian特征值$λ_G$的无向图$G$具有电导至多为$O(\sqrt{λ_G})$的割。定性地说，Cheeger不等式说，如果图的弛豫时间很高，则存在证明这一点的切割。然而，在这种关系中存在差距，因为切割可以具有低至$Θ(λ_G)$的电导。为了更好地近似图的弛豫时间，我们考虑一个更一般的对象。而不是边界的混合时间与削减，我们绑定它与削减图中获得的Schur补充了顶点从图$G$。组合地，这些舒尔补描述随机游动在$G$限制到其顶点的子集。因此，所有Schur补体切割具有至少$Ω(λ_G)$的电导。我们表明，与削减，这种不平等是紧到一个常数的因素。具体地，存在电导至多为$O(λ_G)$的舒尔互补切割。
2018-11-27 cs.DM cs.DS math.PR
A linear k-fold Cheeger inequality
给定一个无向图$G$，经典的Cheeger常数$h_G$测量顶点的最佳划分为2部分，它们之间的边相对较少，基于部分的大小。著名的Cheeger不等式指出，$2 λ_1 \le h_G \le \sqrt {2 λ_1}$，其中$λ_1$是归一化拉普拉斯矩阵的最小非平凡特征值。最近的工作推广了Cheeger常数的概念时，划分成$k > 2$部分图的顶点。虽然有几种方法，最近的结果表明，这些高阶Cheeger常数被严格控制的$λ_{k-1}$，$(k-1)$的非平凡的特征值，在一个二次因子。我们提出了一个新的高阶Cheeger不等式，并给出了几个新的观点。首先，我们使用另一种高阶Cheeger常数，它考虑了“平均情况”的方法。我们表明，这一措施是有关的平均值的第一个$k-1$非平凡特征值的归一化拉普拉斯矩阵。此外，使用最近的技术，我们的结果提供了线性不等式使用相应的特征向量的$\infty$ -范数。因此，与以前的结果不同，即使当$λ_{k-1} \to 1$。
2015-02-27 cs.DM cs.DS math.CO
Multi-way spectral partitioning and higher-order Cheeger inequalities
谱图论中的一个基本事实是：无向图的连通分支数等于该图的拉普拉斯矩阵的特征值零的重数。特别地，图是不连通的当且仅当至少有两个特征值等于零。Cheeger不等式及其变体提供了后一个事实的近似版本;它们指出，当且仅当至少有两个特征值接近于零时，图具有稀疏割。已经证实，类似的表征适用于更高的多重性，即，当且仅当顶点集可以被划分为$k$子集，每个子集定义稀疏割时，存在接近于零的$k$特征值。我们解决这个猜想。我们的结果提供了一个理论上的理由聚类算法，使用底部$k$特征向量嵌入到$\mathbb R^k$的顶点，然后应用几何考虑嵌入。我们还表明，这些技术产生一个接近最佳的折衷之间的扩展集的大小$\approx n/k$，和$k$次最小特征值的归一化拉普拉斯矩阵，表示$λ_k$。特别地，我们证明了在每一个图中，有一个集合的大小最多$2n/k$的扩展最多$O(\sqrt{λ_k \log k})$。这个界是紧的，常数因子，为“噪音超立方体”图。
2014-11-21 cs.DS math.MG math.SP
Cheeger Inequalities for Submodular Transformations
无向图的Cheeger不等式是谱图理论的基石，它将无向图的电导与其归一化拉普拉斯算子的第二小特征值联系起来。Cheeger不等式已经被推广到有向图和超图，对于那些不再是线性的而是分段线性变换的图和超图，使用归一化拉普拉斯算子。在本文中，我们介绍了一个子模变换$F:\{0,1\}^n \to \mathbb{R}^m$的概念，它适用于$m$子模函数的$n$维输入向量，然后介绍其拉普拉斯算子和规范化拉普拉斯算子的概念。利用这些概念，我们给出了一个次模变换的Cheeger不等式，它将次模变换的电导与其正规化Laplacian的最小非平凡特征值联系起来，从而统一和推广了已有的Cheeger不等式.这一结果恢复了无向图、有向图和超图的Cheeger不等式，并导出了新的互信息和有向信息的Cheeger不等式.在小集合展开假设下，计算次模变换的正规化拉普拉斯算子的最小非平凡特征值是NP困难的。在本文中，我们提出了一个多项式时间的$O(\log n)$ -近似算法的对称情况下，这是紧的，和多项式时间的$O(\log^2n+\log n \cdot \log m)$ -近似算法的一般情况。我们期望与次模变换有关的代数，或\emph{submodular algebra}，在将来不仅对谱图理论的推广，而且对分析涉及分段线性变换的其他问题，例如，深度学习。
2018-10-12 cs.DS math.SP
Approximating the Expansion Profile and Almost Optimal Local Graph Clustering
谱分割是一个简单的，近线性时间，算法来寻找稀疏切割，和Cheeger不等式提供了一个最坏情况下的保证，该算法找到的近似的质量。局部图划分算法[ST 08，ACL 06，AP 09]在输出集的大小上几乎是线性的时间上运行，并且它们的近似保证比由多重对数$\log^{Ω(1)} n$因子的Cheeger不等式提供的保证更差。设计一个局部图聚类算法，使其近似保证接近于Cheeger不等式的保证，并且其运行时间与输出的大小近似成线性关系，一直是一个长期存在的问题。在本文中，我们解决了这个问题，我们设计了一个算法，具有相同的保证（直到一个常数因子）的Cheeger不等式，运行时间略超线性的输出的大小。这是第一个次线性（输入的大小）时间算法，几乎与Cheeger不等式相同。作为我们的结果的副产品，我们证明了一个双准则近似算法的任何图的扩展配置文件。设$ϕ(γ) = \min_{μ(S) \leq γ}ϕ(S)$。有一个多项式时间算法，对于任何$γ,ε>0$，找到测量$μ(S)\leq 2γ^{1+ε}$和扩展$ϕ(S)\leq \sqrt{2ϕ(γ)/ε}$的集合$S$。我们的证明技术还提供了一个更简单的证明的结构结果的Arora，Barak，Steurer [ABS 10]，可以应用到不规则图。我们的主要技术工具是，对于图的顶点的任何集合$S$，从$S$的随机选择的顶点开始的惰性$t$ -步…
2012-11-05 cs.DS
Cheeger Inequalities for Directed Graphs and Hypergraphs Using Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
我们推导出Cheeger不等式的有向图和超图使用的加权特征值的方法，最近开发的顶点扩张无向图[OZ22，KLT22，JPV22]。目标是开发有向图的新谱理论和超图的替代谱理论。第一个主要结果是一个Cheeger不等式，它将有向图$G$的顶点扩展$\vecψ(G)$与顶点容量限制的最大加权第二特征值$\vecλ_2^{v*}$联系起来：\[ \vecλ_2^{v*} \lesssim \vecψ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{v*} \cdot \log (Δ/\vecλ_2^{v*})}. \]这提供了一个由顶点扩展得到的有向图的最快混合时间的组合特征，并建立了有向图的加权特征值、顶点扩展和最快混合时间之间的新联系。第二个主要结果是将有向图$G$的边电导$\vecϕ(G)$与边容量限制的最大重加权第二特征值$\vecλ_2^{e*}$相关联的更强的Cheeger不等式：\[ \vecλ_2^{e*} \lesssim \vecϕ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{e*} \cdot \log (1/\vecλ_2^{e*})}. \]这为有向图提供了作为扩展器的证书和在有向图中找到稀疏切割的谱算法，在证明图的扩展和无向图的谱划分算法中，扮演着与Cheeger不等式类似的角色。我们还利用这种重加权特征值方法导出了有向图的改进的Cheeger…
2022-11-17 cs.DM cs.DS cs.LG
Cheeger Inequalities for Vertex Expansion and Reweighted Eigenvalues
经典的Cheeger不等式将图的边电导$ϕ$与Laplacian矩阵的次小特征值$λ_2$联系起来。最近，Olesker-Taylor和Zanetti发现了一个Cheeger型不等式$ψ^2 / \log |V| \lesssim λ_2^* \lesssim ψ$，它将图$G=(V,E)$的顶点展开$ψ$与Laplacian矩阵的最大加权次小特征值$λ_2^*$联系起来.本文首先将他们的结果改进为$ψ^2 / \log d \lesssim λ_2^* \lesssim ψ$，其中$d$是$G$中的最大度，在小集扩张猜想下是最优的.此外，改进的结果适用于加权顶点扩展，回答了Olesker-Taylor和Zanetti的一个公开问题。建立在这个连接，我们然后开发一个新的谱理论的顶点扩展。我们发现，几个有趣的广义的Cheeger不等式有关的边缘电导和特征值有密切的模拟有关的顶点扩展和加权特征值。其中包括Trevisan的二分性结果的模拟，高阶Cheeger不等式的模拟，以及改进的Cheeger不等式的模拟。最后，受这种联系的启发，我们给出了Mihail和Vazirani提出的$0/1$ -多面体边扩张猜想的否定证据.我们构造了$0/1$ -多面体，其图具有非常差的顶点扩展。这意味着在这些$0/1$ -多面体的顶点上均匀分布的最快混合时间在图的大小上几乎是线性的。这并没有提供一个反例的…
2022-09-19 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Cheeger Cuts in Hypergraphs via Heat Equation
Cheeger不等式指出，可以使用与$G$相关联的归一化拉普拉斯算子的特征向量从图$G$中提取紧密连接的子集。更具体地，我们可以计算具有电导$O(\sqrt{ϕ_G})$的子集，其中$ϕ_G$是$G$中的集合的最小电导。最近的研究表明，Cheeger不等式可以推广到超图。然而，由于超图的归一化拉普拉斯算子不再是矩阵，我们只能近似其特征向量;这导致所获得的子集的电导损失。为了解决这个问题，我们在这里考虑超图上的热方程，这是一个利用归一化拉普拉斯算子的微分方程。我们表明，热方程有一个唯一的解决方案，我们可以提取一个子集的电导$\sqrt{ϕ_G}$从解决方案。一个类似的结果也适用于有向图。
2019-09-11 cs.DM cs.DS cs.NA
Hypergraphs as Weighted Directed Self-Looped Graphs: Spectral Properties, Clustering, Cheeger Inequality
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Meta
本文提出了一种基于随机游走的超图谱聚类算法HyperClus-G，解决了EDVW超图的谱理论、聚类和切比雪夫不等式问题。
2026-02-20 cs.DM cs.DS cs.LG
Local Graph Clustering Beyond Cheeger's Inequality
MIT（麻省理工学院）；Google Research（谷歌研究院）
受大规模图聚类应用的启发，我们研究了基于随机游走的聚类算法，其运行时间仅取决于输出聚类的大小，而不是整个图。当目标集合$A$具有电导$ϕ(A)\in[0,1]$时，所有先前已知的这种算法保证输出电导为$\tilde{O}(\sqrt{ϕ(A)})$。本文将其改进为$$\tilde{O}\bigg( \min\Big\{\sqrt{ϕ(A)}, \frac{ϕ(A)}{\sqrt{\mathsf{Conn}(A)}} \Big\} \bigg)\enspace, $$，其中内部连通性参数$\mathsf{Conn}(A) \in [0,1]$定义为$A$上诱导子图上随机游动的混合时间的倒数.例如，使用$\mathsf{Conn}(A) = Ω(λ(A) / \log n)$，其中$λ$是$A$上导出子图的拉普拉斯算子的第二特征值，我们的电导保证可以与$\tilde{O}(ϕ(A)/\sqrt{λ(A)})$一样好。这与所谓的改进的Cheeger不等式[KKL+13]的最新进展建立了一个有趣的联系，该不等式认为全局谱算法可以提供$O(ϕ_{\mathsf{opt}}/\sqrt{λ_3})$而不是$O(\sqrt{ϕ_{\mathsf{opt}}})$的电导保证。此外，我们提供了理论保证的聚类精度（在精度和召回率方面）的输出集。我们还证明了我们的分析是严密的，并进行实证评估，以支持我们…
2013-11-07 cs.DS cs.LG stat.ML
A sharp higher-order Cheeger inequality
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文证明了归一化拉普拉斯算子的第 k 个特征值与 k 个不相交集合的最大电导之间存在多对数阶的 Cheeger 不等式，并给出了构造性证明，为谱聚类提供了理论保证。
2026-10-06 cs.DS math.CO math.SP
Max Cut and the Smallest Eigenvalue
我们描述了一个新的近似算法的最大切割。我们的算法运行在$\tilde O(n^2)$的时间，其中$n$是顶点的数量，并实现了$.531$的近似比。在最优解切割$1-ε$边缘分数的情况下，我们的算法找到切割$1-4\sqrtε + 8ε-o(1)$边缘分数的解决方案。我们的主要结果是一个变种的频谱分割，它可以在近线性时间内实现。给定一个图，其中最大切割最优是边缘的$1-ε$分数，我们的谱分割算法找到一组$S$的顶点和$S$的二分区$L,R=S-L$，使得至少一个$1-O(\sqrt ε)$分数的边缘事件在$S$有一个端点在$L$和一个端点在$R$。(This可以被视为图的邻接矩阵的最小特征值的Cheeger不等式的模拟。）迭代此过程产生上述近似结果。一种不同的、更复杂的谱划分变体导致$\tilde O(n^3)$时间算法，该算法在最优值为$1/2 + ε$的图中切割边缘的$1/2 + e^{-Ω(1/\eps)}$部分。
2008-12-08 cs.DS
Fast Algorithms for Directed Graph Partitioning Using Flows and Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究提出加入三角不等式的有向边扩展半定规划松弛，结合矩阵乘法权重更新得到近似线性时间的近似算法与改进割匹配博弈，构建了有向图划分的最优流框架，且可推广至顶点扩展与超图问题。
2023-06-15 cs.DM cs.DS cs.LG
A Ptolemaic Partitioning Mechanism
多年来，精确度量搜索依赖于三角不等式的性质来给出未计算距离的下界。两种排除机制从这个属性衍生，通常称为枢轴排除和超平面排除。这些机制可以在任何适当的度量空间中工作，并且是许多度量索引机制的基础。最近，托勒密和四点下界性质已被证明在度量空间的某些子类中给出更紧的界。三角不等式和四点下界都直接暗示了直接的划分机制：即根据固定划分划分有限空间的方法，以便在查询时可以从搜索中消除一个或多个划分类。然而，到目前为止，没有划分原则已被确定为托勒密不等式，这一直被用作过滤机制。在这里，提出了一种新的分割机制的托勒密下界。它总是比枢轴或超平面分区更好。虽然排斥条件本身比希尔伯特（四点）排斥弱，但它的计算更便宜。此外，它可以与希尔伯特排除相结合，给出一个新的最大排除功率相对于每个查询测量的距离的数量。
2022-08-19 cs.DS cs.IR
On the Houdré-Tetali conjecture about an isoperimetric constant of graphs
本研究针对Houdré-Tetali关于图等周常数的猜想，给出反例证明对数因子必要，用谱论达到已知界，并证明对p>1/2猜想成立，可推广至有向图。
2024-07-16 cs.DM cs.DS math.CO
Spectral Clustering on Large Datasets: When Does it Work? Theory from Continuous Clustering and Density Cheeger-Buser
Google（谷歌）；CMU（卡内基梅隆大学）
本文通过连续聚类和密度Cheeger-Buser不等式，从理论上分析了谱聚类在大数据集上的适用条件，指出其在拉普拉斯混合分布上有效而在某些密度上失效。
2023-05-11 cs.AI cs.DS cs.LG
Hypergraph Markov Operators, Eigenvalues and Approximation Algorithms
著名的Cheeger不等式\cite{am85,a86}通过图的谱建立了图的扩张的界。这个不等式是一个丰富的谱理论的核心，基于研究图的邻接矩阵（和其他相关矩阵）的特征值和特征向量。定义一个合适的超图的谱模型，其谱可以用来估计超图的各种组合性质，这是一个开放的问题。本文引入了一种新的超图Laplacian算子（推广了图的Laplacian矩阵），并研究了它的谱。证明了超图的一个Cheeger型不等式，并将该算子的第二小特征值与超图的扩张联系起来。我们通过该算子的高特征值来约束其他超图展开参数。我们给出了作为Laplacian算子第二小特征值的函数的超图的直径的界。拉普拉斯算子的马尔可夫过程可以被看作是超图顶点上的离散过程，这可能是独立的。我们将此过程的{ \em混合时间}作为拉普拉斯算子的第二小特征值的函数。所有这些结果都是图的相应结果的推广。我们发现，可以有没有线性算子的超图的光谱捕捉超图膨胀在一个Cheeger样的方式。对于任何$k$，我们给出了一个多项式时间算法来计算算子的$k^{th}$最小特征值的近似。我们表明，这个近似因子是最佳的SSE假设（\cite{rs10}介绍）下的恒定值的$k$。最后，利用从图的顶点扩张到超图扩张的保因子约简，我们证明了我们关于超图的所有结果都推广到了图的顶点扩张。
2014-10-30 cs.DM cs.DS
Partitioning into Expanders
设G=（V，E）是一个无向图，λ k是G的正规拉普拉斯矩阵的第k个最小特征值.代数图论中有一个基本事实：λ k > 0当且仅当G至多有k-1个连通分支。我们证明了这一事实的一个强有力的版本。若λ_k>0，则对于某1个\leq \ell \leq k-1，V可以{ \em划分}为l个集合P_1，\ldots，P_1，使得每个P_i是G中的低电导集合并诱导高电导诱导子图.特别地，n（P_i）=O（l ^3 \sqrt{λ_l}）且n（G[P_i]）>= λ_k/k^2）。我们通过设计一个简单的多项式时间谱算法来找到G的这种划分，使我们的结果算法化。与最近关于高阶Cheeger不等式的结果[LOT 12，LRTV 12]不同，我们的算法结果不使用G的高阶特征函数。如果在λ_k和lambda_{k+1}之间存在足够大的间隙，更准确地说，如果λ_{k+1} >= \poly（k）lambda_{k} ^{1/4}，则我们的算法找到V到集合P_1，.，P_k，使得导出子图G[P_i]的电导显著大于P_i在G中的电导。这样的划分可以表示G的最佳k聚类。我们的算法是一个简单的局部搜索，只使用光谱分割算法作为一个子程序。我们期望看到这个简单的算法在聚类应用中的进一步应用。
2013-12-06 cs.DS math.SP stat.ML
Reweighted Spectral Partitioning Works: A Simple Algorithm for Vertex Separators in Special Graph Classes
本文提出重加权谱划分这一多项式时间算法，通过改进Cheeger型不等式、推导半定规划界，为多类特殊图求得小规模2/3平衡顶点分隔器，同时得到若干相关独立结果。
2026-10-16 cs.CG cs.DM cs.DS
Spectral Sparsification of Simplicial Complexes for Clustering and Label Propagation
作为使用图来描述成对相互作用的推广，单纯复形可以用于模拟复杂系统中三个或更多对象之间的高阶相互作用。最近出现了一个激增的活动，适用于单纯形复形的数据分析方法的发展，包括基于计算拓扑，高阶随机过程，广义Cheeger不等式，等周不等式和谱方法的技术。特别是，谱学习方法（如标签传播和聚类），直接操作的单纯复合代表了分析这样的复杂数据集的新方向。为了将谱学习方法应用于建模为单纯复形的海量数据集，我们开发了一种用于稀疏化单纯复形的方法，该方法保留了相关拉普拉斯矩阵的谱。我们表明，Spielman和Srivastava的稀疏化的图形的理论扩展到单纯复合物通过拉普拉斯算子。特别是，我们引入了一个广义的有效电阻的单纯形，提供了一个算法稀疏单纯复形在一个固定的维度，并给出了一个特定版本的广义Cheeger不等式加权单纯复形。最后，我们介绍了高阶概括的谱聚类和标签传播的单纯形复合物，并通过实验证明了这些应用程序的实用性所提出的频谱稀疏化方法。
2019-02-01 cs.CG cs.DM cs.DS
Sparse Cuts in Hypergraphs from Random Walks on Simplicial Complexes
本研究衔接超图研究的两大分支，分析单纯复形上不同游走的谱隙与超图扩张、电导率的关联，证明部分游走谱隙无法推导超图电导率界，给出类Cheeger不等式，并验证链环扩张无法以类Cheeger方式界超图扩张。
2023-10-03 cs.DS math.CO
