Expansions of one density via polynomials orthogonal with respect to the other
本文将切比雪夫多项式及其某些线性组合推广到q-Hermite、Rogers（q-超球面）和Al-Salam-Chihara多项式的线性组合中，反之亦然。我们使用这些展开式来获得一些密度的展开式，包括q-正规和一些与之相关的，在由与之正交的其他密度倍多项式的乘积构造的无穷级数中，允许更深入的分析和发现新的性质。在路上，我们找到了一个简单的证明扩展的泊松-Mehler内核以及其倒数。我们还制定了简单的规则有关的一组正交多项式的其他给定的性质的比例的措施正交这些多项式集的各自的密度。
2011-05-04 math.CA math.PR
Expected Euler characteristic method for the largest eigenvalue: (Skew-)orthogonal polynomial approach
本文利用单位向量二次型表示最大特征值，提出带辅助条件的斜正交多项式并建立一大类正交不变随机矩阵的 EEC 尾概率近似，且证明其在经典矩阵系的边缘渐近下近似 Tracy-Widom 分布。
2023-08-16 math.PR math.ST stat.TH
Variance of real zeros of random orthogonal polynomials
我们确定的随机线性组合的正交多项式的次数$\leq n$在子区间$\left [ a,b\right ] $的支持下的正交性措施$μ$的零的数量的方差的渐近。我们表明，作为$n\rightarrow \infty $，这个方差是渐近的$cn$，一些明确的常数$c>0$。
2021-01-17 math.CV math.PR
Topological expansion for Haar-distributed orthogonal matrices and second-order freeness of orthogonally invariant ensembles
本文给出了Haar分布正交矩阵表达式迹积期望值的亏格展开式。与其他实亏格展开式一样，除了复展开式的可定向曲面之外，还出现了不可定向曲面。我们用这个表达式证明了在一般位置上正交的独立随机矩阵，如分布正交不变的矩阵，是渐近实二阶自由的。
2015-11-03 math.OA math.PR
New isometry of Krall-Laguerre orthogonal polynomials in martingale spaces
正交鞅的集合是重要的，因为它们可以用作一种混沌表示性质的随机积分器，见[20]。本文重新讨论了W. Schoutens在[21]中，研究了如何将拉盖尔权函数的Uvarov变换导出的内积用于与某个Lévy过程相关的鞅序列的正交化过程，称为Teugels鞅。由于Uvarov变换依赖于c<0，我们能够提供无限个强正交鞅集，每个强正交鞅集对应于（-infty，0）中的每个c。以类似于[21]的方式，我们引入了Teugels鞅的多项式空间和线性组合空间之间的适当等距以及一般的正交化过程。最后，将新构造应用于Gamma过程.
2013-11-18 math.PR
Zeros of random linear combinations of OPUC with complex Gaussian coefficients
本文研究了$$P_n(z)=\sum_{j=0}^nη_jϕ_j(z),$$型随机线性组合在任意Jordan区域$Ω\subset \mathbb C$中的零分布。基函数$ϕ_j$是单位圆上的正交多项式（OPUC），其在实数线上是实值的，并且$η_0,\dots,η_n$是复值iid高斯随机变量。对于每个固定的$n$，我们导出了$Ω$中$P_n$的零点数目的显式强度函数。使用Christoffel-Darboux公式，强度函数具有非常简单的形状。此外，我们给出了当正交多项式与SzegIgn权相关联时强度函数的极限值。
2016-08-10 math.CV math.PR
Real roots of random orthogonal polynomials with exponential weights
我们考虑随机正交多项式$$ P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}ξ_{i}p_{i}(x), $$，其中$ξ_{0}$，. . .，$ξ_{n}$是具有零均值、单位方差和一致有界$(2+\ep_0)$ -矩的独立随机变量，$\{p_n\}_{n=0}^{\infty}$是关于实数线上一般指数权$W$的正交多项式组.这类正交多项式包括流行的埃尔米特和弗洛伊德多项式。我们建立了普遍性的预期数量的实根的$P_n$，全球和当地的领先渐近。此外，我们还发现了$P_n.$的所有根的测度的几乎必然极限。这是通过在正交多项式的经典三项递归关系的背景下引入逆Littlewood-Offord理论的新思想来建立反集中性质，并通过将普适性方法应用于$W P_n.$形式的加权随机正交多项式来实现的
2022-12-30 math.PR
On the expected number of critical points of locally isotropic Gaussian random fields
该研究利用高斯正交不变矩阵，建立非各向同性高斯随机场临界点期望数的Kac–Rice表示，并证明无穷维极限下该表示可由GOE矩阵给出，验证了相关猜想。
2024-01-30 math-ph math.MP math.PR
Spacings in Orthogonal and Symplectic Random Matrix Ensembles
研究了不变随机矩阵系综中最近邻特征值间距分布的普适性。着重于正交和辛不变系综，我们表明，经验间距分布收敛在一个统一的方式。更确切地说，主要结果表明，随着矩阵大小趋于无穷大，经验间距分布与其普适极限的期望柯尔莫哥洛夫距离收敛于零。
2015-01-22 math-ph math.MP math.PR
Quasi-birth-and-death processes and multivariate orthogonal polynomials
本文研究了由二元正交多项式理论导出的拟生灭（QBD）过程的一些模型。首先，我们将看到如何在一般的设置，以及获得有关的结果，这些过程的递归和不变测度，支持某些域$Ω\subset\mathbb{R}^d$的谱测度。然后，我们将把我们的结果应用到二元正交多项式的几个例子，即产品正交多项式，正交多项式上的抛物型域和三角形上的正交多项式。我们将专注于这些多项式产生的雅可比矩阵的线性组合，并产生连续或离散时间QBD过程的家庭。最后，我们展示了一些与这些QBD过程相关的瓮模型。
2020-02-12 math.CA math.PR
Lévy processes, martingales, reversed martingales and orthogonal polynomials
研究了一类分布可由矩识别的Lévy过程。我们定义多项式鞅系统\newline $\left\{ M_{n}(X_{t},t),\mathcal{F}_{\leq t}\right\} _{n\geq 1},$，其中$% \mathcal{F}_{\leq t}$是下面定义的合适的过滤。我们提出了这些鞅的几个性质。其中，我们证明了$% M_{1}(X_{t},t)/t$是一个逆鞅，以及一个利用。本文的主要结果是关于鞅$M_{i}$乘以适当的确定性函数$μ_{i}(t)$是否为逆鞅的问题。我们证明了对于$n\geq 3$，只有当Lévy过程是高斯过程（即Wiener过程）时，$M_{n}(X_{t},t)$才是逆鞅（或正交多项式）。我们还研究了一个更一般的问题，如果有机会的线性组合（系数取决于$t)$的鞅$M_{i},$ $i\allowbreak =\allowbreak 1,\ldots ,n$是逆鞅。我们详细分析了病例$% n\allowbreak =\allowbreak 2$，列出了所有可能的病例。
2014-03-17 math.PR
The complex zeros of random orthogonal polynomials
利用柯西辐角原理，结合多复变数全纯函数的雅可比矩阵和两个相关复正态随机变量之比的一阶矩，给出了单位圆和单位圆盘上由正交多项式张成的随机多项式的复零点的密度和平均分布的显式表达式.然后，我们探讨其渐近评价的后果。
2022-01-07 math.CA math.CV math.PR
Zeros of Complex Random Polynomials Spanned by Bergman Polynomials
研究了$$P_n(z)=\sum_{k=0}^nη_kp_k(z),$$的零点期望个数，其中$\{η_k\}$是复值独立同分布的标准高斯随机变量，$\{p_k(z)\}$是单位圆盘上正交的多项式.当$p_k(z)=\sqrt{(k+1)/π} z^k$，$k\in \{0,1,\dots, n\}$，我们给出了一个明确的公式$P_n(z)$的零的期望数在一个半径为$r\in (0,1)$的圆盘中心的原点。从我们的公式中，我们建立了期望的零的数量的极限值，期望的零的数量在一个径向膨胀的磁盘，并表明，期望的零的数量在单位磁盘是$2n/3$。将基函数$\{p_k(z)\}$推广为Ullman-Stahl-Totik意义下的正则基函数，并证明多项式的正交性测度关于平面勒贝格测度是绝对连续的，给出了以原点为中心的半径为$r\in (0,1)$的圆盘中$P_n(z)$的期望零点数的极限值，并证明了单位圆盘中零点的期望个数渐近为$2n/3$。
2020-07-07 math.CA math.PR
Conditional Expectation as Quantile Derivative
对于随机变量的线性组合，固定某个置信水平，并考虑该水平下组合的分位数。我们感兴趣的是分位数关于组合中随机变量权重的偏导数。结果表明，在适当的条件下，随机变量的联合分布的导数存在，并符合变量的条件期望，给定它们的组合正好等于分位数。此外，使用这个结果，我们推导出公式的衍生工具相对于所谓的预期不足（第一或更高的时刻）的组合的变量的权重。最后，我们研究了一些更详细的相干性的情况下，它被定义为一个第一条件的时刻的期望短缺。关键词：分位数;风险价值分位数导数;条件期望;预计短缺;条件风险价值;一致性风险度量。
2001-04-19 math.OC math.PR q-fin.PR
Finite Markov chains and multiple orthogonal polynomials
本文利用正交多项式与多重正交多项式的递推矩阵构建有限马尔可夫链，推导其谱理论与多项性质，揭示生灭过程因式分解特性，并结合超几何多项式实例验证，构建对应常返链与反转链。
2024-07-10 math-ph math.CA math.MP
