Algebraic Conditions for Stability in Runge-Kutta Methods and Their Certification via Semidefinite Programming
本文通过线性矩阵不等式凸可行性问题，结合平方和规划与强化代数条件，严格认证Runge-Kutta方法的A-和A(α)-稳定性，并应用于对角隐式格式。
2024-05-22 cs.NA math.NA math.OC
O numeričkom rješavanju Cauchyjevog problema Runge-Kutta metodama na Shishkinovoj mreži
本文在Shishkin网格上，用两种显式和一种隐式Runge-Kutta方法求解奇异摄动Cauchy问题，并比较了数值结果。
2023-06-18 cs.NA math.NA
Projective Integration Methods in the Runge-Kutta Framework and the Extension to Adaptivity in Time
本文将投影积分方法统一纳入Runge-Kutta框架，证明其一致性与阶条件，并利用分块和嵌入式Runge-Kutta方法扩展空间与时间自适应性。
2024-01-19 cs.NA math.NA
A unified framework on the original energy laws of three effective classes of Runge-Kutta methods for phase field crystal type models
针对相场方程Runge-Kutta方法原始能量耗散律的理论障碍，提出三类有效Runge-Kutta方法能量稳定性的统一框架，证明微分矩阵正定时方法保持能量耗散律，为相关非线性稳定性研究开辟新途径。
2024-12-10 cs.NA math.NA
Runge-Kutta Lawson schemes for stochastic differential equations
本文提出了一个构造一般随机Runge-Kutta Lawson格式的框架。我们证明了该计划继承的一致性和收敛性的基本Runge-Kutta格式，并证实了这一点在一些数值实验。我们还调查的方法的稳定性，并显示一些例子，新的计划相比，基础计划的稳定性有所改善。
2020-10-05 cs.NA math.NA
A short note on the stability of a class of parallel Runge-Kutta methods
本文研究一类用于 ODE 并行求解的块预测-校正 Runge-Kutta 格式，填补了其线性稳定性理论中的既有空白。
2023-06-01 cs.NA math.NA
On Runge-Kutta methods of order 10
University of Arizona（亚利桑那大学）
本文提出了一种显式15阶段阶数为10的龙格-库塔方法，用于提高数值解的精度与稳定性。
2025-05-17 cs.NA math.NA
On the Parametric Instability Caused by Step Size Variation in Runge-Kutta-Nyström Methods
研究了变步长Runge-Kutta-Nyström（RKN）方法数值积分常微分方程时的参数不稳定性.结果表明，当线性常系数常微分方程与基于A-稳定龙格-库塔法的RKN方法相结合时，对于所有的正步长，无论是常数还是变步长，其解在某种范数下都是不增的.扰动法用于量化与参数不稳定性相关的临界步长。
2012-09-24 cs.NA math.NA
Rooted Tree Analysis for Order Conditions of Stochastic Runge-Kutta Methods for the Weak Approximation of Stochastic Differential Equations
Darmstadt University of Technology（达姆施塔特工业大学）
本文通过根树分析推导了随机Runge-克雷茨方法的通用阶条件，用于弱近似多维Wiener过程的Itô和Stratonovich随机微分方程。
2013-10-23 cs.NA math.NA
Classification of Stochastic Runge-Kutta Methods for the Weak Approximation of Stochastic Differential Equations
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文考虑一类包含E. Platen二阶随机Runge-Kutta格式的随机Runge-Kutta方法，用于多维Wiener过程驱动的Itô随机微分方程系统的弱逼近，求解了显式随机Runge-Kutta方法系数的一阶和二阶条件，分析了系数解空间，给出了最小阶段数的一阶和二阶随机Runge-Kutta格式系数的完整分类，并提出了满足额外高阶条件的最优格式系数。
2013-03-19 cs.NA math.NA
Discovering New Runge-Kutta Methods Using Unstructured Numerical Search
龙格-库塔法是求解常微分方程的一类常用数值方法。每一种龙格-库塔法都有两个基本参数：阶数和级数，阶数衡量所产生解的精度，级数衡量所需的计算工作量。构造龙格-库塔法的主要目标是使用最少的阶段数来最大化阶数。然而，高阶龙格-库塔法很难构造，因为它们的参数必须满足指数大的多项式方程组。本文介绍了第一个已知的10阶龙格-库塔法，只有16个阶段，打破了40年的记录，所需的阶段数达到10阶精度。它还讨论了使用简单的数值搜索发现这种方法的工具和技术。
2019-10-30 cs.NA math.NA
Stability analysis of Runge-Kutta methods for nonlinear delay-integro-differential-algebraic equations
本文针对带常延迟的非线性Volterra延迟积分微分代数方程，分析了Runge-Kutta方法与复合求积公式相结合的混合数值格式，建立了全局稳定性和渐近稳定性判据，并通过数值算例验证了理论结果。
2025-06-04 cs.NA math.NA
The minimal stage, energy preserving Runge-Kutta method for polynomial Hamiltonian systems is the Averaged Vector Field method
本文证明对于多项式哈密顿系统，当阶段数最小时，保能量的龙格-库塔方法必须等同于平均向量场方法。
2012-03-15 cs.NA math.NA
Perturbed Runge-Kutta methods for mixed precision applications
在这项工作中，我们考虑了一个混合精度的方法，以加速多阶段方法的实现。我们表明，龙格-库塔法可以设计，使某些昂贵的中间计算可以作为一个较低的精度计算，而不会对整体解决方案的准确性产生不利影响。特别是，适当设计的龙格-库塔法将消除初始阶段的误差。当我们考虑隐式龙格-库塔法时，这是特别有趣的。在这种情况下，如果解可以具有较低的精度（或者等效地，具有较低的容差），则阶段值的隐式计算可以相当快。我们提供了一个一般的理论框架，设计混合精度龙格-库塔法，并使用这个框架来推导这种方法的阶条件。接下来，我们将展示如何使用这种方法使我们能够利用隐式求解器的低精度计算，同时在整个方法中保持高精度。我们通过数值研究给出了一些混合精度隐式龙格-库塔法的行为，并证明了数值结果与理论框架的匹配。这种新颖的混合精度隐式Runge-Kutta框架为许多此类方法的设计打开了大门。
2020-12-24 cs.NA math.NA
Structure aware Runge-Kutta time stepping for spacetime tents
我们引入了一类新的龙格-库塔型方法适合时间步进传播帐篷形时空区域内的双曲型解决方案。与标准的龙格-库塔法不同，当采用标准的高阶空间（不连续Galerkin）离散时，新方法会产生预期的收敛特性。在给出了这些方法的非标准阶条件的推导之后，我们给出了非线性双曲型方程组的数值例子来证明最优的收敛速度。我们还报告了这些方法应用于线性双曲型方程的离散稳定性。
2020-02-27 cs.NA math.NA
A new way of deriving implicit Runge-Kutta methods based on repeated integrals
本研究提出一种基于重复积分推导隐式Runge-Kutta方法系数的新途径，可得到新的和已知的Butcher表，并通过含Prothero-Robinson问题的数值实验对比了新方法与标准配置型隐式Runge-Kutta方法的性质。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Mass- and energy-preserving exponential Runge-Kutta methods for the nonlinear Schrödinger equation
本文将标量辅助变量方法与指数型龙格-库塔法相结合，发展了一族求解非线性薛定谔方程的任意高阶保结构指数型Runge-Kutta法.通过引入一个辅助变量，我们首先将原模型转化为一个等效系统，该等效系统允许质量守恒定律和修正的能量守恒定律。然后应用Lawson方法和时间上的辛龙格-库塔法，得到了一类时间上任意高阶的保质量保能量的时间离散格式。数值实验证明了新提出的格式的准确性和有效性。
2020-09-12 cs.NA math.NA
An extended framework of continuous-stage Runge-Kutta methods
本文提出连续级Runge-Kutta方法的扩展框架，支持无限区间加权并利用多种加权正交多项式构造具有几何性质的Runge-Kutta型方法，并给出了新的辛积分器实例。
2025-07-22 cs.NA math.NA
A New Class of Runge-Kutta Methods for Nonlinearly Partitioned Systems
本文提出一类名为NPRK的新Runge-Kutta方法用于求解非线性分裂初值问题，通过推广现有方法以在非线性项中分配不同隐式性，并推导了相关积分器，数值实验验证了其有效性。
2025-04-04 cs.NA math.NA
Discrete LQR and ILQR methods based on high order Runge-Kutta methods
本文提出了基于高阶龙格-库塔（RK）离散化的离散线性二次型调节器（DLQR）和迭代线性二次型调节器（ILQR）方法，分别用于求解线性和非线性二次型最优控制问题。在[W。Hager，最优控制中的龙格-库塔法和离散伴随系统，Numer.数学，2000年，第2000页。247-282]，具有RK离散化的直接方法与基于辛分块龙格-库塔（SPRK）积分的间接方法等效。在本文中，我们将重建连续和离散动态规划的模拟这种等价。然后，基于等价性，讨论了直接法产生的内级控制可能比RK法产生的控制精度低的问题。我们提出了内级控制的阶条件，然后证明了三阶或四阶显式RK离散化不能避免降阶现象。为了克服这个障碍，我们计算节点控制，而不是在DLQR和ILQR方法的内部阶段控制。数值算例表明了本文方法的有效性。我们的方法的另一个优点是高的计算效率，这来自于反馈技术的使用。在本文中，我们还证明了ILQR本质上是一个具有线性收敛速率的拟牛顿法。
2021-12-31 cs.NA math.NA math.OC
On Order Conditions for modified Patankar-Runge-Kutta schemes
Institute of Mathematics, University of Kassel（卡塞尔大学数学研究所）
本文研究了修改后的Patankar-Runge-Kutta方案的顺序条件，推导了获得一阶和二阶方法的必要和充分条件，并提出了两种新的二阶方案。
2017-02-15 cs.NA math.NA
Implicit Runge-Kutta schemes for optimal control problems with evolution equations
Universität der Bundeswehr München（德国联邦国防大学慕尼黑）
本文探讨了隐式龙格-库塔方案在最优控制问题时间离散化中的应用，重点研究了状态和共轭状态离散化方案使离散化与优化可交换的特性，并分析了此类方案的阶条件。
2013-11-04 cs.NA math.NA
Relaxation Runge-Kutta Methods: Conservation and stability for Inner-Product Norms
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出了一种简单的Runge-Kutta方法修改方案，确保其在任意内积范数下保持守恒或稳定性，该方法可以显式并保留原始Runge-Kutta方法的准确性和稳定性特性，通过数值示例验证了其有效性，包括在第一阶双曲PDE的熵稳定性中的应用。
2019-05-23 cs.NA math.NA
Functional Continuous Runge-Kutta Methods with Reuse
Saint-Petersburg University（圣彼得堡大学）
本文提出了一种新的连续Runge-Kutta和Runge-Kutta-Nyström方法，用于延迟泛函微分方程，通过重用步骤的最后一个阶段来提高效率，展示了三种新方法的高阶精度和更低的计算成本。
2018-06-22 cs.NA math.NA
Relaxation Runge-Kutta Methods for Hamiltonian Problems
最近提出的龙格-库塔法的松弛方法可以用来加强哈密顿系统积分中的能量守恒。在此背景下，我们研究了隐式和显式松弛龙格-库塔法的行为。我们发现，除了它们有用的守恒性质，松弛法产生其他的改进。实验表明，它们的解与真解具有更强的定性相似性，且误差随时间增长更慢。我们还证明了这些方法对某类哈密顿系统是超收敛的。
2020-06-30 cs.NA math.NA
Runge--Kutta methods determined from extended phase space methods for Hamiltonian systems
本文研究哈密顿系统的中点投影法和对称投影法，证明前者是伪辛伪对称龙格-库塔方法，后者是单隐式辛龙格-库塔方法。
2023-08-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A note on the continuous-stage Runge-Kutta-(Nyström) formulation of Hamiltonian Boundary Value Methods (HBVMs)
近年来，一类能量守恒的方法--哈密顿边值方法（HBVMs）被提出来用于数值求解哈密顿问题。在这个简短的说明中，我们研究了它们作为连续阶段Runge-Kutta（-Nyström）方法的自然公式，这使得对方法有了更深入的了解。
2019-07-31 cs.NA math.NA
Quadratic projectable Runge-Kutta methods
Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）；Scuola Normale Superiore di Pisa（比萨高等师范学院）
本文研究了二次变换后Runge-Kutta方法在投影变量中的表现，证明了SyDIRK方法在二次可投影向量场下能保持结构，适用于守恒与非守恒动力学。
2026-03-15 cs.NA math.NA
Construction of symplectic (partitioned) Runge-Kutta methods with continuous stage
College of Mathematics and Computational Science Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学数学与计算科学学院）
本文研究了构造具有连续阶段的辛（分块）龙格-库塔方法，通过正交多项式展开和简化假设提出新方法，保持几何结构。
2015-10-15 cs.NA math.NA
Downwinding for Preserving Strong Stability in Explicit Integrating Factor Runge--Kutta Methods
University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
本文研究了如何通过向下风空间算子保持积分因子Runge-克莱茨方法的强稳定性，探讨了显式SSP Runge-克莱茨方法在不同abscissas情况下的性能，并指出在某些情况下，不使用向下风法的积分因子方法可能表现更优。
2018-10-10 cs.NA math.NA
A better method to determine the stability region of an L-stable implicit-explicit Runge-Kutta scheme
Institute of Fluid Physics, CAEP（中国工程物理研究院流体物理研究所）；Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学近代物理系）
本文提出一种确定L稳定隐式-显式Runge-Kutta方案稳定性区域的新方法，该方法总能提供正确结果，而其他方法有时会出错，对隐式-显式Runge-Kutta方案分析有帮助。
2016-06-02 cs.NA math.NA
A Phase-Fitted Runge-Kutta-Nyström method for the Numerical Solution of Initial Value Problems with Oscillating Solutions
University of Peloponnese（伯罗奔尼撒大学）
提出一种基于Dormand和Prince四阶代数精度Runge-Kutta-Nyström方法的无限阶相位滞后新方法，用于求解二阶周期初值问题，数值实验表明新方法比经典方法更高效。
2008-11-15 cs.NA math.NA
On the properties of the exceptional set for the randomized Euler and Runge-Kutta schemes
我们发现，例外集的概率指数衰减的广泛的随机算法逼近常微分方程的解决方案，承认一定的错误分解。这一类包括随机显式和隐式欧拉格式，以及随机两阶段Runge-Kutta格式（在不精确信息下）。我们设计了一个IVP的精确解的置信区间，并进行了数值实验来说明理论结果。
2022-02-03 cs.NA math.NA
Estimating the error term in the Trapezium Rule using a Runge-Kutta method
本研究提出用Runge-Kutta方法求解初值问题以估计梯形法则的误差项，将其与梯形近似结合可提升精度，同时给出了降低初值问题奇异性风险的方法。
2023-06-11 cs.NA math.NA
Irksome: Automating Runge--Kutta time-stepping for finite element methods
虽然隐式龙格-库塔法具有高阶精度和重要的稳定性，但在每个时间步求解耦合代数系统的实现困难和高费用经常被认为是障碍。我们提出IIrksome，一个高层次的库操纵UFL（统一形式语言）的半离散变分形式的表达，以获得UFL表达式的耦合龙格-库塔阶段方程在每个时间步。Irksome与Firedrake软件包一起工作，以实现所产生的耦合代数系统的有效解。数值算例证实了该软件的有效性和我们的求解技术的各种问题。
2020-06-29 cs.NA math.NA
Notes on a high order fully discrete scheme for the Korteweg-de vries equation with a time-stepping procedure of Runge-Kutta-composition type
我们考虑Korteweg-de Vries方程的周期性初值问题，我们在空间上用谱Fourier-Galerkin方法离散，在时间上用基于隐式中点规则的隐式高阶Runge-Kutta格式离散.我们证明$L^{2}$误差估计所产生的半离散和完全离散逼近。
2021-03-21 cs.NA math.NA
Randomized Runge-Kutta method -- stability and convergence under inexact information
在局部利普希茨条件和右端函数的不精确离散信息下，讨论了常微分方程解的最优逼近.我们表明，随机两阶段的龙格库塔格式是最佳的方法在所有的随机算法的基础上标准的噪声信息。我们进行数值实验，证实我们的理论研究结果。此外，对于最优算法，我们严格调查的A稳定性区域的性质。
2020-06-22 cs.NA math.NA
Exploring Exponential Runge-Kutta Methods: A Survey
University of Udine（乌迪内大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Trento（特伦托大学）
本文综述了指数Runge-克雷茨方法，探讨其在初值问题数值积分中的应用，结合经典方法与指数积分器的历史发展，提供实例以普及该领域知识。
2026-02-11 cs.NA math.NA
Second order stabilized two-step Runge-Kutta methods
稳定化方法（也称为切比雪夫方法）是沿负实轴扩展稳定域的显式方法。这些方法的目的是大轻度刚性问题，主要源于抛物型偏微分方程。在本文中，我们提出了显式两步法龙格-库塔法，它有一个增加的稳定区间相比，单步法（高达2.5倍）。最后，通过数值实验验证了该方法的准确性和稳定性.
2023-03-28 cs.NA math.NA
Symplectic Isospectral Runge--Kutta Methods as Lie group methods
Scuola Normale Superiore（意大利高等师范学院）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；University of Pisa（比萨大学）
本文比较了三种保持结构的数值积分方法，展示李代数上的等谱辛龙格-库塔方案与李群上的运输公式等价，并指出李群形式在多阶段方案中更高效。
2026-04-02 cs.NA math.NA
Optimal second order diagonally implicit SSP Runge--Kutta methods
本文研究了二阶对角隐式SSPRunge-Kutta方法的最优性，通过新方法确定了该类方法的唯一最优方法。
2014-09-30 cs.NA math.NA
Positive and elementary stable explicit nonstandard Runge-Kutta methods for a class of autonomous dynamical systems
Center for Informatics and Computing, Vietnam Academy of Science and Technology (VAST)（越南科学技术院信息计算中心）；Institute of Information Technology, Vietnam Academy of Science and Technology (VAST)（越南科学技术院信息技术研究所）
本文提出了一类具有更高精度阶数且保持正性与线性稳定性的显式非标准Runge-Kutta方法，通过替换传统步长h为函数φ(h)实现，理论分析与数值模拟验证了方法的有效性。
2017-10-03 cs.NA math.NA
Multiple-Relaxation Runge Kutta Methods for Conservative Dynamical Systems
我们推广了松弛时间步方法的思想，通过沿多个时间步算法定义的方向投影，来保持动力系统的多个非线性守恒量。类似于Calvo et.例如，我们使用嵌入式龙格-库塔法来以计算有效的方式促进这一点。在一定的限制条件下，证明了修正RK方法的精度和有效松弛因子的存在性。在其他的例子中，我们应用这种技术的隐式显式龙格库塔时间积分的Korteweg-de Vries方程和研究的可行性和多孤子解决方案保存多个不变量的效果。
2023-02-10 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Implicit Runge-Kutta Methods for Stochastic Poisson Systems with Multiple Noises
本文提出两类保结构隐式龙格-库塔方法，用于多噪声随机泊松系统，分别处理常数与非恒定结构矩阵，并验证了其保持泊松结构、Casimir函数及二次哈密顿函数的能力。
2025-01-22 cs.NA math.NA
Symplectic Runge-Kutta discretization of a regularized forward-backward sweep iteration for optimal control problems
Li，Chen，Tai & E. (J. Machine Learning Research，2018）提出了一种前向-后向扫描迭代的正则化方法，用于解决最优控制问题中的庞特里亚金最大值原理。在连续时间情形下证明了迭代的整体收敛性。在这篇文章中，我们表明，他们的证明可以扩展到辛龙格库塔对数值离散的情况下。我们证明了一个简单的数值实验的收敛性。
2020-08-20 cs.NA math.NA
Functionally fitted Runge-Kutta-Nyström methods
University of West Georgia（西乔治亚大学）；University of Alabama（阿拉巴马大学）
本文提出功能适配的Runge-Kutta-Nyström方法，通过格点框架分析其精确积分能力和超收敛特性，探讨了稳定性分析。
2014-10-16 cs.NA math.NA
Two continuous (4, 5) pairs of explicit 9-stage Runge-Kutta methods
本文导出了一个11维的嵌入（4，5）对显式9阶龙格-库塔法族，其插值函数为5阶。提出了两个优化的效率对。
2022-04-19 cs.NA math.NA
Explicit stabilized implementation of singly diagonally implicit Runge-Kutta methods
École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）；Université de Genève（日内瓦大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
研究为兼顾隐式与显式方法优点，引入一类对角隐式龙格-库塔方法的新显式稳定实现。核心方法是将隐式更新重铸为辅助系统稳态，用分区龙格-库塔-切比雪夫方法计算。主要贡献是能为平流-扩散-反应偏微分方程实现高阶方法，且计算成本与标准显式稳定方法类似。
2026-07-09 cs.NA math.NA
Global Error Control in the Runge-Kutta Solution of a Hamiltonian System using the RKQ Algorithm
University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
研究RKQ算法在哈密顿系统数值解中的全局误差控制，该算法通过逐步控制局部和全局误差，即使使用非辛龙格-库塔方法也能获得良好结果。
2011-11-29 cs.NA math.NA
Explicit Runge-Kutta Methods with Multiquadric and Inverse Multiquadric Radial Basis Functions
本文提出基于MQ和IMQ径向基函数的两级和三级显式Runge-Kutta方法，在不增加级数的情况下比经典格式高出一阶精度，并通过截断误差分析确定最优形状参数，数值实验验证了其精度与稳定性。
2025-09-21 cs.NA math.NA
Pseudo-Energy-Preserving Explicit Runge-Kutta Methods
本文提出显式龙格-库塔方法的伪能量保持阶条件，构造PEP阶高于经典阶的方法，并在哈密顿ODE/PDE上验证其长时间模拟误差更小。
2025-01-23 cs.NA math.NA
Strong Stability Preserving Integrating Factor Two-step Runge--Kutta Methods
University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文研究了具有强稳定性保持特性的积分因子二步龙格-库塔方法，旨在通过提升阶数来克服显式SSP龙格-库塔方法的阶数限制，同时保持强稳定性特性。
2019-04-15 cs.NA math.NA
On Strong Stability of Explicit Runge-Kutta Methods for Nonlinear Semibounded Operators
显式龙格-库塔法是求解常微分方程的经典方法。考虑到偏微分方程，空间半离散化可用于获得随后求解的常微分方程组，从而得到全离散格式。然而，某些稳定性研究的高阶方法双曲守恒律往往只进行半离散版本。本文研究了显式龙格-库塔法求解非线性半有界（也称为耗散）算子常微分方程的强稳定性（也称为单调性）。与线性情形相反，证明了许多二阶或二阶以上的强稳定性保持（SSP）格式对于一般的光滑半有界非线性算子不是强稳定的。此外，它表明，有一阶精确的显式SSP龙格-库塔法是强稳定（单调）的半有界（耗散）和Lipschitz连续运营商。
2019-12-15 cs.NA math.NA
Runge-Kutta-Nyström symplectic splitting methods of order 8
针对二阶常微分方程提出了不同的8阶Runge-Kutta-Nyström（RKN）辛分裂方法族，并通过数值算例进行了验证.对于中高精度，它们比最先进的二阶对称格式的对称合成和4阶和6阶的RKN分裂方法具有更好的效率。对于某些特定的例子，它们甚至比外推法更有效，可以在相对较短的时间间隔内实现高精度和积分。
2022-07-25 cs.NA math.NA
