代数曲线、丰富点与双直纹曲面
Algebraic curves, rich points, and doubly-ruled surfaces
AI总结：
本文研究三维空间中大量代数曲线关联的结构，证明曲线集合要么仅有 O(n^{3/2}) 个多重点，要么大量曲线位于有界次数曲面上并形成双直纹结构，同时推广了 Salmon 拐点多项式并发展新的代数工具。
摘要：
我们研究三维空间中具有大量曲线-曲线关联的代数曲线集合的结构。特别地，设 $k$ 为一个域，设 $\mathcal{L}$ 为 $k^3$ 中 $n$ 条空间曲线的集合，其中 $n<\\!\\!<(\operatorname{char}(k))^2$ 或 $\operatorname{char}(k)=0$。则要么 A) $k^3$ 中至多有 $O(n^{3/2})$ 个点被至少两条曲线击中，要么 B) $\mathcal{L}$ 中至少有 $Ω(n^{1/2})$ 条曲线必须位于一个有界次数的曲面上，并且其中许多曲线必须构成该曲面的两条“直纹族”。我们还开发了若干新工具，包括对 Salmon 经典拐点多项式的推广，以及处理这一广义拐点多项式的新代数技术。
英文摘要：
We study the structure of collections of algebraic curves in three dimensions that have many curve-curve incidences. In particular, let $k$ be a field and let $\mathcal{L}$ be a collection of $n$ space curves in $k^3$, with $n<\!\!<(\operatorname{char}(k))^2$ or $\operatorname{char}(k)=0$. Then either A) there are at most $O(n^{3/2})$ points in $k^3$ hit by at least two curves, or B) at least $Ω(n^{1/2})$ curves from $\mathcal{L}$ must lie on a bounded-degree surface, and many of the curves must form two "rulings" of this surface. We also develop several new tools including a generalization of the classical flecnode polynomial of Salmon and new algebraic techniques for dealing with this generalized flecnode polynomial.
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