Real representation theory of finite categorical groups
我们引入并发展了有限群的实表示理论的一个分类。特别是，我们推广的范畴特征标理论的甘特-Kapranov和Bartlett的真实设置。给定一个群$\mathsf{G}$的实表示，或者更一般地说，给定一个有限范畴群在线性范畴上的实表示，我们将一个数，即修改的次级迹，与每个分级交换对$(g, ω) \in \mathsf{G} \times \hat{\mathsf{G}}$相关联，其中$\hat{\mathsf{G}}$是$\mathsf{G}$上的背景实结构。此数字集合定义了实表示的实$2$ -字符。我们还定义了有限范畴群的实表示的各种形式的归纳，并在实$2$ -特征标的水平上计算了结果。我们解释实范畴特征标理论中的结果的几何结构，即gerbes，向量丛和功能的迭代无向圈群胚。这种观点自然导致连接与无定向版本的扭曲德林费尔德双$\mathsf{G}$和离散扭转$M$ -理论orientifold的表示论。我们推测的解释，我们的结果作为一个广义Hopkins-Kuhn-Ravenel型字符理论实等变同伦理论。
2018-09-09 math.AT math.CT math.RT
Looking for a Refined Monster
本文从范畴论角度研究怪物群构造中的对象，定义范畴环面的基本表示并计算其中心化子，揭示与超特殊2群及Conway群的联系。
2024-05-26 math.CT math.GR math.RT
Categorical forms of the rigid direct-system representation for finite local-unit-aligned totally ordered monoids
Eszterházy Károly Catholic University（埃斯泰尔哈兹·卡罗利天主教大学）；University of Pécs（佩奇大学）
本文研究有限局部单位对齐全序幺半群的刚性直接系统表示的范畴性，证明其对严格块态射和固有$\ au$-相容同态均为自函子，并给出相应等价性。
2026-09-18 math.CT math.GR
Why FHilb is Not an Interesting (Co)Differential Category
微分范畴提供了微分的基本公理化和微分线性逻辑的范畴模型。由于微分是贯穿量子力学和量子信息的重要工具，因此研究微分范畴理论在范畴量子基础上的应用是有意义的。在范畴量子基础中，紧闭范畴（因此也是可追踪的对称么半群范畴）是主要的研究对象之一，特别是有限维希尔伯特空间范畴FHilb。在本文中，我们将解释为什么FHilb上唯一的微分范畴结构是平凡的。这是由于FHilb的迹和可能的微分范畴结构之间的一种不相容性。也就是说，有一些有趣的非平凡的例子，跟踪/紧闭微分范畴，我们也讨论。本文的目标是将微分范畴引入更广泛的范畴量子基础社区，并希望为结合这两个领域的进一步工作打开大门。虽然本文的主要结果似乎有点“负面”，在实现这一目标，我们讨论有趣的潜在应用的微分范畴的范畴量子基础。
2020-05-01 cs.LO math.CT
Abstract Physical Traces
我们根据“量子协议的分类语义学”中的结果修改了我们的“物理痕迹”论文。关键的事实是，强紧闭范畴的概念允许定义伴随、二分投影和内积的抽象概念，并证明它们的关键性质。在本文中，我们改进了强紧闭包的定义相比，在量子协议的范畴语义。这种修改使一个优雅的强紧封闭的伴随和扬金公理方面的特点，并更好地处理二分投影仪。
2009-10-16 cs.LO math.CT quant-ph
Categorical proof of Holomorphic Atiyah-Bott formula
给定一个对称幺半群$(\infty,2)$ -范畴$\mathscr E$，我们将迹构造推广为一个函子.然后，我们应用这种形式主义的情况下，当$\mathscr{E}$是$(\infty,2)$ -范畴的$k$ -线性presentable范畴，结合各种计算的设置派生代数几何给出了一个明确的证明经典的Atiyah-Bott公式（也被称为全纯Lefschetz不动点公式）。
2019-11-12 math.AG math.CT
A Double Categorical View on Representations of Etendues
在本文中，我们引入了一个描述的有序广群作为一种特殊类型的双范畴。这使我们能够把有序群胚和左可消范畴之间的劳森对应变成一个双等价。我们用这个来确定哪些有序函子是地图的网站，在这个意义上，他们引起的几何态射之间的诱导层类别，并建立一个比较引理Ehresmann网站之间的地图。
2019-10-06 math.CT
Categorical aspects of cointegrals on quasi-Hopf algebras
讨论了有限张量范畴的范畴论概念与拟霍普夫代数上的余积分之间的关系。特别地，对于有限维拟霍普夫代数$H$，我们给出了左$H$ -模范畴${}_H \mathscr{M}$的范畴余积分在$H$上的显式描述.在$H$是幺模的条件下，利用$H$上的积分和$H$上的余积分，给出了Yetter-Drinfeld范畴${}^H_H \mathscr{YD}$中伴随代数的Frobenius结构.最后，我们利用$H$上的余积分给出了投射$H$ -模的扭模迹的刻画.
2020-09-01 math.CT math.QA
Consciousness in a Higher Categorical Context
本文在更高范畴背景下，通过微观可逆性和意识概念，提出两种对偶的Segal范畴表示方法。
2026-01-08 math.CT
2-categorical Poincare Representations and State Sum Applications
这是作为一个自我包含的介绍表示论的发展，以创建一个庞加莱2类状态和模型的量子引力在4维。我们回顾了一个新的表示2-范畴的结构，适当的Lie 2-群对称性，并讨论其应用的问题，找到一个量子引力的状态和模型。它的细节非常丰富，反映了物理4维的一些理想特征。我们首先回顾几何量子化中的轨道方法，以帮助直觉，即这里展开的几何图像可以被视为这个过程的分类。
2003-06-30 gr-qc math.CT math.QA
A Prehistory of n-Categorical Physics
本文追溯了范畴和n-范畴在物理学中日益重要的作用，从群及其在相对论中的作用开始，引出了更复杂的概念，这些概念在费曼图、自旋网络、弦论、圈量子引力和拓扑量子场论中得到了体现。我们的年表结束约2000年，只是味道后来的发展，如开闭拓扑弦论，分类的量子群，Khovanov同源，和卢里的工作分类的拓扑量子场论。
2009-08-18 gr-qc hep-th math.CT
A categorical representation of games
本文用可达性与偏好的多重图表示博弈，构造完备且余完备的博弈范畴，并推广 Nash 均衡及保持均衡的子范畴。
2025-02-18 math.CT
Inner products of 2-representations
定义并计算了2-表示的内积。在此过程中，我们证明了[Ganter和Kapranov，2-categories中的表示和特征理论，Sec. 3]对于范畴张量积的各种概念是乘法的，我们确定了[loc.前引，秒4.2]。我们讨论的应用程序，从舒尔的结果的数量射影表示的公式的Hochschild上同调的全球商orbifold。
2012-08-24 math.AG math.CT math.RT
Quantum channels as a categorical completion
我们为量子信息和量子计算中纯态和混合态之间的联系提出了一个分类基础。该基础是基于分配monoidal范畴。首先，我们证明了所有量子通道的范畴是纯量子操作范畴的正则完备化（带有辅助准备）。更准确地说，我们证明了有限维C*-代数之间的完全正保迹映射范畴是有限维向量空间和等距范畴的典范完备。其次，我们推广了我们的结果，为量子通道之间的拓扑关系提供了基础。我们通过将我们的范畴基础推广到拓扑丰富的设置来做到这一点。特别地，我们证明了量子通道上的算子范数拓扑是由等距上的范数拓扑导出的正则拓扑。
2019-04-24 cs.LO math.CT quant-ph
Idempotents, traces, and dimensions in Hecke categories
本文研究了Hecke范畴中不可分解对象对应幂等元的计算方法并提供了相关系数的闭式公式，同时通过部分迹的递归公式计算渐近Hecke范畴的范畴维数。
2025-07-14 math.CT math.QA math.RT
Categorical representation of DRC-semigroups
本文证明DRC-半群范畴与特定双序范畴范畴同构，并构造左伴随函子以确立自由DRC-半群的存在性。
2024-11-11 math.CT math.RA
Categorical Representation Learning: Morphism is All You Need
Harvard University（哈佛大学）；National Research University Higher School of Economics（国立研究型大学高等经济学院）；QGNai INC.（QGNai公司）
我们提供了一个分类表示学习的结构，并介绍了“$\textit{categorifier}$“的基础。表示学习的中心主题是$\textbf{everything to vector}$的思想。数据集$\mathcal{S}$中的每个对象都可以通过$\textit{encoding map}$ $E: \mathcal{O}bj(\mathcal{S})\to\mathbb{R}^n$表示为$\mathbb{R}^n$中的向量。更重要的是，每个态射都可以表示为矩阵$E: \mathcal{H}om(\mathcal{S})\to\mathbb{R}^{n}_{n}$。编码映射$E$通常由$\textit{deep neural network}$建模。表示学习的目标是在数据集上设计适当的任务来训练编码映射（假设如果编码普遍优化了各种任务的性能，则该编码是最优的）。然而，后者仍然是一种$\textit{set-theoretic}$方法。本文的目标是通过$\textit{category-theoretic}$方法将表示学习提升到一个新的水平。作为概念证明，我们提供了一个配备我们技术的文本翻译器的例子，表明我们的分类学习模型比当前的深度学习模型高出17倍。目前文章的内容是最近美国专利提案（专利申请号：63110906）的一部分。
2021-03-30 cond-mat.dis-nn cs.AI cs.LG
A Categorical Perspective on Braid Representations
University of Leeds（利兹大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Bristol（布里斯托大学）；Heilbronn Institute of Mathematics（海尔布隆数学研究所）
本文从范畴论视角研究辫子表示，通过引入函子范畴的幺半结构、子对象与商对象等工具，揭示了电荷守恒 Yang-Baxter 算子分类的范畴机制，并证明了足够自由条件下幺半函子可严格化。
2026-09-28 math.CT math.QA math.RT
Categorical (Co)Limits of Quantum Graphs
本文通过量子图作为左理想的新表征，提出不依赖表示的量子图映射概念，并引入量子图的范畴（余）极限，同时探讨图的另一种量子化方式。
2026-05-13 math.CT math.OA
Representation theory for categorical symmetries
本文研究范畴对称性对量子场论扩展算符的作用，引入高阶管范畴与高阶管代数，证明扭变扇区扩展算符按高阶表示变换，并在三维情形下通过可逆与非可逆对称范畴的多种例子推广了二维已知构造。
2023-05-26 hep-th math-ph math.CT
Categorical non abelian cohomology, and the Schreier theory of groupoids
通过从二维范畴的观点考虑群的经典非交换群的上同调，我们得到了群胚的非交换上同调，它继续满足分类定理、解释定理和表示定理，从而推广了经典的分类定理、解释定理和表示定理.这种范畴方法是基于这样一个事实，即如果群被视为范畴，那么，一方面，交叉模是2-群胚，上圈是lax 2-函子，上圈条件正是lax 2-函子的凝聚公理，另一方面，群扩张是范畴的纤维化。此外，2-范畴神经中的$n$ -单形是松弛2-函子。
2004-10-07 math.CT
Twisted actions of categorical groups
利用范畴的半直积概念，发展了范畴群的扭作用理论。我们通过大量的例子来证明这些概念的力量。转向表示，这是行动，尊重向量空间结构，我们建立了一个类似的舒尔引理在这种情况下。保持新的术语，以最小的，我们集中在探索引入的基本新概念的例子。
2014-08-30 math-ph math.CT math.MP
Coordination in Categorical Compositional Distributional Semantics
Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
分类组合分布语义学的一个开放性问题是从分布的角度来看被认为是语义空洞的词的表示，例如限定词，介词，关系代词或协调词。同一句法类型之间的协调是语言中最常见的协调现象。通过利用紧凑的封闭结构的基础类别和Frobenius运营商规范诱导的固定基础上的有限维向量空间，我们提供了一个态射表示的协调员张量，我们展示了它如何升降机从原子类型的复合类型。语言的直觉，并讨论了作为除了紧凑的封闭设置方面的语言的Frobenius运营商的重要性。
2016-08-04 cs.AI cs.CL math.CT
A categorical foundation for structured reversible flowchart languages: Soundness and adequacy
本文基于带联结的逆范畴为结构化可逆流程图语言建立范畴语义，推广扩展性概念以表示谓词，并证明其计算可靠、充分及在特定条件下方程完全抽象。
2018-09-03 cs.PL math.CT
A Categorical Representation Language and Computational System for Knowledge-Based Planning
University of Maryland（马里兰大学）；Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory（约翰斯·霍普金斯大学应用物理实验室）；Topos Institute（拓扑斯研究所）；University of Florida（佛罗里达大学）
本文提出一种基于范畴论（$\mathsf{C}$-集合和双推重写）的规划表示语言，以处理隐式世界变化，相比经典一阶逻辑表示在处理隐式前提和效果上更具优势，并为知识图谱和关系数据库建模规划提供形式语义。
2023-11-14 cs.AI cs.LO math.CT
Ologs: a categorical framework for knowledge representation
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在本文中，我们介绍了olog，或本体日志，一个类别理论模型的知识表示（KR）。基于形式数学，ologs可以以其他KR模型（如语义网络）无法实现的方式进行严格的公式化和交叉比较。olog类似于关系数据库模式;事实上，如果需要，olog可以充当数据存储库。与数据库模式不同，数据库模式通常很难创建或修改，日志被设计为足够用户友好，因此创作或重新配置日志是理所当然的事情，而不是困难的苦差事。希望学习编写日志比学习数据库定义语言简单得多，尽管它们很相似。我们仔细地描述了ologs，并用许多例子来说明。作为一个应用，我们表明，任何原始递归函数可以描述的一个olog。我们还表明，ologs可以对齐或连接在一起成为一个更大的网络使用函子。然后，可以利用各种信息流动方法和机构来整合地方和全球的世界观。最后，我们为未来的研究提供了几种不同的途径。
2011-08-07 cs.AI cs.LO math.CT
Categorical Representation Learning and RG flow operators for algorithmic classifiers
Harvard University（哈佛大学）；University of Miami（迈阿密大学）；National Research University Higher School of Economics（国立研究型大学高等经济学院）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；QGNai INC.（QGNai公司）
在前两位作者的范畴表示学习（arXiv：2103.14770）的早期形式化之后，我们讨论了“基于RG流的范畴化器”的构造。借鉴量子场论中的重整化群流（RG）理论、全息对偶和双曲几何的思想，并将其与神经ODE相结合，我们构建了一个新的算法自然语言处理（NLP）架构，称为RG流分类器或简称RG分类器，它能够在所有层中进行数据分类和生成。我们将我们的算法平台应用于生物医学数据集，并展示了其在序列到功能映射领域的性能。特别是，我们将RG分类器应用于流感病毒的特定基因组序列，并展示了我们的技术如何能够从给定的基因组序列中提取信息，找到它们隐藏的对称性和主要特征，对它们进行分类，并使用训练数据对与新病毒集相关的新的合理生成序列进行随机预测，这些新病毒可以避免人类免疫系统。当前文章的内容是前两位作者最近提交的美国专利申请的一部分（美国专利申请号：63/313.504）。
2022-03-15 cond-mat.dis-nn cs.AI cs.LG
Categorically Morita equivalent compact quantum groups
给出了紧量子群之间范畴Morita等价的动力学刻画.更确切地说，通过Tannaka-Krein型对偶，赋予两个紧量子群的交换作用的单位C* 代数对应于它们的表示范畴上的双模范畴。我们证明了这个双模范畴是可逆的当且仅当行动是自由的，有限维不动点代数，这是在对偶Frobenius代数在适当的意义。这扩展了著名的monoidal等价的双霍普夫伽罗瓦对象的特征。
2021-06-08 math.CT math.OA math.QA
Shadows are Bicategorical Traces
本文澄清了shadow与Hochschild同调的关系，证明任意双范畴上存在取值于其Hochschild同调的泛shadow，并由此建立泛Morita不变性定理，进而提出$\infty$-范畴shadow的推广并构造相关例子。
2025-06-25 math.AT math.CT
Categorical semantics of compositional reinforcement learning
LTCI, Télécom Paris, Institut Polytechnique de Paris（巴黎电信学院、巴黎电信、巴黎理工学院）；The University of Iowa（爱荷华大学）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出基于范畴论的组合强化学习框架，通过MDP范畴的推出操作实现任务组合，并统一安全与对称性概念。
2025-09-07 cs.AI cs.LO cs.SY
Module traces and Hopf group-coalgebras
设H是域k上的有限维枢轴幺模霍普夫代数.它表明在[BBGa]，投影张量理想在H-模承认一个独特的非退化修改的跟踪，一个自然的概括的范畴跟踪。本文提供了一个更一般的设置这一结果的扩展。首先，我们将修改迹的概念推广到所谓的模迹，对于一个给定的k-线性模范畴M在一个枢轴范畴C配备了一个模endofunctor。我们提供了一个非平凡类的例子，这样的模块的痕迹。特别是，我们证明了任何有限维枢轴霍普夫k-代数，不一定是幺模，承认其投射张量理想上的非退化模迹。我们也将这个结果推广到有限型的枢轴Hopf群余代数，并给出了Taft霍普夫代数和非限制Borel量子群在单位根上的族的显式计算。
2018-09-04 math.CT math.QA
Knowledge Representation in Bicategories of Relations
Department of Statistics, Stanford University（斯坦福大学统计系）
我们介绍了关系本体日志，或关系日志，一个知识表示系统的基础上的集合和关系的范畴。它的灵感来自Spivak和Kent的olog，一个最近的知识表示的分类框架。关系逻辑介于逻辑和描述逻辑之间，描述逻辑是当今知识表示的主要形式。在本文中，我们调查关系逻辑本身的缘故，并深入了解之间的关系的代数和逻辑方法的知识表示。在实际的层面上，我们通过例子表明，关系日志有一个友好和直观的-但完全精确的-图形语法，来自monoidal类别的字符串图。我们解释了其他几个有用的功能的关系逻辑不具备大多数描述逻辑，如类型系统和丰富的，灵活的概念的实例数据。在一个更理论化的脉络中，我们利用范畴逻辑来展示关系逻辑如何在一阶逻辑的片段中被翻译成逻辑理论。虽然我们大量使用范畴语言，但本文的设计是自成一体的，有相当多的过渡性内容。唯一的先决条件是一阶逻辑的知识和范畴论的雏形。
2017-11-01 cs.AI cs.LO math.CT
