A Third-Order Weighted Essentially Non-Oscillatory Scheme in Optimal Control Problems Governed by Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws
加权本质不振荡（WENO）方法是求解非线性双曲型偏微分方程的一种流行而有效的空间离散方法。虽然这些方法在激波存在时形式上是一阶精度的，但它们在激波位置之前仍然具有一致的高阶精度。本文提出了一种新的三阶数值方法来求解标量非线性双曲守恒律的最优控制问题。该方法基于先离散后优化的思想，将三阶离散伴随WENO格式与经典的三阶强稳定性保持龙格-库塔法SSPRK 3相结合。我们分析了它的逼近性质，并将其应用于具有非光滑目标状态的跟踪型最优控制问题。比较常见的一阶方法，如Lax-Friedrichs和Engquist-Osher方法显示出巨大的潜力，以实现更高的精度以及良好的分辨率周围的不连续性。
2020-09-25 cs.NA math.NA
Solving the BGK Model and Boltzmann equation by Fourier Neural Operator with conservative constraints
University of Minnesota - Twin Cities（明尼苏达大学双城分校）；Simons Laufer Mathematical Sciences Institute（西蒙斯劳弗数学科学研究所）
提出基于傅里叶神经算子的框架学习Boltzmann碰撞算子及BGK模型，嵌入守恒约束以增强物理一致性，数值实验验证其高效准确。
2026-11-13 math.NA
On a third order CWENO boundary treatment with application to networks of hyperbolic conservation laws
University of Mannheim（曼海姆大学）
本文提出一种第三阶CWENO边界处理方法，用于解决超几何守恒律网络中的高阶数值方法问题，通过改进和推广现有方法，确保在光滑和间断情况下均能保持收敛性和稳定性。
2017-12-13 cs.NA math.NA
Third-order Limiting for Hyperbolic Conservation Laws applied to Adaptive Mesh Refinement and Non-Uniform 2D Grids
本文推广了最近发展的三阶限制函数$H_{3\text{L}}^{(c)}$ [J. Sci.计算：（2016），68（2），pp.~ 624--652]，使其适用于更复杂的测试情况下，有限体积计划。这项工作涵盖了推广到非均匀网格在一个和两个空间维度，以及二维笛卡尔网格与自适应网格细化（AMR）。扩展到2D是通过维分裂的共同方法获得的。为了应用这种技术而不损失三阶精度，Buchmüller和Helzel [J. Sci.计算：（2014），61（2），pp.~ #36834;，已纳入计划。不同网格配置下的数值算例表明，限制函数$H_{3\text{L}}^{(c)}$在光滑剖面上保持了最佳三阶精度，避免了间断解的振荡.
2017-05-26 cs.NA math.NA
A Third-Order Semi-Discrete Central Scheme for Conservation Laws and Convection-Diffusion Equations
提出一种三阶半离散中心方法求解守恒律和对流扩散方程，基于CWENO重构，实现高精度、高分辨率和鲁棒性。
2000-02-16 cs.NA math.AP math.NA
A positive- and bound-preserving vectorial lattice Boltzmann method in two dimensions
本文提出二维向量格子玻尔兹曼方法，通过凸限制器混合策略实现密度和内能保正及局部最大值原理，在强间断与近真空可压缩欧拉方程测试中展现出高精度、鲁棒性和低振荡的锐利间断捕捉能力。
2024-11-22 cs.NA math.NA
General fourth order Chapman-Enskog expansion of lattice Boltzmann schemes
本文证明对于一般格子玻尔兹曼格式族，在声学尺度下Chapman-Enskog展开与泰勒展开在四阶精度内等价，并用标量守恒算例验证。
2025-01-27 cs.NA math.NA
High order conservative Semi-Lagrangian scheme for the BGK model of the Boltzmann equation
University of Catania（卡塔尼亚大学）；Sungkyunkwan University（成均馆大学）
本文提出了一种保守的半拉格朗日有限差分方案，用于Boltzmann方程的BGK模型，通过引入离散Maxwellian解决守恒问题，并采用守恒修正程序以确保在Knudsen数趋近于零时的渐进行为。
2019-05-09 cs.NA math.NA
Convergence of a two-relaxation-times kinetic approximation towards the solution of a scalar conservation law
Université de Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, IMB, UMR 5251（波尔多大学）；Université Paris-Saclay, CNRS, CentraleSupélec, Laboratoire EM2C & Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec（巴黎萨克雷大学）
研究一维标量非线性守恒律的双松弛时间动力学近似，通过格子玻尔兹曼格式建立其解的全局存在性并证明收敛性，还通过查普曼-恩斯考格展开等对松弛参数和平衡系数作用进行定性分析。
2026-07-27 cs.NA math.AP math.NA
Multi-dimensional third-order time-implicit scheme for conservation laws
Università degli Studi dell’Insubria（因苏布里亚大学）
本文提出多维第三阶隐式方案，结合空间重构与时间积分方法，通过低阶预测器和时间限制过程抑制数值振荡，验证了该方案在气体动力学方程中的有效性。
2026-07-30 cs.NA math.NA
A fast scheme for the homogeneous Boltzmann equation based on lifting and tensor train approximation
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
提出一种利用速度分布低秩结构的快速确定性格式，通过提升-投影方案和低秩张量方法高效计算碰撞算子，数值实验验证了计算效率和守恒修正的有效性。
2026-06-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Compact Central WENO Schemes for Multidimensional Conservation Laws
本文提出一种新的三阶中心WENO格式，通过紧凑模板重构多项式插值，在光滑区达三阶精度，在间断区自动切换至二阶重构，有效抑制伪振荡，适用于多维守恒律。
1999-11-13 cs.NA math.NA
Equilibrium boundary conditions for vectorial multi-dimensional lattice Boltzmann schemes
本文提出利用平衡概念为多维向量格子玻尔兹曼格式构造边界条件，证明标量情形收敛于弱熵解，并通过数值实验验证其能有效捕捉物理现象。
2025-05-23 cs.NA math.NA
A Truncation Error Analysis of Third-Order MUSCL Scheme for Nonlinear Conservation Laws
本文反驳了文献中关于MUSCL格式对非线性守恒律不可能具有三阶精度的说法。我们提供了一个严格的证明三阶精度的MUSCL计划的基础上仔细和详细的截断误差分析。在整个分析过程中，对于数值解和目标算子，将严格区分单元平均值和点值。结果表明，平均的解决方案重建在一个面的Van Leer的kappa-计划恢复的三次解完全与kappa = 1/3，同样是真实的非线性通量的平均值评估的重建的解决方案，和耗散项已经足够小的三阶截断误差。最后，注意到目标空间算子是单元平均通量导数，我们证明了MUSCL有限体积格式的主要截断误差是三阶的kappa = 1/3。讨论了扩散格式的重要性：当三阶MUSLC格式与错误的四阶扩散格式一起用于对流扩散问题时，将失去三阶精度。通过稳态和非稳态问题的全面数值实验验证了三阶精度。本文旨在为澄清关于MUSCL格式三阶精度的困惑提供参考，为正确分析和验证MUSCL格式求解非线性方程提供指导，并为后续澄清三阶非结构网格格式奠定基础。
2020-06-16 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A fast Petrov-Galerkin spectral method for the multi-dimensional Boltzmann equation using mapped Chebyshev functions
由于玻尔兹曼方程的高维、非线性和非局域碰撞算子，其数值逼近是一个具有挑战性的问题。在确定性方法中，傅里叶-伽辽金谱方法因其相对高的精度和被快速傅里叶变换加速的可能性而脱颖而出。然而，该方法需要非物理的域截断，因为冲突算子在$\mathbb{R}^d$中定义。本文介绍了无界区域上Boltzmann方程的Petrov-Galerkin谱方法。基函数（测试函数和测试函数）是精心选择的映射切比雪夫函数，以获得所需的收敛性和守恒性。此外，由于切比雪夫函数和傅里叶余弦级数的密切关系，我们能够构造一个快速算法的帮助下，非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）。我们证明了优越的精度相比，傅立叶谱方法，通过一系列的二维和三维的例子所提出的方法。
2021-05-18 cs.NA math.NA
Recovering the full Navier Stokes equations with lattice Boltzmann schemes
University Paris-Sud（巴黎第十一大学）；Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺院）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）
本文通过多松弛时间格子玻尔兹曼方案，结合质量、动量守恒与体积熵耗散，研究热纳维-斯托克斯方程的线性稳定性，并通过数值结果展示强非线性声波与激波的特性。
2018-02-07 cs.NA math.NA physics.class-ph
Fourth-order entropy-stable lattice Boltzmann schemes for hyperbolic systems
本文提出四阶熵稳定格子 Boltzmann 框架，通过组合二阶时间对称格式并局部调整松弛参数，在保持精度的同时增强非线性守恒律模拟的长期稳定性。
2024-09-10 cs.NA math.NA
Micro-macro decomposition based asymptotic-preserving numerical schemes and numerical moments conservation for collisional nonlinear kinetic equations
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出了一种扩展的微-宏分解方法，用于多尺度动能方程，包括BGK模型和一般的碰撞动能方程，如Boltzmann和Fokker-Planck Landau方程。核心方法是利用线性化碰撞算子与非线性二次算子之间的关系，通过BGK惩罚法或线性Fokker-Planck惩罚法克服其刚性。该方案能够高效计算所有尺度的碰撞动能方程，包括流体 regime，即使不解析小Knudsen数也能正确计算流体动态行为。这些方案的特点是虽然包含隐式项，但可以显式实现。通过使用宏观系统，这些方案精确保留动量（质量、动量和能量）。进一步利用这一守恒性质，用于更一般的动能系统，如Vlasov-Ampère和Vlasov-Ampère-Boltzmann系统。核心思想是同时演化概率密度分布的动能方程和动量系统，后者自然诱导一个在物理上守恒的动量守恒方案。
2019-02-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Stable lattice Boltzmann schemes with a dual entropy approach for monodimensional nonlinear waves
Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺院）；University Paris-Sud（巴黎第十一大学）
本文采用Bouchut提出的数学框架，通过双熵方法确定格子玻尔兹曼格式的平衡态，用于Burgers方程和非线性声学系统，并证明了非线性稳定性条件，同时指出该方法不适用于浅水方程。
2013-03-08 cs.NA math.NA
Lattice Boltzmann schemes with relative velocities
CNAM（国立高等工艺学院）；Univ. Paris-Sud（巴黎南大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出了一种新的格子玻尔兹曼方案，扩展了d'Humières的多松弛时间方法和Geier的级联方法，通过相对速度场建立等效偏微分方程，验证了其在二阶和三阶精度下的准确性。
2015-01-26 cs.NA math.NA
Third-Order Geometric-Volume Conservation in Cahn--Hilliard Models
Institute of Thermomechanics, Czech Academy of Sciences（捷克科学院热力学研究所）
本文提出了一种基于改进守恒框架的三阶几何体积守恒方法，通过设计单调映射Q(ϕ)和正则化内核，有效减少界面漂移并提高数值稳定性。
2026-02-02 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A TVD Active Flux method for scalar conservation laws
针对标量守恒律，为全离散单阶段Active Flux方法建立TVD理论，通过适配全变差概念与Harten引理，并高效计算参数，实现三阶方法。研究贡献在于为该高阶方法提供了TVD保证。
2026-10-06 cs.NA math.NA
An Integrated Quadratic Reconstruction for Finite Volume Schemes to Scalar Conservation Laws in Multiple Dimensions
本文提出了一种积分形式的多尺度有限体积格式的分段二次重构方法。这种集成的二次重建是无参数的，适用于灵活的网格。我们证明了在适当的时间步长设置下，新重构的有限体积格式满足局部极大值原理。数值算例表明，所提出的格式在二维和三维情况下都能获得三阶精度的光滑解。数值结果表明，局部极大值原理有助于防止数值解中的超调现象。
2020-08-05 cs.NA math.NA
Truncation errors and modified equations for the lattice Boltzmann method via the corresponding Finite Difference schemes
针对格子玻尔兹曼格式缺乏严格理论的问题，本文通过完全离散层面的动力学-宏观转换，将其重写为多步有限差分格式，严格推导了声学和扩散尺度下的修正方程至二阶，并提供了扩展至高阶的要素，结果与文献一致。
2023-05-16 cs.NA math.NA
Isotropy conditions for lattice Boltzmann schemes. Application to D2Q9
Conservatoire National des Arts et Métiers（国立工艺院）；Université Paris Sud, Laboratoire de mathématiques, UMR 8628（巴黎第十一大学，数学实验室）
本文在d'Humiéres框架下回顾线性格子玻尔兹曼格式，通过等价方程定义格式的各向同性阶数，并利用群运算推导松弛时间和平衡态的关系，提出按所需各向同性阶数选择参数的方法，应用于D2Q9格式得到经典及非经典约束。
2011-10-03 cs.NA math.NA
Lagrangian dual framework for conservative neural network solutions of kinetic equations
Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）；Korea Advanced Institute of Science and Technology（韩国科学技术院）
在本文中，我们提出了一种新的保守的制定解决动力学方程，通过神经网络。更准确地说，我们制定的学习问题作为一个约束最优化问题的约束，代表物理守恒定律。通过拉格朗日对偶性，将约束条件向剩余损失函数方向放宽。通过施加物理守恒性质的解决方案的学习问题的约束，我们证明了更准确的近似的解决方案的误差和守恒定律，动力学福克-普朗克方程和齐次玻尔兹曼方程。
2021-06-23 cs.LG cs.NA math.NA
Fast conservative and entropic numerical methods for the Boson Boltzmann equation
University of Vienna（维也纳大学）；University of Ferrara（费拉拉大学）
针对相互作用玻色子气体的量子玻尔兹曼方程，提出保持质量、能量守恒和熵不等式的数值格式，并开发快速算法将计算复杂度从O(N^3)降至O(N^2 log N)。
2010-09-14 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas cs.NA
Discontinuous Galerkin Discretizations of the Boltzmann Equations in 2D: semi-analytic time stepping and absorbing boundary layers
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；EPFL SB, MATH MCSS（洛桑联邦理工学院科学与工程学院数学系计算数学与模拟科学）
本文提出了一种高效的节点不连续Galerkin方法，用于近似几乎不可压缩流动，采用Boltzmann方程进行离散化。在速度空间中使用Hermite多项式进行离散化，得到一个一阶守恒律。引入了稳定化的非分裂完美匹配层（PML）公式，用于非线性流体方程。提出了一种半解析时间离散化方法，以提高小弛豫时间下的时间步长限制。还引入了多速率半解析Adams-Bashforth方法，在刚性区域保持效率。通过不同的测试案例验证了方法的精度和性能，包括等温涡旋、方形圆柱体周围的流动以及壁面安装方形圆柱体测试案例。
2018-05-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Convergence and error estimates for the Lagrangian based Conservative Spectral method for Boltzmann Equations
本文对作者在\cite{GT09}中提出的弹性和非弹性空间齐次Boltzmann方程的半离散守恒谱方法进行了误差估计.此外，我们研究了这种半离散解的长时间收敛到平衡麦克斯韦分布，保持与初始数据相关联的质量，动量和能量。数值方法是基于碰撞算子的傅里叶变换和拉格朗日优化修正，该修正强制执行碰撞不变量，即在弹性情况下的质量、动量和能量守恒，以及在非弹性情况下的质量和动量守恒。我们提出了一个详细的半离散分析所提出的数值方法，其中包括$L^{1}-L^{2}$理论的计划的收敛性。这种分析使我们能够提出，此外，在Sobolev空间的收敛性和收敛到平衡的数值逼近。这项工作的结果回答了一个长期悬而未决的问题Cercignani等人。在\cite [第12章]{CIP}关于寻找误差估计的数值方案相关的玻尔兹曼方程，以及显示半离散数值解收敛到平衡麦克斯韦分布相关的初值问题。
2019-06-20 cond-mat.stat-mech cs.NA math-ph
