补遗：闭曲面的情况。（可平面图和具有整锥奇点的平坦曲面上的边值问题，I：狄利克雷问题）

二值调和函数分支点奇点的精细性质

Fine properties of branch point singularities: Two-valued harmonic functions

在20世纪80年代，Almgren发展了一个理论的多值Dirichlet能量极小化功能$n$维域和使用它，在一个重要的方式，以约束的豪斯多夫维数的奇异集面积极小化整流电流的尺寸$n$和余维$\geq 2$。第二作者最近的工作表明，$n$维域上的二值$C^{1, μ}$调和函数是Dirichlet能量的典型非极小化驻点，在研究$n$维稳定余维1可整流电流的重2分支点中起着重要作用.在所有这些情况下（多值调和函数和最小电流），它是已知的分支集的豪斯多夫维数$\leq n-2.$在本文中，我们开始研究的局部结构的分支集。证明了二值Dirichlet能量极小化函数或二值$C^{1, μ}$调和函数在其定义域的每个闭球上的分支集要么为空，要么具有正的$(n-2)$ -维Hausdorff测度，并且等于有限个局部紧的局部$(n-2)$ -可求长集的并.我们的方法受到L.西蒙关于紧的重数为1的类中的极小子流形的奇点的结构。

曲线缩短流的狄利克雷问题

The Dirichlet problem for curve shortening flow

我们研究了具有固定端点的开放曲线在曲线缩短流（curve shortening flow）下的演化，该流使曲线与其曲率成比例地演化。利用Huisken的距离比较，我们确定了在常曲率曲面上的某些凸区域中演化的具有固定端点的开放曲线的长期行为。具体来说，我们表明，这样的曲线不发展奇点，并演变为测地线。

复Monge-Ampere流的多位势Cauchy-狄利克雷问题

The pluripotential Cauchy-Dirichlet problem for complex Monge-Ampere flows

我们在Cn的有界强伪凸区域中发展了抛物多势理论的第一步。本文研究一类退化抛物型复Monge-Schr方程，该方程以Kawamata对数终端奇异的复代数簇上的K{ä}hler-里奇流为模型.在Cauchy-Dirichlet边界数据的自然假设下，我们证明了多势子解的包络在时间上是半凹的，在空间上是连续的，并给出了具有这种规律性的唯一多势解.

具有解析边界的Dirichlet能量极小元

Dirichlet energy-minimizers with analytic boundary

在本文中，我们考虑具有一个指定的实解析界面，最小化Dirichlet能量的多值图。这样的对象出现作为一个线性化模型的面积最小化电流与真正的分析边界，我们的主要结果是，他们的奇异集是离散的2维。这证实了B的一个猜想（并提供了第一步）。当\cite{White97}的面积最小化具有实解析边界的$2$维电流时，有有限个奇点。我们还表明，在任何维度上，具有$C^1$边界界面的Dirichlet能量极小元在界面处是Hölder连续的。

Harmonic intrinsic graphs in the Heisenberg group

Minimal surfaces in $\mathbb{R}^n$ can be locally approximated by graphs of harmonic functions, i.e., functions that are critical points of the Dirichlet energy, but no analogous theorem is known for $H$-minimal surfaces in the three-dimensional Heisenberg group $\mathbb{H}$, which are known to have singularities. In this paper, we introduce a definition of intrinsic Dirichlet energy for surfaces in $\mathbb{H}$ and study the critical points of this energy, which we call contact harmonic graphs. Nearly flat regions of $H$-minimal surfaces can often be approximated by such graphs. We give a cal…

一类中曲率型偏微分方程的渐近狄利克雷问题

On the asymptotic Dirichlet problem for a class of mean curvature type partial differential equations

本文研究了如下给定中曲率偏微分方程$$ \begin{cases} -\operatorname{div}\dfrac{\nabla v}{\sqrt{1+|\nabla v|^{2}}}=f(x,v) \text{ in }Ω\\ v=φ\text{ on }\partialΩ. \end{cases} $$的狄利克雷问题，其中$Ω$是包含在完备黎曼流形中的区域，$M,$ $f:Ω\times\mathbb{R\rightarrow R}$是固定函数，$φ$是$\partialΩ$上给定的连续函数.这项工作分三部分进行。在第一个，我们认为这个问题的最一般的形式，证明了解决方案的存在性时，$Ω$是一个有界的$C^{2,α}$域，在适当的条件下，$f$，没有限制$M$除了完整性。第二部分研究了当$M$是双曲空间$\mathbb{H}^n$，$Ω$是全空间时的渐近狄利克雷问题。这一部分主要利用$\mathbb{H}^n$的几何结构来构造类似于极小曲面PDE的Scherk型解的特殊障碍。第三部分利用Scherk型图证明了该狄利克雷问题整体解的孤立渐近边界奇点的不存在性。

复 Monge-Ampère 方程在 Stein 空间上解的连续模

Modulus of Continuity of Solutions to Complex Monge-Ampère Equations on Stein Spaces

本文研究复 Monge-Ampère 方程在 Stein 空间上的解的连续性，证明在奇点外解为 Hölder 连续当边界数据满足 Hölder 连续条件。

Kähler锥度量空间中的测地线

Geodesics in the space of Kähler cone metrics

本文研究Kähler锥度量$\mathcal H_\b$空间中测地线方程的狄利克雷问题，它等价于一个齐次复蒙日-安培方程，其边值由具有锥奇点的Kähler度量构成.我们的方法涉及的推广的空间定义在唐纳森\cite{MR2975584}的情况下Kähler流形的边界，此外，我们引入了一个子空间$\mathcal H_C$的$\mathcal H_\b$，我们定义通过规定适当的几何条件。主要结果是边值位于$\mathcal H_C$中的$C^{1,1}_\b$测地线的存在性、唯一性和正则性。证明了这种测地线是$C^{2,\a}_\b$近似测地线序列在$C^{1,1}_\b$ -范数下的极限.作为几何应用，我们证明了$\mathcal H_C$的度量空间结构.

加权最小梯度问题极小解的连续性

Continuity of minimizers to weighted least gradient problems

在Dirichlet边界条件下，当边界数据连续且权函数为C^2且有界远离零时，我们重新讨论了固定有界区域上加权最小梯度问题极小解的存在性和正则性问题.在R^n中区域上适当的几何条件下，通过将Sternberg-Williams-Ziemer技巧推广到非齐次变分的情形，我们构造了上述变分问题在任意维数n>=2上的连续解。我们证明了所构造的极小元的水平集是由权函数确定的共形度量中的极小曲面。这一结果补充了Jerrard，Moradifam和Nachman的方法，因为它提供了一个连续的解决方案，即使在高维的水平集发展奇点的可能性存在。证明依赖于应用严格的最大值原理的面积最小化边界由莱昂西蒙建立的集。

3-维流形上非紧致域的极小图

Minimal graphs over non-compact domains in 3-manifolds fibered by a Killing vector field

研究3维流形上非紧致域的极小Killing图，解决Dirichlet问题并证明唯一性和奇点可移除性。