Hyperbolic Secant Varieties of M-Curves
我们将曲线几何与实代数几何中的双曲性概念联系起来。一个双曲簇是一个实代数簇，它（特别地）允许一个实纤维态射到一个射影空间，其维数等于该簇的维数。我们研究双曲品种的情况下，特别感兴趣的超曲面，承认一个真正的代数裁决。本文的中心部分是关于实代数曲线的割线簇，其中实轨迹具有最大连通分支数，这是由曲线的亏格决定的。对于椭圆正态曲线，我们进一步得到了双曲正割超曲面的确定的对称行列式表示，这意味着在这些超曲面上存在秩为1的对称Ulrich层.
2020-02-02 math.AG
Secants, bitangents, and their congruences
同余是射影$3$ -空间中直线的格拉斯曼$\mathrm{Gr}(1,\mathbb{P}^3)$中的曲面。对于空间曲线$C$，我们将由所有与$C$相交的直线组成的$\mathrm{Gr}(1,\mathbb{P}^3)$中的Chow超曲面联系起来。我们计算了这个超曲面的奇异轨迹，它包含了所有与$C$割线的同余。$\mathbb{P}^3$中的曲面$S$定义了$\mathrm{Gr}(1,\mathbb{P}^3)$中与$S$相切的所有直线的Hurwitz超曲面。我们证明了对于足够一般的$S$，它的奇异轨迹有两个分量：双切线的同余和屈折切线的同余。利用对偶、极轨迹和投影等几何技巧，对割线、双切和屈折同余的二度性给出了新的证明。我们还研究了这些同余的奇异性。
2017-10-13 math.AG
Symplectic bundles on the plane, secant varieties and Lüroth quartics revisited
让$X={\bf P}^2\times{\bf P}^{n-1}$嵌入$Ø(1,2)$。我们证明了它的$(n+1)$割线簇$σ_{n+1}(X)$是一个超曲面，而我们期望它充满周围空间。$σ_{n+1}(X)$方程是斯特拉森方程的对称模拟。当$n=4$时，行列式映射将$σ_5(X)$带到Lüroth四次曲面的超曲面，这是LePotier和Tikhomirov研究的Barth映射的图像。利用这一线索，利用$X$的高阶割线簇，得到了关于${\bf P}^2$上辛丛的跳跃线和Brill-Noether轨迹的一些结果.
2007-02-06 math.AG
Prolongations of infinitesimal automorphisms of cubic hypersurfaces with nonzero Hessian
研究了复数上三次超曲面的自同构群的连通分支。当三次超曲面具有非零海森时，这个群通常很小。但是有一些例子具有异常大的自同构群：塞维里簇的割线。我们能用具有异常大的自同构群的性质来刻画它们吗？我们从李代数的置换的观点来研究这个问题。我们的结果刻画了具有非零Hessian和光滑奇异轨迹的三次超曲面中Severi簇的割线的某些类型的交换。
2016-12-29 math.AG
Ranks on the boundaries of secant varieties
在许多情况下（例如，许多Segre或Segre嵌入的多投射空间），我们证明了一个超曲面的$b$割线品种的$X\subset \mathbb {P}^r$有$X$ -秩$>b$。证明了$X$的$b-2$拷贝与$X$的切簇的并的一般点的$X$秩为$>b$ .
2017-08-03 math.AG
On the Hilbert function of intersections of a hypersurface with general reducible curves
设$W\subset \mathbb {P}^n$，$n\ge 3$是一个度$k$超曲面.考虑“一般”可约但连通的曲线$Y\subset \mathbb {P}^n$，例如具有$p_a(Y)=0$的线的充分一般连通和节点并集，即线树。研究了具有基数$k°(Y)$的集合$Y\cap W$的Hilbert函数，并证明了它何时是期望函数.我们给出了$k=2$和$n=k=3$的例外的完整分类。我们应用这些结果和工具的情况下，$Y$是一个光滑的曲线与$\mathcal {O}_Y(1)$非特殊的。
2020-04-30 math.AG
Irreducibility of analytic arc-sections of hypersurface singularities
讨论了不可约超曲面奇芽沿有限投影的不可约弧截面和可约弧截面的存在性。特别是，我们提供的例子，不可约孤立超曲面奇点，没有不可约弧截面存在，并表明，可约的总是存在的。此外，我们给出了一个算法来检查是否一个给定的投影允许不可约弧截面，并找到他们，如果他们存在。
2019-03-30 math.AG
Invariants of the singularities of secant varieties of curves
本文研究光滑射影曲线的 $k$-平面割线簇的奇点不变量，计算了任意曲线的交点上同调，并证明有理正规曲线的所有割线簇均为满足 Poincaré 对偶的有理同调流形，同时计算了最大非平凡割线簇的邻近圈与消没圈。
2024-10-13 math.AG
Determinantal representations of singular hypersurfaces in P^n
P^n中超曲面的（整体）行列式表示是一个矩阵，其元素是齐次坐标中的线性型，其行列式定义了超曲面。我们研究了奇异（可能约化或非约化）超曲面的这种表示的性质。特别地，我们得到了整体可约超曲面的行列式表示的可分解准则。进一步，我们根据$X$上相应的核层对行列式表示进行了分类。最后，我们将结果推广到对称/自伴随表示的情形，并应用到双曲多项式和广义Lax猜想。
2012-09-18 math.AG
Completely reducible hypersurfaces in a pencil
本文研究了$\mathbb P^n$上超曲面束的完全可约纤维和$\mathbb P^n$的余维1叶理。使用的方法从理论的叶理，我们得到一定的上界，这些纤维的数量仅作为功能的$n$。等价地，这给出了超平面排列的共振簇的维数的上界。我们得到类似的界限的尺寸的特征品种的安排补充。
2007-04-09 math.AG math.CO
Classes características e secantes de curvas racionais normais
本文研究复射影空间中有理正规曲线割线的特征类，计算了割线超曲面的对偶、Mather类、极次数及梯度映射的拓扑次数，并由此肯定了一个关于非homaloidal性质的猜想，同时提出了关于射影次数与Schwartz-MacPherson类显式公式的新猜想。
2023-09-17 math.AG
Cubic forms having matrix factorizations by Hessian matrices
利用Pirio和Russo的XJC-对应的一部分，对具有黑塞矩阵的三次型$f$进行了分类.当它定义一个约化超曲面时，它满足“割线-奇异”对应，即它与其奇异轨迹的割线轨迹重合。特别地，当$f$是不可约的时，它的奇异轨迹是四个Severi簇之一。
2019-05-23 math.AG
The number of reducible space curves over a finite field
射影空间中的“大多数”超曲面是不可约的，并且已知有限域上的随机超曲面是可约的概率的相当精确的估计。本文研究了空间曲线的Chow簇参数化问题，给出了有限域上随机曲线可约概率的界。
2013-07-05 math.AG math.NT
J-embeddable reducible surfaces (enlarged version)
设V是P^n（C）中的一个簇，W是P^n中的一个维数为w的线性空间。我们说V可以同构地投影到W上，如果存在一个线性投影f，从一个与W不相交的合适的线性空间L，dim（L）= n-w-1 >= 0，使得f（V）同构于V。W.约翰逊：投射簇的浸入和嵌入，Acta Math. [140]（1981）49-74）如果f'是内射的，并且f'的微分是有限映射。本文对J-可嵌入可约曲面进行了分类，等价地，对割线簇维数不超过4的可约曲面进行了分类。对于具有两个组件的曲面，分类非常详细。对于三个或更多的组件，我们给出了一个合理的分类，考虑到完整的分类是非常丰富的情况下，subcase和subsubcase。
2010-03-01 math.AG
Computations and Equations for Segre-Grassmann hypersurfaces
本文解答了Abo-Wan关于Segre-Grassmann超曲面的问题，证实无限族超曲面由已知行列式方程极小定义，并提供非数值证明。
2015-08-18 math.AG
Birational geometry of defective varieties, II
设$X \subset \mathbb{P}^r$是光滑的和不可约的，对于$k \ge 0$，设$ν_k(X)$（分别，$δ_k(X)$）是第$k$个联系人（相应地，$X$的$k$次正割）缺陷。对于所有的$k \ge 0$，我们有不等式$ν_k(X) \ge δ_k(X)$，在$k=1$的情况下，我们描述了投影品种$X$，其中等式成立，$\dim \mathrm{Sing}(X) \le δ_1(X) -1$和通用切向接触轨迹是可约的。
2020-10-21 math.AG
Polynomials of small slice rank and strength
本文研究可约多项式簇割簇的定义方程，编码多项式强度与切片秩概念，提出三项贡献：推广 Ruppert 方程至任意变量、基于偏导数合冲构造小强度行列式方程，并证明三次型切片秩二由14变量泛线性截面决定。
2025-09-15 math.AG
Strength and slice rank of forms are generically equal
证明了特征为零的代数闭域上$d \geq 5$次齐次多项式的强度和片秩一般一致。为了证明这一点，我们建立了Catalisano，Geramita，Gimigliano，Harbourne，Migliore，Nagel和Shin关于可约齐次多项式簇的割线簇的维数的猜想。这些陈述在$2\leq d\leq 7$和$d=9$的程度上已经知道了。
2021-02-23 math.AC math.AG
Varieties with quadratic entry locus, I
$δ$型的二次入口轨迹流形$X\subset\mathbb P^N$是光滑的射影簇，使得在$X$上由跨越通过割线簇$SX\subseteq\mathbb P^N$的一般点的割线的点所描述的轨迹是光滑的二次超曲面，其维数为$δ=2n+1-\dim(SX)$，等于$X$的割线亏。这些流形广泛而自然地出现在具有特殊几何性质和/或极值切向行为的射影变种中。我们证明了，设$δ=2r_X +1\geq 3$或$δ=2r_X+2$，则$2^{r_X}$可除$n-δ$ .这是通过研究射影几何的希尔伯特计划$Y_x\subset \mathbb(T_x^*)$的线通过一般点$x$的$X$，允许一个归纳程序。上述的整除性质允许对$QEL$ -流形上的许多结果进行统一和简单的证明，例如对$δ\geq n/2$型流形、$(2,3)$型Cremona变换、$(2,5)$的完全分类。特别是，我们提出了一个新的和非常短的证明，这一事实，塞维品种的尺寸2，4，8或16，也几乎自包含半页证明他们的分类，由于扎克。
2009-09-15 math.AG
On the strength of general polynomials
切片分解是将齐次多项式表示为具有线性因子的形式之和。强度分解是将齐次多项式表示为可约形式之和。多项式的切片秩和强度分别是这种分解的最小长度。切片秩是强度的上界，并且这两个值之间的差距可以是任意大的。然而，在符合Catalisano等人的猜想。对尺寸割线品种品种的品种可约形式，我们猜想，平等举行的一般形式。利用Fröberg猜想的一个较弱的版本，证明了我们的猜想在$7$阶和在$9$阶都成立.
2021-06-22 math.AC math.AG
A Mordell-Weil theorem for cubic hypersurfaces of high dimension
设$X$是有理数上维数为$n \ge 1$的光滑三次超曲面.众所周知，新的有理点可以通过割线和切线构造从旧的有理点获得。鉴于$n=1$的Mordell-Weil定理，Manin（1968）问是否存在一个有限集$S$，从这个有限集可以得到所有其他的有理点。我们对$n \ge 48$给出了肯定的回答，事实上我们可以把生成集$S$取为仅由一个点组成.我们的证明利用了Skinner的一个弱逼近定理，Browning，Dietmann和Heath-Brown关于高维二次曲面和三次曲面的交线上有理点的存在性定理，以及微分几何，代数几何和数值分析中的一些基本思想.
2016-05-09 math.AG math.NT
The Computation of the Euclidean Distance Degree for the Middle Catalacticant for the Binary Forms
本文计算了Veronese嵌入的割线簇的欧氏距离度，利用Aluffi-Harris公式得到前五个值，为割线簇情形首次。
2023-06-23 math.AG
Hadamard ranks of algebraic varieties
本文针对代数簇引入Hadamard秩概念，证明一般点有限性，并给出环面簇割线簇的Hadamard秩上界及维数下界，用于张量Hadamard分解。
2025-10-06 math.AG math.ST stat.TH
Linear system of hypersurfaces passing through a Galois orbit
本文证明在可分域扩张下存在不落在任何定义于基域的d次超曲面上的点，其Galois共轭施加独立条件，并据此确定有限域上可约与不可约超曲面线性系统的最大维数。
2024-08-06 math.AG math.NT
Linear syzygies and linear subspaces whose lines are multisecant
Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST)（韩国科学技术院）
本文研究射影簇的多重割线轨迹，证明满足N_{d,2}的射影簇的割线轨迹可由矩阵子式定义，构造了两类奇异射影簇，推广了割线引理并得到线性合冲数量的下界。
2026-10-09 math.AG
