D-可测性与t-Wright凸函数

线性连续函数与$F_σ$可测性

Linearly continuous functions and $F_σ$-measurability

定义在向量空间上的函数的线性连续性意味着它对每一条仿射线的限制是连续的。对于定义在$\mathbb R^m$上的函数，这个概念接近于单独的连续性，对于单独的连续性，只需要在平行于坐标轴的直线上的连续性。经典的Lebesgue定理指出，每个独立连续函数$f:\mathbb R^m\to\mathbb R$都是$(m-1)$ -th Baire类。本文证明了每个线性连续函数$f:\mathbb R^m\to\mathbb R$都是第一Baire类。此外，我们得到以下结果。如果$X$是Baire宇宙拓扑向量空间，$Y$是Tychonoff拓扑空间，$f:X\to Y$是Borel可测（甚至BP可测）线性连续函数，则$f$是$F_σ$ -可测的.利用这个定理，我们刻画了$\mathbb R^m$上任意线性连续函数的间断点集。在文章的最后一部分，我们证明了定义在严格凸开集$U\subset\mathbb R^m$的边界上的任何$F_σ$ -可测函数$f:\partial U\to \mathbb R$都可以扩张为线性连续函数$\bar f:X\to \mathbb R$ .这一事实表明，在“描述意义”上，线性连续性并不比$F_σ$可测性好。