平方中平移不变方程的对数界
Logarithmic bounds for translation-invariant equations in squares
摘要：
证明了方程$λ_1 n_1^2 + ... + λ_s n_s^2 = 0$在密度为$(\log N)^{-c_s}$的$[N]$的任意子集中存在非平凡解，条件是$s \geq 7$与系数$λ_i$之和为零且满足一定的符号条件.这改进了以前已知的$(\log\log N)^{-c}$形式的密度边界。
英文摘要：
We show that the equation $λ_1 n_1^2 + ... + λ_s n_s^2 = 0$ admits non-trivial solutions in any subset of $[N]$ of density $(\log N)^{-c_s}$, provided that $s \geq 7$ and the coefficients $λ_i$ sum to zero and satisfy certain sign conditions. This improves upon previous known density bounds of the form $(\log\log N)^{-c}$.
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