扰动格点的刚度和容差
Rigidity and tolerance for perturbed lattices
摘要：
扰动格是一个点过程$Π=\{x+Y_x:x\in \mathbb{Z}^d\}$，其中$\mathbb{Z}^d$中的格点被i.i.d.扰动。随机变量$\{Y_x\}_{x\in \mathbb{Z}^d}$。一个随机点过程$Π$被称为刚性的，如果给定$Π\setminus B_0(1)$（球外的点），球内的点数$|Π\cap B_0(1)|$可以精确确定。如果删除$Π$的一个点会产生一个与$Π$的分布不可区分的进程，则该进程称为删除容忍进程。假设$Y_x\sim N_d(0,σ^2 I)$是具有$d$方差独立分量$σ^2$的高斯向量。Holroyd和Soo表明，在维度$d=1,2$中，由此产生的高斯扰动晶格$Π$是刚性的，并且不容许删除。我们发现，在尺寸$d\geq 3$存在一个关键参数$σ_r(d)$，$Π$是刚性的，如果$σ<σ_r$和删除容忍（因此非刚性），如果$σ>σ_r$。
英文摘要：
A perturbed lattice is a point process $Π=\{x+Y_x:x\in \mathbb{Z}^d\}$ where the lattice points in $\mathbb{Z}^d$ are perturbed by i.i.d.\ random variables $\{Y_x\}_{x\in \mathbb{Z}^d}$. A random point process $Π$ is said to be rigid if $|Π\cap B_0(1)|$, the number of points in a ball, can be exactly determined given $Π\setminus B_0(1)$, the points outside the ball. The process $Π$ is called deletion tolerant if removing one point of $Π$ yields a process with distribution indistinguishable from that of $Π$. Suppose that $Y_x\sim N_d(0,σ^2 I)$ are Gaussian vectors with with $d$ independent components of variance $σ^2$. Holroyd and Soo showed that in dimensions $d=1,2$ the resulting Gaussian perturbed lattice $Π$ is rigid and deletion intolerant. We show that in dimension $d\geq 3$ there exists a critical parameter $σ_r(d)$ such that $Π$ is rigid if $σ<σ_r$ and deletion tolerant (hence non-rigid) if $σ>σ_r$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
