我们提出了部分相关筛选（PCS）作为一个新的逐行的方法来估计一个大的精度矩阵$Ω$。为了估计$Ω$的第$i$行，$1 \leq i \leq p$，PCS使用“筛选”步骤和“清除”步骤。在筛选步骤中，PCS使用逐阶段算法招募索引的（小）子集，其中在每个阶段中，算法通过添加与$i$具有最大（在幅度上）经验偏相关性的索引$j$来更新所招募索引的集合。在清理步骤中，PCS重新调查所有被招募的索引并使用它们来重构$Ω$的第$i$行。PCS在计算上是有效的并且在存储器中是适度的用途：为了估计$Ω$的行，它仅需要经验协方差阵的几行（顺序确定）。这使得PCS能够执行大精度矩阵（例如，$p=10K$），并为估计更大的精度矩阵打开了大门。我们使用PCS进行分类。更高的批评保持（HCT）是一个最近的分类器，享有最优性，但在实践中充分利用其潜力，需要一个很好的估计精度矩阵$Ω$。将HCT与估计$Ω$的任何方法相结合给出了新的分类器：示例包括HCT-PCS和HCT-glasso。我们已经将HCT-PCS应用于两个大的微阵列数据集（$p = 8K$和$10K$）进行分类，其中它不仅显著优于HCT-glasso，而且与支持向量机（SVM）和随机森林（RF）竞争。结果表明，PCS给出了更有用的估计比glasso的$Ω$。我们建立了一个一般的理论框架，并表明，在一个广泛的背景下，PCS完全恢复的支持$Ω$和HCT-PCS产生最佳的分类行为。我们的证明揭示了阶段明智的程序的行为有趣的光。
英文摘要：
We propose Partial Correlation Screening (PCS) as a new row-by-row approach to estimating a large precision matrix $Ω$. To estimate the $i$-th row of $Ω$, $1 \leq i \leq p$, PCS uses a Screen step and a Clean step. In the Screen step, PCS recruits a (small) subset of indices using a stage-wise algorithm, where in each stage, the algorithm updates the set of recruited indices by adding the index $j$ that has the largest (in magnitude) empirical partial correlation with $i$. In the Clean step, PCS re-investigates all recruited indices and use them to reconstruct the $i$-th row of $Ω$.
PCS is computationally efficient and modest in memory use: to estimate a row of $Ω$, it only needs a few rows (determined sequentially) of the empirical covariance matrix. This enables PCS to execute the estimation of a large precision matrix (e.g., $p=10K$) in a few minutes, and open doors to estimating much larger precision matrices.
We use PCS for classification. Higher Criticism Thresholding (HCT) is a recent classifier that enjoys optimality, but to exploit its full potential in practice, one needs a good estimate of the precision matrix $Ω$. Combining HCT with any approach to estimating $Ω$ gives a new classifier: examples include HCT-PCS and HCT-glasso. We have applied HCT-PCS to two large microarray data sets ($p = 8K$ and $10K$) for classification, where it not only significantly outperforms HCT-glasso, but also is competitive to the Support Vector Machine (SVM) and Random Forest (RF). The results suggest that PCS gives more useful estimates of $Ω$ than the glasso.
We set up a general theoretical framework and show that in a broad context, PCS fully recovers the support of $Ω$ and HCT-PCS yields optimal classification behavior. Our proofs shed interesting light on the behavior of stage-wise procedures.
Estimating High-dimensional Covariance and Precision Matrices under General Missing Dependence
完全观测数据的样本协方差阵$\boldsymbol{S}$是多种多元统计过程中的关键统计量，例如结构化协方差/精度矩阵估计、主成分分析和均值向量相等性检验。然而，当数据被部分观测时，来自可用数据的样本协方差阵存在偏差，并且不能提供有效的多变量程序。为了纠正偏差，一个简单的调整方法称为逆概率加权（IPW）已在以前的研究中使用，产生的IPW估计。估计量在缺失数据上下文中扮演$\boldsymbol{S}$的角色，因此可以将其插入现成的多变量程序。然而，IPW估计量的理论性质（例如浓度）仅在非常简单的缺失结构下建立;每个样本的每个变量都独立地以相等的概率缺失。研究了在一般缺失相依下部分观测时IPW估计量的偏差。我们证明了最佳收敛速度$O_p(\sqrt{\log p / n})$的IPW估计的基础上的元素明智的最大范数。我们也得到类似的偏差结果，即使当隐式假设（已知的平均值和/或缺失概率）放松。最优速率在估计精度矩阵时尤其重要，因为“元定理”声称IPW估计器的速率控制所得到的精度矩阵估计器的速率。在模拟研究中，我们讨论了IPW估计的非正半定性，并将该估计与具有实际意义的插补方法进行了比较。
Estimating Precision Matrices for High-Dimensional Interval-Valued Data
School of Economics and Management, Beihang University（北京航空航天大学经济管理学院）；Key Laboratory of Complex System Analysis, Management and Decision (Beihang University)（复杂系统分析与决策重点实验室（北京航空航天大学））；Advanced Institute of Information Technology, Peking University（北京大学信息科学技术学院前沿交叉研究院）；Wangxuan Institute of Computer Technology, Peking University（北京大学王选计算机研究所）
