Balanced Circle Packings for Planar Graphs
Md. Jawaherul Alam, David Eppstein, Michael T. Goodrich, Stephen G. Kobourov, Sergey Pupyrev
研究了平面图的平衡圆填充和圆接触表示，其中最大圆的直径与最小圆的直径之比是关于圆数的多项式。我们提供了一些积极的和消极的结果存在这样的平衡配置。
We study balanced circle packings and circle-contact representations for planar graphs, where the ratio of the largest circle's diameter to the smallest circle's diameter is polynomial in the number of circles. We provide a number of positive and negative results for the existence of such balanced configurations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Split Packing: Algorithms for Packing Circles with Optimal Worst-Case Density
在经典的圆包装问题中，人们会问一组给定的圆是否可以包装到一个给定的容器中。像这样的打包问题已经被证明是$\mathsf{NP}$ -hard。在本文中，我们提出了将圆装入正方形和三角形容器的新的充分条件，仅使用圆的面积之和：对于正方形容器，可以将任何一组面积之和最多为正方形面积的53.90%的圆装入正方形容器。当容器是直角三角形或钝角三角形时，任何一组面积不超过三角形内圆的圆都可以装箱。这些面积条件是紧的，在某种意义上，对于任何更大的面积，都有不能被包装的圆集。类似的结果早就知道广场，但据我们所知，我们给这种类型的圆形物体的第一个结果。我们的证明是有建设性的：我们描述了一个通用的，分治为基础的算法包装圆到各种容器形状的最佳最坏情况下的密度。它采用了一个优雅的细分方案，递归地将圆分成两组，然后将它们打包到子容器中。我们称这种算法为“拆分包装”。由于它的多项式运行时间，它可以用作寻找最小容器时的常数因子近似算法，其中可以包装一组给定的圆。可以在https://morr.cc/split-packing/上找到Split Packing方法和其他相关材料的基于浏览器的交互式可视化
Adaptive Simulated Annealing with Greedy Search for the Circle Bin Packing Problem
本文提出了一个新的装箱问题，称为圆形装箱问题（CBPP-CI）。该问题涉及到包装所有的圆形物品到多个相同的圆形箱尽可能紧凑的目标，最大限度地减少使用箱的数量。我们首先定义了切线占用行动（TOA），并提出了一个建设性的贪心算法，顺序包装的项目到地方相切的包装项目或箱的边界。此外，为了避免陷入局部极小值陷阱，并有效地判断是否已建立最优解，我们继续提出自适应模拟退火贪婪搜索（ASA-GS）算法，探索和利用搜索空间有效。具体来说，我们提供了两个新的局部扰动策略跳出局部最优，并结合贪婪搜索，以实现更快的收敛。ASA-GS的参数是自适应的，根据项目的数量，使他们可以在整个问题规模的大小不可知。我们设计了两组新的基准测试实例，实验结果表明，ASA-GS完全优于构造性贪心算法。此外，ASA-GS在顶部几个密集箱上的填充密度远高于用于单圈填充问题的最新算法的填充密度，从而推断CBPP-CI的填充解的高质量。
A Densest ternary circle packing in the plane
我们考虑平面上的圆填充，其圆的大小为$1$、$r\simeq 0.834$和$s\simeq 0.651$。这些尺寸是允许紧凑填充的代数数，即，其中每个孔由三个相互相切的圆形成的填充。人们认为，在可能的情况下，紧凑的填料可以使密度最大化。我们证明，这确实是这些尺寸的情况下。证明应该是可推广到其他尺寸，允许紧凑的包装，是第一步走向一般的结果。
The Galois Complexity of Graph Drawing: Why Numerical Solutions are Ubiquitous for Force-Directed, Spectral, and Circle Packing Drawings
许多著名的图形绘制技术，包括力定向绘图，谱图布局，多维缩放和圆填充，都有代数公式。然而，用于产生这样的绘图的实际方法普遍使用迭代数值近似，而不是构造然后求解表示其精确解的代数表达式。为了解释这一现象，我们使用伽罗瓦理论表明，这些问题的许多变体的解决方案，不能表示嵌套的根或嵌套根的低次多项式。因此，即使在包括这种操作的扩展计算模型中，也不能精确地计算这种解。
Quadrilateral Meshing by Circle Packing
我们使用圆填充方法来生成多边形域的四边形网格，保证边界上的质量和元素的数量。我们表明，这些方法可以生成几种类型的网格：（1）元素形成的细胞的沃罗诺伊图，（2）所有的元素有两个相反的直角，（3）所有的元素是风筝，或（4）所有的角度是最多120度。在每种情况下，元素的总数都是O（n），其中n是输入顶点的数量。
An Efficient Quasi-physical Quasi-human Algorithm for Packing Equal Circles in a Circular Container
针对等圆装箱问题，提出了一种高效的拟物拟人算法。QPQH是基于一个修改的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法，我们称之为本地BFGS和一个新的盆地跳跃策略的基础上，中国成语：交替紧张与放松。从一个随机的初始布局开始，我们应用局部BFGS算法来达到局部最小布局。局部BFGS算法充分利用了每个圆的邻域信息，大大加快了梯度下降过程的运行时间，对于大规模的实例，效率非常明显。当产生局部最小布局时，新的跳盆策略是在不同程度上收缩容器大小以产生多个新布局。实验结果表明，新的跳盆策略是非常有效的，特别是对于一种在容器中心相对密集而在容器边界附近相对稀疏的布局。我们在n = 1，2，.的情况下测试QPQH，320，并获得66个新的布局，其具有比文献中报道的当前最知名的结果更小的容器尺寸。
Computing Circle Packing Representations of Planar Graphs
圆填充定理指出，每个平面图都可以表示为一族内部不相交的圆的切线图。一个著名的推广是3连通平面图的原对偶圈填充定理。这些表示的存在在理论计算机科学和数学中有着广泛的应用;然而，算法方面却受到了相对较少的关注。在这项工作中，我们提出了一个算法的基础上凸优化计算的原始对偶圆包装表示的最大平面图，即三角剖分。这反过来又给出了一个算法，用于计算任何平面图的圆包装表示。这两种方法都需要$\widetilde{O}(n \log(R/\varepsilon))$预期的运行时间来产生一个解，该解是接近真实表示的$\varepsilon$，其中$R$是真实表示中最大和最小圆半径之间的比率。
Circle packing in regular polygons
研究了正多边形内大量全等且不重叠的圆的堆积问题。我们已经设计了有效的算法，允许一个生成配置的$N$密集的圆内的一个正多边形，我们已经进行了密集的数值实验，跨越几个多边形（最大数量的方面考虑在这里被$16$）和$200$圆（$400$圆的特殊情况下的等边三角形和正六边形）。我们已经发现的一些配置可能不是填充分数的全局最大值，特别是对于$N \gg 1$，由于该问题的计算复杂性很大，但尽管如此，它们应该在给定的$N$下为填充分数提供良好的下限。这是第一个系统的数值研究包装的正多边形，以前只进行了等边三角形，广场和圆形。
Online Circle Packing
我们考虑的在线问题包装圆到一个正方形容器。一系列的圆必须一次打包一个，而不知道接下来的传入圆，也不移动之前打包的圆。我们提出了一个算法，包装任何在线序列的圆的组合面积不大于0.350389 0.350389的正方形的面积，改善以前的最佳值π/10 \approx 0.31416;即使在离线设置，有一个上限π/（3 + 2 \sqrt{2}）\approx 0.5390。如果只考虑半径至少为0.026622的圆，则我们的算法达到更高的值0.375898。作为一个副产品，我们给出了一个在线算法包装成一个1 \times b矩形与b \geq 1。该算法是b \geq 2.36的最差情况最优算法。
Solution-Hashing Search Based on Layout-Graph Transformation for Unequal Circle Packing
针对不等圆装填优化难题，提出布局图变换与非精确哈希方法，构建迭代解哈希搜索算法并辅以多项优化技术，在多数基准实例上达到或超越现有最优结果。
A Reallocation Algorithm for Online Split Packing of Circles
拆分打包算法\cite{splitpacking_ws, splitpackingsoda, splitpacking}是一种离线算法，它将一组圆打包成三角形和正方形，直到达到临界密度。在本文中，我们开发了一个在线的替代拆分包装来处理在线序列的插入和删除，该算法被允许重新分配圆到新的位置，成本成比例的面积。该算法可用于将圆包装成正方形和直角三角形。如果只考虑插入，我们的算法也能够包装到临界密度，与摊销的重新分配成本$O(c\log \frac{1}{c})$的正方形，和$O(c(1+s^2)\log_{1+s^2}\frac{1}{c})$的直角三角形，其中$s$是第二短边的长度比的三角形的最短边，当插入一个圆的面积$c$。当考虑插入和缺失时，我们实现了$(1-ε)$的临界密度的堆积密度，其中$ε>0$可以任意小，摊销的重新分配成本为$O(c(1+s^2)\log_{1+s^2}\frac{1}{c} + c\frac{1}ε)$。
Packing circles within circular containers: a new heuristic algorithm for the balance constraints case
在这项工作中，我们提出了一个启发式算法的磁盘安装在一个旋转的圆形容器的布局优化。这是一个带有附加平衡约束的不等圆装箱问题。它被证明是一个NP难问题，这证明了在更大的情况下，它的解决方案的启发式方法。我们的启发式算法的主要特点是根据系统质心的位置选择要放置在容器内的下一个圆。我们的方法已被测试了一系列的情况下，多达55个圆圈，并与文献相比。计算结果表明，所提出的算法在解的质量和计算时间方面具有良好的性能。
Free-form Design of Discrete Architectural Surfaces by use of Circle Packing
本文提出了一种有效的方法，用于概念设计的建筑表面，这是由三角形面板。在离散建筑表面的自由形式设计中，高斯曲率不仅在美学上而且在刚度和可构造性方面都起着重要作用。然而，手动设计具有特定高斯曲率的曲面可能是一项耗时的任务。我们提出了一种方法来找到一个三角化的表面与用户指定的高斯曲率（不限于常数高斯曲率）和边界顶点位置。此外，可以指定最终设计的保形类;也就是说，用户可以控制每个三角形面板的形状（角）。可以鼓励面板形成规则的镶嵌，或者保持接近初始设计的镶嵌。保形类的可控性抑制了面板的可能变形，从而获得更高的结构性能和美观性。我们的方法依赖于计算保形几何中的概念，称为圆填充。在这条研究线中，离散Ricci流已被广泛用于表面建模。然而，它不是微不足道的，包括约束，如边界位置和凸性的跨越表面，这是必不可少的建筑应用。我们提出了一个扰动的离散Ricci能量，并开发了一个基于最小二乘的优化方案，以解决这些问题与一个开源的实现在线。
Geometric Batch Optimization for the Packing Equal Circles in a Circle Problem on Large Scale
圆中相等圆的布局问题是一个经典而著名的布局问题，在学术界得到了广泛的研究，在工业上也有着广泛的应用。该问题在计算上具有挑战性，文献中研究人员主要关注圆形项目数n小于320的小规模实例。在这项工作中，我们的目标是大规模地解决这个问题。具体来说，我们提出了一种新的几何批优化方法，不仅可以显着加快连续优化的收敛过程，但也减少了程序运行时的内存需求。在此基础上，提出了一种称为解空间探索与下降的启发式搜索方法，该方法可以在大规模上有效地发现可行解。此外，我们提出了一个自适应的邻居对象维护方法，以保持在连续优化过程中应用的邻居结构。通过这种方式，我们可以在合理的计算时间内找到大规模实例的高质量解决方案。在n = 300到1,000的基准实例上进行的大量实验表明，该算法的性能优于现有算法，并且在大规模实例上表现出色。特别是，我们的算法发现了10个改进的解决方案，21个研究良好的中等规模的实例和95个改进的解决方案，101个采样的大规模的实例。此外，我们的几何批量优化，启发式搜索，和自适应维护方法是通用的，可以适应其他包装和连续优化问题。
Circle Packing for Origami Design Is Hard
我们表明，决定一组给定的圆是否可以包装成一个矩形，等边三角形，或单位正方形是NP-困难的问题，解决这些自然包装问题的复杂性。在积极的一面，我们表明，任何一组圆圈的总面积为1可以包装成一个正方形的大小为4/ \sqrt{pi} =2.2567.这些结果的动机折纸设计的背景下出现的问题。
Planar Lombardi Drawings for Subcubic Graphs
我们证明了每个最大度为3的平面图都有一个平面图，其中边被画成围绕每个顶点以相等角度相交的圆弧。我们的建设是基于Koebe-Thurston-Andreev圆包装定理，并使用一种新的类型的沃罗诺伊图的圆包装，是不变的Moebius变换，使用三维双曲几何定义。我们还使用圆包装，以建设平面Lombardi图纸的一类特殊的4-正则平面图，中间图的多面体图，我们表明，并不是每一个4-正则平面图有一个Lombardi图纸。我们已经实现了我们的算法3连通平面三次图。
Packing Unequal Circles into a Square Container by Partitioning Narrow Action Spaces and Circle Items
我们解决了NP-难问题，找到一个非重叠的密集包装模式的n个不等圆项目在一个二维正方形容器（PUC-SC），使容器的大小最小化。基于我们以前的工作基于动作空间的全局优化（ASGO），近似每个圆形项目作为一个正方形项目，以有效地找到大的未占用空间，我们提出了一个优化算法的基础上分区的动作空间和分区的圆形项目（PAS-PCI）。PAS是将狭窄的行动空间在长边进行分割，找到两个相等的行动空间，充分利用未占用的空间。PCI是基于大小将圆项目划分为四组，用于盆跳跃策略。在两组基准实例上的实验表明了该方法的有效性。在ASGO发布的68个测试实例上，与ASGO算法相比，PAS-PCI算法不仅在64个实例中获得了较小的容器，与其他4个实例相匹配，而且在大多数实例中运行速度更快。与Packomania网站在总共98个实例上的最佳记录相比，PAS-PCI在82个实例上找到了较小的容器，并与其他16个匹配。请注意，我们更新了自2013年以来一直保持不变的19条记录（47-48，51-54，57，61-72）。
Packing Squares into a Disk with Optimal Worst-Case Density
我们提供了一个紧密的结果所产生的一个基本问题，从包装广场成一个圆形容器：包装广场成一个磁盘的临界密度是$δ=\frac{8}{5π}\approx 0.509$。这意味着总面积为$A \leq \frac{8}{5}$的任何一组（不一定相等）正方形总是可以装入半径为1的圆盘中;相反，对于任何$\varepsilon>0$，总面积为$\frac{8}{5}+\varepsilon$的正方形的集合不能被装入，即使正方形可以旋转。这解决了最后一个（可以说是最难以捉摸的）将圆形或方形物体装入圆形或方形容器的情况：正方形$\left(\frac{1}{2}\right)$中的正方形、正方形$\left(\fracπ{(3+2\sqrt{2})}\approx 0.539\right)$中的圆和圆$\left(\frac{1}{2}\right)$中的圆的临界密度已经建立，利用递归将正方形容器细分为由直线限定的块，或者基于对象和容器的相似性使用递归参数的能力;当将正方形装入圆形容器时，这两种方法都不能应用。我们的证明使用了仔细的人工分析，辅以计算机辅助的部分，是基于区间算术。除了基本的数学重要性，我们的结果也是有用的黑盒引理的递归包装算法的分析。同时，我们的方法展示了计算机辅助证明的一般框架的力量，基于区间算术。
Circle packing in arbitrary domains
提出一种通过引入“图像”圆盘在任意二维域中高效寻找全等圆盘密集堆积的算法，适用于多种复杂域，并有望直接扩展到三维。
Compact Packings are not always the Densest
本文给出了B.康奈利关于圆填料的密度
Stochastic Item Descent Method for Large Scale Equal Circle Packing Problem
随机梯度下降（SGD）是机器学习领域中解决大规模最优化问题的一种有效方法，特别是对于多变量的有限和问题。近年来，小批量SGD取得了巨大的成功，并已成为训练大量数据的深度神经网络的标准技术。受其在深度学习中的成功启发，我们将SGD的思想与批量选择样本应用于决策版本中的经典最优化问题。给定$n$单位圆，等圆装箱问题（ECPP）研究的是是否存在一个可行的装箱方案，使所有的圆都能不重叠地放入一个圆形容器中。具体地说，我们提出了一种随机项下降法（SIDM）来求解大规模的ECPP问题，该方法将单位圆随机划分为若干批，并在相应的批函数上迭代运行Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法以加快计算速度.我们还在批量迭代过程中增加批量大小，以获得更高质量的解决方案。与目前最好的装箱算法相比，SIDM算法大大加快了优化过程的计算速度，并保证了最多可达1500个圈项的大规模实例的解质量，而基线算法通常处理300个圈项左右。结果表明，SIDM在大规模经典优化问题上具有很高的效率，并显示出其在其他大规模经典最优化问题中应用梯度下降法进行优化的潜力。
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