Delayed stability switches in singularly perturbed predator-prey models
本文给出了一类具有跨临界分支的奇摄动捕食-食饵平面系统鸭式解存在性的初等证明。证明使用了由V.F. Butuzov，N. N. Nefedov和K. R. Schneider的方法，并对向量场作了适当的单调性假设，将其推广到二维情形。结果被应用于识别所有可能的捕食者-食饵模型与二次向量场允许鸭解的存在。
2016-05-24 math.DS
Extended and symmetric loss of stability for canards in planar fast-slow maps
研究了平面快慢系统在连续时间内的离散化所得到的快慢映射。我们专注于描述所谓的延迟稳定性损失引起的慢通道通过一个奇异的快-慢系统。这种延迟的失稳可能与鸭式解的存在有关。这里我们考虑三种类型的奇点：跨临界奇点、干草叉奇点和折叠奇点。首先，我们表明，下一个明确的龙格-库塔离散的延迟损失的稳定性，由于缓慢通过跨临界或干草叉奇点，可以是任意长的。相比之下，我们证明了Kahan-Hirota-Kimura离散化方案下，与所有三个奇点相关的延迟稳定性损失在线性化近似中是完全对称的，与连续时间设置完全一致。
2020-06-24 math.DS
Canards and curvature: nonsmooth approximation by pinching
在多时间尺度（奇摄动）动力系统中，鸭式是沿着吸引和排斥不变流形演化的违反直觉的解。在二维空间中，鸭翼会导致周期性振荡，其振幅和周期以高度非线性的方式增长：它们相对于控制参数缓慢变化，除了指数小的值域之外，它们增长得非常快。这种突然的增长，被称为鸭式爆炸，已经在许多应用中遇到，从化学到神经动力学，航空航天工程和生态学。鸭翼最初是用非标准分析来研究的，后来用匹配渐近、不变流形理论和参数blow-up等标准技术证明了相同的结果。最近，鸭式行为已经与分段光滑动力系统中的不连续表面联系起来。本文提供了一个新的视角，鸭式飞机爆炸的非标准分析，可以重新铸造到分段光滑动力系统的框架。将指数坐标标度应用于奇摄动常微分方程系统。缩放就像一个透镜，解决了所有时间尺度上的动态问题。然后分析了局部曲率的变化对鸭式布局爆炸的影响。不同的时间尺度占主导地位的区域被超曲面分开，这些被捏在一起，以获得一个分段光滑的系统，其中曲率的变化表现为不连续引起的分叉。该方法被用来分类鸭在任意尺寸，并得出的参数值，鸭形成小周期（鸭头）或大周期（鸭头）。
2015-06-04 math.DS
Complex oscillations in the delayed Fitzhugh-Nagumo equation
基于神经元反应的动力学，我们分析了具有延迟自耦合的Fitzhugh-Nagumo慢-快系统的动力学。这个系统提供了一个典型的例子鸭式爆炸足够小的延迟。在此范围之外，延迟显著地丰富了动力学，导致混合模式振荡、突发和混沌。这些行为出现从延迟引起的亚临界Bogdanov-Takens不稳定性产生的S形临界流形的折叠点。从鸭诱导到延迟诱导的动力学转变的基础是Hopf分叉性质的突然切换。
2015-06-24 math.DS
Slow passage through a transcritical bifurcation in piecewise linear differential systems: canard explosion and enhanced delay
本文研究穿越跨临界分岔的慢通道现象，通过构建分段线性极小模型量化最大延迟，识别出三种延迟行为，并构建对称系统揭示无界canard爆炸与增强延迟机制。
2024-04-29 math.DS
Local theory for spatio-temporal canards and delayed bifurcations
我们提出了一个严格的框架，局部分析鸭翼和慢通道通过分叉在广泛的一类无限维动力系统的时间尺度分离。该框架是适用于一个无限维动力系统的快速变量耦合到一个有限维动力系统的慢变量的模型。我们证明了这种类型的通用模型的中心流形的存在，并研究了减少，有限维动力学附近的分叉（可能）图案的稳定状态的层问题。详细的例子和数值模拟覆盖系统的本地和非本地的反应扩散方程，神经场模型和延迟微分方程的理论结果进行了补充。我们提供了分析的基础，最近在文献中报道的数值观测，如时空鸭式和慢通道，通过在空间扩展的系统受到缓慢的参数变化的Hopf分岔。我们还提供了一个理论分析缓慢通过图灵分岔在本地和非本地模型。
2020-09-15 math.DS nlin.PS
From First Lyapunov Coefficients to Maximal Canards
Cornell University（康奈尔大学）
本文通过第一李雅普诺夫系数计算快慢系统中Hopf分岔处的最大鸭轨展开系数，避免使用规范型，从而连接鸭轨爆炸理论与现有数值软件。
2012-01-31 cs.NA math.DS math.NA
Collective canard explosions of globally-coupled rotators with adaptive coupling
University of Florence（佛罗伦萨大学）
本文研究了全局耦合振子在自适应耦合下的集体canard现象，通过均场模型分析揭示了临界流形稳定性对集体canard形成的影响。
2021-10-20 cond-mat.dis-nn math.DS nlin.AO
Canards in modified equations for Euler discretizations
本文利用修正方程方法从快慢常微分方程角度解释了欧拉离散化中折叠与跨临界奇点处鸭解稳定性延迟的缩短或延长现象，为离散化引起的（去）稳定化效应提供了新视角。
2023-04-18 math.DS
Generic Torus Canards
环面鸭翼是慢/快系统的解，其在快子系统的极限环的吸引和排斥流形之间交替。一个相对较新的动力学现象，环面鸭已被发现在神经的应用，调解从尖峰到爆发的过渡，通过调幅尖峰。在$\mathbb{R}^3$中，环面鸭式是退化的：它们需要2-快/1-慢系统的单参数族才能被观察到，即使这样，它们也只出现在指数薄的参数区间上。第二个慢变量的加入展现了环面鸭翼现象，使它们具有通用性和健壮性。也就是说，慢/快系统中的环面鸭翼（至少）有两个慢变量，出现在开放参数集上。到目前为止，一般的环面鸭只进行了数值研究，其行为已推断的基础上平均和鸭理论。然而，这种方法还没有得到严格的证明，因为平均方法在靠近鸭翼的褶皱处失效了，而这正是环面鸭翼的起源。在这项工作中，我们结合技术从Floquet理论，平均理论，和几何奇异扰动理论表明，平均的环面鸭是一个折叠的奇异鸭。在这样做的时候，我们设计了一个分析计划的识别和拓扑分类的环面鸭$\mathbb{R}^4$。我们证明了我们的结果在细胞内钙动力学模型的预测能力，在那里我们解释了一类新的椭圆爆发节律，称为调幅爆发，通过构建混合模式振荡的环面鸭类似物的机制。我们还明确我们的结果之间的连接在这里与以前的研究环面鸭和环面鸭爆炸$\mathbb{R}^3$，并讨论我们的方法可以扩展到慢/快系统的任意（有限）维。
2016-06-08 math.DS
The dud canard: Existence of strong canard cycles in $\mathbb R^3$
本文证明了 $\mathbb R^3$ 中快慢系统通过第二型折叠鞍结点和奇异 Hopf 分岔产生非爆炸性“哑弹鸭式”周期轨道族，并利用吹胀法和解析性克服尺度差异证明非双曲不变慢流形的存在。
2023-10-23 math.DS
Noise-induced canard and mixed-mode oscillations in large stochastic networks with multiple timescales
我们研究了具有不同时间尺度和非线性平均场相互作用的大型随机网络的动力学。在推导了一般网络模型的极限方程后，我们将结果应用于著名的Wilson-Cowan系统，该系统具有两个种群，有或没有慢适应，非线性平均场网络的典型例子。该系统具有解的均值的动力学恰好满足一个常微分方程的性质。这种减少允许表明，在平均场的限制，并在多个人口与多个时间尺度，噪声诱导鸭式爆炸和混合模式振荡的平均值的解决方案。这为大型随机网络中噪声的定性影响和对精确噪声值的敏感性提供了新的思路。我们进一步研究了有限大小的网络，并表明，系统的差异与平均场的限制出现在不同的吸引子之间的随机开关制度（其中发生）或混合模式振荡，是有限大小的影响诱导早期跳跃由于吸引子的敏感性。
2013-02-28 math.DS nlin.CD
Mixed Mode Oscillations in a Three-Timescale Coupled Morris-Lecar System
本文研究三时间尺度耦合 Morris–Lecar 神经元中的 MMOs，揭示 CDH 可使鸭式机制与 DHB 相互作用并显著增强振荡对时间尺度变化的鲁棒性。
2024-02-28 math.DS
Unveiling the dynamics of canard cycles and global behaviour in a singularly perturbed predator-prey system with Allee effect in predator
本研究通过数学分析揭示具有捕食者Allee效应的慢快Leslie-Gower模型的丰富动力学，包括canard环、分岔及全局稳定性，并验证了不同初始条件下的共存或灭绝模式。
2023-06-23 math.DS q-bio.PE
On the stability of singular Hopf bifurcation and its application
针对慢快系统奇异Hopf分岔在A=0时的退化情形，本文结合Blow-up、规范形与Lyapunov系数公式给出第一Lyapunov系数的高阶近似，并应用于具Allee效应的捕食者-食饵模型，揭示超临界与亚临界Hopf分岔可共存，证明系统环性为1。
2024-06-06 math.DS
Dynamics of a $2$-dimensional slow-fast Belousov-Zabotinsky model
本文研究二维慢快 Belousov-Zhabotinsky 约化系统，刻画除一个退化情形外的全部动力学，揭示平衡点稳定性、Hopf 分岔、鸭式爆炸、弛豫振荡及双极限环共存这一新现象。
2023-12-06 math.CA math.DS
Complex oscillatory patterns in a three-timescale model of a generalist predator and a specialist predator competing for a common prey
在本文中，我们开发和分析了一个模型，研究一个专业的捕食者，一个通才捕食者，和他们的共同猎物之间的相互作用，在一个两营养生态系统具有三个时间尺度。我们假设，猎物在一个更快的时间尺度上运作，而专业和通才捕食者分别在缓慢和超低的时间尺度上运作。以捕食效率为主要变参数，以被捕食物种的食物构成比例为次要变参数，得到了一系列丰富而有趣的动力学现象，包括弛豫振荡、混合模式振荡（MMO）、亚临界椭圆爆发模式、环面鸭翼和混合型环面鸭翼.通过将时间尺度分为两类，并使用类之间的时间尺度分离，我们应用一快/两慢和两快/一慢的分析技术，以获得有关动态的见解。利用奇异子系统的几何性质和流动，结合全系统的分岔分析和数值延拓，我们对振荡动力学进行了分类，并讨论了从一类动力学到另一类动力学的过渡。在这个模型中观察到的振荡模式的类型是新颖的人口模型具有三个时间尺度，其中一些定性类似于自然周期的小型哺乳动物和昆虫。此外，振荡动力学显示环面鸭翼，混合型环面鸭翼，和MMO经历了一个延迟的稳定性损失附近的不变片的自交临界流形之前，吸引到相邻的吸引片的临界流形没有以前的三个时间尺度模型的报告。
2022-09-25 math.DS q-bio.PE
