有界随机依赖、矩阵完全可混性与多维瓶颈指派问题
Bounding Stochastic Dependence, Complete Mixability of Matrices, and Multidimensional Bottleneck Assignment Problems
摘要：
我们称一个矩阵是完全可混合的，如果它的列中的元素可以置换，使得所有行和相等。如果它不是完全可混合的，我们要确定可达到的最小最大和最大最小行和。这些值提供了离散分布的最小方差问题的离散逼近，问题的动机是如何估计的$α$ -分位数的聚合随机变量与未知的依赖结构给定的边际的组成随机变量的问题。我们将这个问题的多维瓶颈分配问题，并表明，存在一个多项式$2$ -近似算法，如果矩阵只有$3$列。一般来说，决定完全可混性是$\mathcal{NP}$ -完全的。特别地，Puccetti等人的交换算法不是精确的方法，除非$\mathcal{NP}\subseteq\mathcal{ZPP}$。对于固定数量的列，它仍然是$\mathcal{NP}$完整的，但存在PTAS。这个问题可以在伪多项式时间内解决一个固定数量的行，甚至在多项式时间内，如果所有列进一步包含来自同一个多集的条目。
英文摘要：
We call a matrix completely mixable if the entries in its columns can be permuted so that all row sums are equal. If it is not completely mixable, we want to determine the smallest maximal and largest minimal row sum attainable. These values provide a discrete approximation of of minimum variance problems for discrete distributions, a problem motivated by the question how to estimate the $α$-quantile of an aggregate random variable with unknown dependence structure given the marginals of the constituent random variables. We relate this problem to the multidimensional bottleneck assignment problem and show that there exists a polynomial $2$-approximation algorithm if the matrix has only $3$ columns. In general, deciding complete mixability is $\mathcal{NP}$-complete. In particular the swapping algorithm of Puccetti et al. is not an exact method unless $\mathcal{NP}\subseteq\mathcal{ZPP}$. For a fixed number of columns it remains $\mathcal{NP}$-complete, but there exists a PTAS. The problem can be solved in pseudopolynomial time for a fixed number of rows, and even in polynomial time if all columns furthermore contain entries from the same multiset.
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