热带3 × 3矩阵的一个半群恒等式
A semigroup identity for tropical 3x3 matrices
摘要:
我们构造了一个非平凡恒等式,它在热带3 × 3矩阵半群中成立。
英文摘要:
We construct a nontrivial identity which holds in the semigroup of tropical 3-by-3 matrices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
A semigroup identity for tropical 3x3 matrices
Yaroslav Shitov
我们构造了一个非平凡恒等式,它在热带3 × 3矩阵半群中成立。
We construct a nontrivial identity which holds in the semigroup of tropical 3-by-3 matrices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
Semigroup identities of tropical matrices through matrix ranks
证明了对任何$n$,所有$n \times n$热带矩阵的幺半群满足非平凡半群恒等式的猜想.为此,我们证明了热带矩阵的足够大的幂的因子秩不超过原始矩阵的热带秩。
On tropical knapsack-type problems
本文研究了在热带代数结构下背包问题和子集和问题的计算复杂性,证明了这些问题在这些结构下是NP完全的,并展示了存在伪多项式算法及多项式通用算法。
Tropical plactic algebra, the cloaktic monoid, and semigroup representations
引入了一个新的热带plactic代数,它的Knuth关系是由半环算术推导出来的,它封装了泛在的plactic么半群$\mathcal{P}_n$ .这个代数表现出一个自然的框架,用于容纳$\mathcal{P}_n$的表示,或等价的Young tableaux,以及它的适度粗化--Cloaktic幺半群$\mathcal{K}_n$和co-cloaktic $ ^{\operatorname{co}}\mathcal{K}_n$。热带矩阵的$\mathcal{K}_n$和$\, ^{\operatorname{co}} \mathcal{K}_n$的忠实的线性表示,构成一个热带plastic代数,示出提供plastic幺半群的线性表示。为此,本文开发了一种特殊类型的配置tableaux,对应双射半标准杨tableaux。这些特殊的tableaux允许一个系统的编码组合属性的数值代数的方式,包括算法的好处。这些代数组合结构之间的相互作用建立了一个深刻的机制,探索半群属性,特别是满足半群身份。本文利用这一机制证明了$\mathcal{K}_n$和$\, ^{\operatorname{co}} \mathcal{K}_n$允许$n \times n$三角热带矩阵满足的所有半群恒等式,这对$\mathcal{P}_3$也成立.
Tropical matrices and group representations
本文给出了热带n × n矩阵半群在同构下的子群的完整刻画。特别地,我们证明了这些群中的每一个都有一个指数至多为n!的无挠阿贝尔子群,证明了Johnson和Kambites的猜想。
The ultimate rank of tropical matrices
热带矩阵是定义在极大加半环上的矩阵。对于这样的矩阵,存在几个不一致的秩概念:行秩、列秩、Schein/Barvinok秩、Kapranov秩或热带秩等。在本文中,我们证明了热带矩阵的幂存在一个自然的终极秩的概念,它不依赖于秩的基本概念。此外,我们提供了一个简单的公式,因此可以在多项式时间内计算的矩阵的最终秩。然后,我们把注意力转移到矩阵的n-生成半群,我们的最终秩的概念自然地推广。给出了具有最大最终秩的半群的组合和几何刻画。作为副产品,我们得到了一个多项式算法,以确定是否最终秩的一个生成半群是最大的。
A note on identities in plactic monoids and monoids of upper-triangular tropical matrices
本文利用Young tableaux组合学证明了无限秩的Plastic么半群不满足非平凡恒等式,证明了秩为$n$的Plastic么半群不满足长度小于或等于$n$的非平凡恒等式.证明了一个新的恒等式对$n \times n$上三角热带矩阵幺半群成立。最后,给出了秩为$3$的调和幺半群到$3\times 3$上三角热带矩阵幺半群的两个副本的直积的直接嵌入,给出了秩为$3$的调和幺半群满足非平凡恒等式的新证明.
Semigroup identities of supertropical matrices
证明了对任何$n$,所有$n \times n$超热带矩阵扩张热带矩阵的幺半群满足非平凡半群恒等式.这些身份进行到标签加权有向图的双弧行走。
Semigroup Identities, Proofs, and Artificial Intelligence
已知如果每个满足形式为yx ~ xU(x,y)y的恒等式的群都是阿贝尔群,则每个满足该恒等式的半群也是阿贝尔群。因为群具有单位元和消去性质,所以证明群是阿贝尔群比证明半群是阿贝尔群容易。如果我们知道是这样,那么必须有一个使用xU(x,y)y ~ yx的替换序列将xy转换为yx。我们研究这样的序列,并提出寻找它们作为一个挑战,证明计算机。而且,y ~ xU(x,y)x的每个模型都是一个群。这提出了一个类似的挑战,我们在特殊情况y ~ x^my^px^n中进行探讨。此外,我们确定的自由模型与两个发电机的一些这些身份。特别地,我们发现y ~ x^2yx^2的自由模型的阶数为32,并且是D4(正方形的对称性)、C2和C2的乘积,并指出这些恒等式与关于x^n= e的模型的伯恩赛德问题之间的关系。
Tropical representations and identities of plactic monoids
我们证明了热带半环上的每个有限秩的plastic幺半群是一个由上三角形矩阵构成的幺半群。这回答了一个问题,首先提出了伊扎克,随后研究了几个作者。一个结果是证明了Kubat和Okniovski的一个猜想,即每一个有限秩的plactic么半群都满足一个非平凡半群恒等式。在相反的方向上,我们证明了秩为$n$的plactic么半群所满足的每一个恒等式都满足于$n \times n$上三角热带矩阵的么半群。特别是这意味着,各种产生的$3 \times 3$上三角热带矩阵相吻合所产生的plastic幺半群的秩$3$,回答另一个问题的伊扎克。
Geometry and algorithms for upper triangular tropical matrix identities
我们提供几何方法和算法来验证,构建和枚举对的话(指定长度超过一个固定的$m$ -字母表),形成身份的半群$\ut{n}$的$n\times n$上三角热带矩阵。在$n=2$的情况下,这些恒等式恰好是双环幺半群所满足的恒等式,而在$n=3$的情况下,它们形成秩为$3$的plactic幺半群中所保持的恒等式的子集。每个字,我们关联的签名序列的格多面体,并表明,两个字形成一个身份$\ut{n}$当且仅当他们的签名是相等的。因此,我们的算法是基于多面体计算,并在某些情况下实现最佳的复杂性。对于$n=m=2$,我们证明了一个结构定理,它使我们能够快速枚举的字对固定长度的形式身份$\ut{2}$。这使我们能够恢复一个简短的证明Adjan定理的最小长度身份的双环幺半群,并构建最小长度身份$\ut{3}$,提供反例的猜想伊扎克在这种情况下。最后,我们通过分析我们算法的输出获得了半群理论、概率和组合学交叉的六个猜想。
Tropical compound matrix identities
证明了扩张热带半环中复合矩阵的恒等式。这样的身份包括类似的性质共轭矩阵,权力的矩阵和~ $\adj(A)\det(A)^{ -1}$,所有这些都有相应的矩阵的特征值的影响。一个热带西尔维斯特-弗兰克身份也提供了。
Supertropical Matrix Algebra II: Solving tropical equations
我们继续研究超热带代数上的矩阵,证明了$A$的有形伴随的存在性,它提供了唯一的右(分别为.左)相对于右的准逆最大值(resp.左)对应于$A$的准单位矩阵;这通过克拉姆法则的一个版本提供了超热带向量方程的唯一最大(有形)解。我们还描述了这种有形的伴随的各种属性,并用它来计算超热带特征向量,从而产生一个例子中,一个$n\times n$矩阵有$n$不同的超热带特征值,但他们的超热带特征向量是热带依赖。
Lower Bounds on Words Separation: Are There Short Identities in Transformation Semigroups?
单词分离问题最初由Goralcik和Koubek(1986)提出,如下所述。设$Sep(n)$是最小数,使得对于任何两个长度为$\le n$的字,存在具有$Sep(n)$状态的确定性有限自动机,只接受其中之一。问题是要找到函数$Sep$的渐近性。这个问题与求全变换半群$T_k$中最短单位元长度的渐近性是逆的。$Sep$的已知下界源于$T_k$中的一元恒等式。我们发现的第一系列的身份在$T_k$这是短于相应的一元身份的无限多个值的$k$,从而稍微提高了下界$Sep(n)$。然后给出了对称群中的一些短的正恒等式,并通过增加一个乘法常数改进了置换自动机分离字的下界。最后,我们给出了小$k$的短恒等式的计算机搜索结果。
The Identity Correspondence Problem and its Applications
本文研究了字与矩阵的几个密切相关的基本问题。首先,我们介绍了身份对应问题(ICP):一个有限集的词对(在一组字母表)是否可以产生一个身份对的串联序列。我们证明了ICP是不可判定的减少邮政的对应问题,通过几个新的编码技术。本文的第二部分利用ICP回答了一个关于矩阵半群的长期公开问题:“对于一个由平方整数矩阵构成的生成半群S,其单位矩阵是否属于S是可判定的吗?".我们表明,即使在生成器中的矩阵的数量是48时,问题是不可判定的,从4维开始。从这个事实,我们可以立即得出,矩阵的有限集是否生成群的基本问题也是不可判定的。我们还回答了不同数域上矩阵的几个问题。除了矩阵问题的应用,我们相信,身份对应问题也将是有用的,在确定新的领域的不可判定的问题,在抽象代数,计算问题的逻辑和组合数学的话。
On the Identity and Group Problems for Complex Heisenberg Matrices
研究复海森堡矩阵的恒等元问题与群问题,提出替代证明技术,证明判定矩阵半群是否包含单位矩阵及给定矩阵集是否生成群均可在多项式时间内解决。
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