Asymptotic Uniqueness of Best Rational Approximants to Complex Cauchy Transforms in ${L}^2$ of the Circle
对任意大的n，证明了函数f在单位圆上L^2意义下n次最佳有理逼近临界点的唯一性，其中f是支撑在（-1，1）中的实区间上的复测度μ的Cauchy变换之和，其Radon-Nikodym导数关于其支撑上的反正弦分布是Dini连续的，非零且具有有界变差的和幅角，以及在μ的支撑上无极点的有理函数。
2009-09-02 math.CA
Meromorphic Approximants to Complex Cauchy Transforms with Polar Singularities
研究了函数$F$的AAK型亚纯逼近，其中$F$是有理函数$R$与复测度$λ$的Cauchy变换之和，该复测度包含在$(-1,1)$中，其自变量在紧正则支集上有界变差.这种近似可以用单位圆的$L^p$ -范数$p\geq2$来理解。我们得到的极点的计数措施的逼近收敛到绿色平衡分布的支持$λ$相对于单位磁盘，逼近本身的能力收敛到$F$，和极点的$R$吸引至少尽可能多的极点的逼近，因为他们的多重性，而不是更多。
2008-06-28 math.CA
Multipoint Padé Approximants to Complex Cauchy Transforms with Polar Singularities
研究复测度的柯西变换与有理函数之和的对角多点Padé逼近。该测度被假定为具有包含在实直线上的紧正则支集和在该支集上的有界变差变元。对于其正规化计数测度在弱星意义下足够快地收敛到某个共轭对称分布的插值集，我们证明了逼近子的极点的计数测度收敛到该分布在测度支撑上的平衡点，在弱星意义下，逼近子本身在容量上收敛到测度支撑外的逼近函数，并且附加的有理函数的极点吸引至少与其重数一样多的逼近式的极点，而不是更多。
2008-04-14 math.CA
A family of singular integral operators which control the Cauchy transform
研究了与参数核$$ k_t(z):=\frac{(\Re z)^{3}}{|z|^{4}}+t\cdot \frac{\Re z}{|z|^{2}}, \quad t\in \mathbb{R},\qquad k_\infty(z):=\frac{\Re z}{|z|^{2}}\equiv \Re \frac{1}{z},\quad z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}. $$相关的$\mathbb{C}$上的卷积型奇异积分算子$T_{k_t}$的行为。结果表明，对于任何线性增长的正局部有限Borel测度，$T_{k_0}$的相应$L^2$ -范数控制了$T_{k_\infty}$的$L^2$-范数，从而控制了Cauchy变换的$L^2$ -范数。作为推论，我们证明了$T_{k_t}$的$L^2(\mathcal{H}^1\lfloor E)$ -有界性与固定的$t\in (-t_0,0)$，其中$t_0>0$是一个绝对常数，意味着$E$是可求积的。尽管通常的曲率方法在这种情况下不适用，但情况仍然如此。此外，作为我们的技术的必然结果，我们提供了一个替代和更简单的证明的双Lipschitz不变性的$L^2$ -有界的柯西变换，这是分析能力的双Lipschitz不变性的关键成分。
2018-09-15 math.CA
Convergent Interpolation to Cauchy Integrals over Analytic Arcs
本文考虑复测度的柯西变换的多点Padé逼近。证明了如果测度的支集是解析若尔当弧且测度本身相对于该弧的平衡分布是绝对连续的，且Dini光滑非零密度，则与适当的插值方案相关联的对角多点Padé逼近局部一致收敛于该弧的补弧中的近似Cauchy变换. Padé逼近的这种渐近性态是从分析基本的非Hermitian正交多项式中推导出来的，为此我们使用了平滑曲线上的Hankel和Toeplitz算子的经典性质。适当的插值方案的建设是明确授予参数化的弧。
2008-12-19 math.CA
Bilipschitz maps, analytic capacity, and the Cauchy integral
设vphi：C右箭头C是一个bilipschitz映射.证明了：如果E \subset \C是紧的，γ（E），α（E）分别表示其解析容量和连续解析容量，则C^{-1}γ（E）\leq γ（\vphi（E））\leq Cγ（E）和C^{-1}α（E）\leq α（\vphi（E））\leq Cα（E），其中C只依赖于vphi的bilipschitz常数.进一步，我们证明了如果μ是C上的Radon测度，并且柯西变换在L^2（μ）上有界，那么柯西变换也在L^2（\vphi_\ sharpμ）上有界，其中vphi_ \sharp μ是μ的vphi的像测度.为了得到这些结果，我们利用冠型分解估计了vphi_ \sharp μ的曲率.
2007-05-23 math.CA
Riesz transforms, Cauchy-Riemann systems and amalgam Hardy spaces
本文研究了混合Hardy空间$\mathcal{H}^{p,q}(\mathbb{R}^d)$，通过Riesz变换、Cauchy-Riemann系统及Fourier乘子对其进行刻画，揭示了其与调和及热传导系统的联系。
2018-05-30 math.CA
Piecewise harmonic subharmonic functions and positive Cauchy transforms
本文给出了一类关于$\bar{z}$具有正分布导数的函数的局部特征，这类函数几乎处处等于任意多个解析函数中的一个，并满足一些温和的非退化假设.作为结果，我们给出的条件，保证任何次调和分段调和函数局部重合的最大值的100多个调和函数，我们描述了他们的水平曲线的拓扑结构。这些结果是有效的，在一个相当一般的设置，因为他们假设没有{ \em先验}条件上的可微结构的支持相关的Riesz措施。我们还讨论了应用程序的积极柯西变换，我们考虑几个例子和相关问题。
2009-02-03 math.CA math.CV
Localization of zeros for Cauchy transforms
研究了实直线上离散测度的柯西变换零点的局部化问题。这个问题是由微分方程的规范系统理论所激发的。特别地，我们证明了具有局部化性质的柯西变换空间与特殊类型的正则系统一一对应，即那些其哈密顿量仅由在左侧积累的不可分区间组成的正则系统。详细研究了局部化现象的各个方面。与密度的多项式和其他主题的连接分析进行了讨论。
2014-04-24 math.CA math.CV math.FA
Variation and oscillation for singular integrals with odd kernel on Lipschitz graphs
证明了当r>2时，Lipschitz图上柯西变换的光滑截断的r-变差和振动在L^p中有界，其中1<p是有限的.类似的结果也适用于n维Lipschitz图上的n维里斯变换，以及其他具有奇核的奇异积分算子.特别地，我们的结果加强了Coifman、McIntosh和Meyer关于Lipschitz图上柯西变换的L^2有界性的经典定理。
2011-09-02 math.CA
Hermite-Padé approximants for a pair of Cauchy transforms with overlapping symmetric supports
第二类Hermite-Padé逼近是具有公分母的有理函数的向量，其在无穷远处插值具有极大序模的幂级数的给定向量。我们感兴趣的情况下，当近似向量是由一对柯西变换的光滑复测度支持的实数线。当支撑由两个不相交的区间（Angelesco系统）或两个区间组成时，逼近的收敛性质是相当好理解的，这两个区间在测度之比是第三测度的柯西变换的限制的条件下重合（Nikishin系统）。在这项工作中，我们考虑的情况下，支持形成两个重叠的间隔（在一个对称的方式）和措施的比率延伸到一个全纯函数在一个区域，取决于重叠的大小。我们推导出SzegIgn型公式的渐近的逼近，确定的收敛和发散域（发散域出现Angelesco系统，但不存在Nikishin系统），并显示存在overinterpolation（一个功能特有的Nikishin系统，但不是Angelesco系统）。我们的分析是基于一个黎曼-希尔伯特问题的多个正交多项式（公分母）。
2015-05-15 math.CA math.CV
Two Weight Inequalities for the Cauchy Transform from $ \mathbb{R}$ to $ \mathbb{C}_+$
我们描述了这些对的权重$ σ$上$ \mathbb{R}$和$ τ$上$ \mathbb{C}_+$的柯西变换$\mathsf{C}_σ f (z) \equiv \int_{\mathbb{R}} \frac {f(x)} {x-z} \; σ(dx)$，$ z\in \mathbb{C}_+$，有界从$L ^2(\mathbb{R};σ)$到$L ^{2}(\mathbb{C}_+; τ)$。该特征是在$A_2$条件对的重量和测试条件的转换，扩展了最近的解决方案的两个重量不等式的希尔伯特变换。作为这一结果的推论，我们得到（1）嵌入措施的模型空间$K_\vartheta$，任意内部功能$ \vartheta $的一个特征，和（2）的（本质）规范的复合算子映射$K_\vartheta$到一个一般类的Hardy和Bergman空间的特征。
2018-02-09 math.CA math.CV math.FA
Algebraicity of exterior Cauchy transforms of algebraic ovals: a homological formulation
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
研究有界域边界为实代数曲线卵形时，外Cauchy变换为代数的条件，通过同调论建立留数判据，证明有理实代数曲线的光滑卵形和正亏格分离卵形的代数性。
2026-08-06 math.AG math.CA
Rectifiable measures, square functions involving densities, and the Cauchy transform
本文给出了两个相关结果的证明。第一个定理断言，如果$μ$是$\mathbb R^d$中的Radon测度，满足$$\limsup_{r\to 0} \frac{μ(B(x,r))}{r}>0\quad \text{ and }\quad \int_0^1\left|\frac{μ(B(x,r))}{r} - \frac{μ(B(x,2r))}{2r}\right|^2\,\frac{dr}r< \infty$$，则$μ$ -a.e. $x\in\mathbb R^d$，则$μ$是可校正的。由于逆蕴涵是已知的，这产生了以下特征的可求积集：一个集$E\subset\mathbb R^d$有限$1$ -维Hausdorff测度$H^1$是可求积的当且仅当$$\int_0^1\left|\frac{H^1(E\cap B(x,r))}{r} - \frac{H^1(E\cap B(x,2r))}{2r}\right|^2\,\frac{dr}r< \infty \quad\mbox{ for $H^1$-a.e. $x\in E$.}$$第二个结果的文件涉及之间的关系，一个类似的平方函数在复平面和柯西变换$C_μf(z) = \int \frac1{z-ξ}\,f(ξ)\,dμ(ξ)$。假设$μ$具有线性增长，即，对于所有$z\in\mathbb C$和所有$r>0$，都是$μ(B(z,r)…
2015-01-31 math.AP math.CA
The Fourier transform and the wave equation
我们利用傅里叶变换的基本性质求解了$n$维波动方程的柯西问题。
2010-03-04 math.AP math.CA
A note on the discrete Cauchy-Kovalevskaya extension
在本文中，我们利用本影演算框架重新制定所谓的离散柯西Kovalevskaya扩展范围内的超复变量。其核心思想是不仅考虑基本解的形式幂级数表示，而且考虑第一类和第二类切比雪夫多项式的柯西主值的整表示.事实证明，与我们的玩具问题相关的最终整表示是时空傅立叶型反演公式。此外，借助于一些涉及广义Mittag-Leffler函数的拉普拉斯变换恒等式，我们能够与微分-差分型Cauchy问题建立联系.
2018-12-08 math.AP math.CA math.CV
