共单调第二Jackson不等式
Comonotone Second Jackson's Inequality
摘要：
令$2s$点$y_i=-π\le y_{2s}<\ldots<y_1<π$被给出。使用这些点，我们通过等式$y_i=y_{i+2s}+2π$定义所有整数索引$i$的点$y_i$。如果$f$是$2π$ -周期函数，并且如果$i$是奇数，$f$在$[y_i, y_{i-1}]$上不减少，我们将写为$f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)$;如果$i$是偶数，$f$在$[y_i, y_{i-1}]$上不增加。我们表示$E_n^{(1)}(f;Y)$最佳一致共单调逼近的值。本文证明了第二个Jackson不等式的同单调类似定理。定理如果$f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)\bigcap {\Bbb W}^r$，$r>2$，则$$E_n^{(1)}(f;Y)\le \frac c{n^r}, $$，其中$c=c(r,Y)=const$仅依赖于$r$和$Y$，${\Bbb W}^r$ Sobolev空间。
英文摘要：
Let $2s$ points $y_i=-π\le y_{2s}<\ldots<y_1<π$ be given. Using these points, we define the points $y_i$ for all integer indices $i$ by the equality $y_i=y_{i+2s}+2π$. We shall write $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)$ if $f$ is a $2π$-periodic function and $f$ does not decrease on $[y_i, y_{i-1}]$ if $i$ is odd; and $f$ does not increase on $[y_i, y_{i-1}]$ if $i$ is even. We denote $E_n^{(1)}(f;Y)$ the value of the best uniform comonotone approximation. In this article the following Theorem -- the comonotone analogue of second Jackson's Inequality -- is proved. Theorem. If $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)\bigcap {\Bbb W}^r$, $r>2$, then $$E_n^{(1)}(f;Y)\le \frac c{n^r}, $$ where $c=c(r,Y)=const$ depending only on $r$ and $Y$, ${\Bbb W}^r$ Sobolev space.
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