几何网络中的伸展-长度权衡：平均情形与最坏情形研究
The Stretch - Length Tradeoff in Geometric Networks: Average Case and Worst Case Study
AI总结：
本文研究平面Poisson点过程及任意密度一点构型网络中路径伸展与网络长度的权衡，给出平均情形和最坏情形最小单位面积长度函数的上下界，并提出s趋近1时的幂律指数猜想。
摘要：
考虑一个连接平面上速率为1的Poisson点过程各点的网络。记Ψ^{ave}(s)为此类网络在每对点之间的路径长度至多为其欧氏距离的s倍这一约束下，单位面积内可能达到的最小平均长度。我们给出了函数Ψ^{ave}(s)的上下界，也给出了类似的“最坏情形”函数Ψ^{worst}(s)的上下界；在后者中，点构型是任意的，但平均密度为每单位面积一个点。我们的界在数值上较为粗略，但引出了一个问题：是否存在指数α，使得当s↓1时每个函数都满足Ψ(s)\asymp(s−1)^{−α}。
英文摘要：
Consider a network linking the points of a rate-$1$ Poisson point process on the plane. Write $Ψ^{\mbox{ave}}(s)$ for the minimum possible mean length per unit area of such a network, subject to the constraint that the route-length between every pair of points is at most $s$ times the Euclidean distance. We give upper and lower bounds on the function $Ψ^{\mbox{ave}}(s)$, and on the analogous "worst-case" function $Ψ^{\mbox{worst}}(s)$ where the point configuration is arbitrary subject to average density one per unit area. Our bounds are numerically crude, but raise the question of whether there is an exponent $α$ such that each function has $Ψ(s) \asymp (s-1)^{-α}$ as $s \downarrow 1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
