Counting Triangulations of Fixed Cardinal Degrees
University of Notre Dame（圣母大学）；Utrecht University（乌得勒支大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）
研究固定阶数下平面三角剖分的计数问题，证明即使知道每个顶点四个方向的邻居数，三角剖分仍无法唯一确定，且计数为#P难问题。
2025-10-06 cs.CC cs.CG
New Planar P-time Computable Six-Vertex Models and a Complete Complexity Classification
我们发现新的P-时间可计算的六顶点模型平面图超越Kasteleyn的算法计算平面完美匹配。我们进一步证明没有更多的：它们一起耗尽了平面图上所有P时间可计算的六顶点模型，假设#P不是P。对于六顶点模型的${\mathbb C}$中的每个参数设置，分区函数是（1）对于每个图在P时间中可计算的，或（2）一般图是P-难的，但平面图是P-时间可计算的，或（3）平面图也是P-难的.分类有明确的标准。在（2）中的新的P-时间情形可证明不能被Kasteleyn算法所包含。它们是通过与#CSP的非局部连接获得的，#CSP是根据“循环空间”定义的。这是第一个实质性的进步，对平面Holant分类不一定对称的约束。我们介绍M${\mathbb C}$上的奥比乌斯变换是计数问题的硬度证明中一个强有力的新工具。
2021-04-12 cs.CC
Counting edge-injective homomorphisms and matchings on restricted graph classes
我们认为$\#\mathsf{W}[1]$ -硬问题的计数与$k$边缘在一个给定的输入图$G$的所有匹配，我们证明了它仍然是$\#\mathsf{W}[1]$ -硬图$G$是线图或二分图与度$2$的一侧。在我们的证明中，我们使用线图中的$k$ -匹配可以等价地看作是从$k$长度- $2$路径到（任意）宿主图的不交并的边内射同态。这里，从$H$到$G$的同态是边内射的，如果它将$H$的任何两个不同的边映射到$G$中的不同的边。我们证明了，如果$H$在去除孤立边后具有有界的顶点覆盖数，则模式图$H$的边内射同态可以在多项式时间内计数。对于模式图的遗传类$\mathcal{H}$，我们补充了这一结果：如果$\mathcal{H}$中的图在删除孤立边后仍有无界的顶点覆盖数，则从$\mathcal{H}$中计算模式的边内射同态是$\#\mathsf{W}[1]$ -困难的.我们的证明依赖于一个边着色的变体Holant问题和一个微妙的插值参数，两者都可能是独立的利益。
2018-01-19 cs.CC
The Parameterised Complexity of Counting Connected Subgraphs and Graph Motifs
本文引入了一类图的参数化计数问题--具有性质（Φ）的p-#诱导子图，它推广了一些已有的问题.本文主要讨论Φ定义了一个图族，其边极小元素都具有有界树宽的情况;这包括Φ描述连通性的特殊情况。我们证明了在n-顶点图中精确计算k-顶点诱导子图的连通数是#W[1]-困难的，但另一方面，这个问题存在一个FPTRAS;更一般地说，当Φ是单调的且满足Φ的极小图都有界树宽时，我们证明了具有性质（Φ）的p-#诱导子图存在一个FPTRAS.然后，我们将这些结果应用到图图案问题的计数版本。
2014-11-14 cs.CC math.CO
The Complexity of Counting Eulerian Tours in 4-Regular Graphs
We investigate the complexity of counting Eulerian tours ({ \sc #ET}) and its variations from two perspectives---the complexity of exact counting and the complexity w.r.t. approximation-preserving reductions (AP-reductions \cite{MR2044886} ). We prove that { \sc #ET} is #P-complete even for planar 4-regular graphs. A closely related problem is that of counting A-trails ({ \sc #A-trails}) in graphs with rotational embedding schemes (so called maps). Kotzig \cite{MR0248043} showed that { \sc #A-trails} can be computed in polynomial time for 4-regular plane graphs (embedding in the plane is equiv…
2010-09-25 cs.CC
Counting list matrix partitions of graphs
给定{0，1，*}上的对称D*D矩阵M，图G的列表M-划分是将图G的顶点划分为与M的行相关联的D部分。每个顶点的部分是从给定的列表中选择的，使得G没有边映射到M中的0，G没有非边映射到M中的1。在弱完美图和强完美图的证明中，出现了许多重要的图论结构，如图的染色、分裂图、齐次集和齐次偶等，都可以表示为列表M-划分。已经有相当多的工作，以确定哪些矩阵M计算涉及列表M-分区是易处理的。我们重点研究了列表M-划分的计数问题，给定一个图G和G的每个顶点的列表。我们确定了一组“易处理”的矩阵，并给出了一个算法，计数列表M-分区在多项式时间为每个（固定）矩阵M在这个集合。该算法使用数据结构，如稀疏-密集分区和子立方体分解，以减少每个实例到一个序列的实例，其中的列表限制访问的部分M，其中0和1的相互作用受到控制。我们解决由此产生的限制性实例转换成计数约束满足问题（#CSP），我们解决使用弧一致性。对于我们的算法失败的每个矩阵M，我们证明了计数列表M-分区是#P-完全的。此外，我们给出了二分法定理的一个明确的特征：计数列表M-分区是在FP中，如果M有一个称为去矩形化序列的结构;否则，计数列表M-分区是#P-hard。我们证明了确定一个给定矩阵是否有一个去矩形化序列的元问题是NP-完全的。最后，我们表明，列表可以用来编码基数限制在M-分区问题，并使用此给一个多项式时间算法计算图中的同质对。
2015-04-17 cs.CC
A Fixed-Parameter Perspective on #BIS
二部图的独立集（近似）计数问题（#BIS）是在中等复杂度类#RH_1中完全的规范近似计数问题。据信，BIS没有一个有效的近似算法，但它也不是NP难的。我们研究的鲁棒性的中间复杂度的BIS考虑变量的独立集的大小参数化的问题。我们详尽地映射的复杂性景观的三个问题，相对于精确的计算和近似，相对于传统的和参数化的复杂性。这三个问题是计数给定大小的独立集，计数在一个顶点类中具有给定顶点数的独立集和计数在一个顶点类中具有给定顶点数的最大独立集。除其他外，我们表明，所有这些问题是NP-难近似在任何多项式比率。(This是令人惊讶的，因为没有尺寸参数的相应问题在#RH_1中是完整的，因此不被认为是NP难的。我们还表明，第一个问题是#W[1]-很难精确求解，但承认一个FPTRAS，而其他两个是W[1]-很难近似，即使在任何多项式比。最后，我们表明，当限制到有界度的图，这三个问题都有效率的精确固定参数算法。
2019-07-14 cs.CC
Counting Temporal Paths
一个顶点v的介数中心性是一个重要的中心性度量，它量化了有多少对其他顶点之间的最佳路径访问v.计算介数中心性的时间图，其中的边缘集可能会改变离散的时间步长，需要我们计数的时间路径是最佳的一些标准。对于最优性的几个自然概念，包括最先或最快的时间路径，这个计数问题简化为#Temporal Path，即计算一对固定顶点之间所有时间路径的问题;就像计算最先和最快时间路径的问题一样，#Temporal Path通常是#P-hard。基于这一难题的广泛应用，本文系统地研究了Temporal Path的预量化和近似复杂性，证明了该问题不允许对静态图的反馈顶点数进行FPT算法求解，且一般情况下难以近似.在积极的一面，我们证明了几个特殊情况下的精确和近似FPT算法。
2023-02-21 cs.CC cs.DM cs.DS
The Complexity of Planar Counting Problems
我们证明了与各种可满足性，图形和组合问题，当限制到平面的情况下，计数问题的#P-硬度。这些问题包括\begin{romannum} \item[{}] {\sc 3Sat, 1-3Sat, 1-Ex3Sat, Minimum Vertex Cover, Minimum Dominating Set, Minimum Feedback Vertex Set, X3C, Partition Into Triangles, and Clique Cover.} \end{romannum}我们还证明了{\sf NP}-完备性的{ \sc Ambiguity Satisfiability}问题\cite{Sa80}和{ \sf D $^P$ }-完备性（相对于随机多项式约简）的唯一可满足性问题\cite{VV85}与上述几个问题，当限制到平面的情况。以前，很少{ \sf #P}-硬度的结果，没有{ \sf NP}-硬度的结果，没有{ \sf D $^P$ }-完整性的结果是已知的计数问题，模糊的可满足性问题和唯一的可满足性问题，分别限制到平面的实例。假设{ \sf P $\neq $ NP}，上述结果的一个推论是：对于整数上线性不等式约束的平面线性目标函数的最大化或最小化问题，没有$ε$ -近似算法.
1998-09-11 cs.CC cs.DM
Exponential Time Complexity of Weighted Counting of Independent Sets
我们考虑使用有理权重x对独立集进行加权计数：给定一个有n个顶点的图，计算它的独立集，使得每个大小为k的集贡献x^k。这相当于计算具有硬核自排斥和硬核对相互作用的晶格气的配分函数。我们给出了以下条件下界：如果在n个变量（#3SAT）中计算3-CNF公式的满意赋值需要时间2^{Ω（n）}（即，存在c>0，使得没有算法可以在时间2^{cn}内求解#3SAT），计算一个n-顶点图的n/3大小的独立集所需时间为2^{Ω（n）}，加权计算独立集所需时间为2^{Ω（n）}（n/log^3 n）}对于所有有理权重x \neq 0。我们有两个技术成分：第一个是从3SAT到独立集的减少，它保留了解决方案的数量，并仅以常数因子增加实例大小。第二，我们设计了一个顶点克隆和路径添加的组合。这种图形转换允许我们采用Dell，Husfeldt和Wahlen最近的技术，该技术可以通过一系列减少进行插值，其中每个减少都只以多项式方式增加实例大小。
2010-09-07 cond-mat.stat-mech cs.CC
Approximate counting of vertices of 0/1 polytopes: a stronger hardness result
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Queen Mary, University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究证明0/1多面体顶点近似计数问题是NP困难的，无FPRAS除非RP=NP，通过图同态近似计数归约得到，思路来自GPT-5.6 Sol Ultra。
2026-08-26 cs.CC math.CO
Anti-Factor is FPT Parameterized by Treewidth and List Size (but Counting is Hard)
在一般的反因子问题中，给定一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个禁止度集$X_v\subseteq \mathbb{N}$，任务是找到一个边集$S$，使得$S$中的$v$的度不在集$X_v$中.标准技术（动态编程+快速卷积）可以用来表明，如果$M$是最大的禁止度，那么如果给出宽度$k$的树分解，则可以在时间$(M+2)^k\cdot n^{O(1)}$中解决问题。然而，如果集合$X_v$是稀疏的，则可能有更快的算法：我们的主要算法结果表明，如果每个顶点最多有$x$禁止度（我们称这种特殊情况为AntiFactor $_x$），则问题可以在时间上解决$(x+1)^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$。也就是说，反因子$_x$是由树宽$k$和排除度的最大数目$x$参数化的固定参数易处理的。我们的算法使用的技术代表集，可以推广到优化版本，但（如预期的那样）不计数版本的问题。事实上，我们证明了#AntiFactor $_1$已经是#W[1]-hard参数化的给定分解的宽度。此外，我们表明，与决策版本，标准的动态规划算法基本上是最佳的计数版本。形式上，对于一个固定的非空集$X$，我们用$X$ -AntiFactor表示特殊情况，其中每个顶点$v$具有相同的禁止度集$X_v=X$。对于每个固定集合$X$，我们给出了以下下界：如果存在一个$ε>0$，使得# $X$ -AntiFactor可…
2023-02-07 cs.CC cs.DS
From Graph Properties to Graph Parameters: Tight Bounds for Counting on Small Subgraphs
本研究将#IndSub(Φ)问题从图性质推广到图参数，证明了有限陪域非平凡边单调图参数下该问题的紧下界，且适用于模计数与多色版本，同时刻画了陪域规模对问题复杂度的影响。
2024-07-09 cs.CC cs.DS
Counting Small Induced Subgraphs with Hereditary Properties
研究了图$G$中满足图性质$Φ$的$k$ -顶点导出子图的计数问题$\#\text{IndSub}(Φ)$的计算复杂性.我们的主要结果建立了一个详尽的和明确的分类，所有的遗传属性，包括严格的条件下界下的指数时间假设（ETH）：-如果一个遗传属性$Φ$是真的所有的图，或者如果它是真的，只有对许多图，然后$\#\text{IndSub}(Φ)$是可解的多项式时间。- 否则，$\#\text{IndSub}(Φ)$在由$k$参数化时是$\#\mathsf{W[1]}$ -complete的，并且假设ETH，对于任何函数$f$，它都不能在时间$f(k)\cdot |G|^{o(k)}$中求解。这种分类具有广泛的性质，相应的检测问题（如Khot和Raman [TCS 02]所分类）是易于处理的，但计数是困难的。此外，即使是已经棘手的决策版本的属性，我们的结果产生显着更强的计数问题的下限。作为额外的结果，我们还提出了一个详尽的和明确的参数化的复杂性分类的所有属性是不变的同态等价。通过覆盖一个最自然的和一般的概念，关闭，即顶点删除（遗传）下，我们概括了一些早期的结果在这个问题上。例如，我们的结果完全支持并加强了Roth，Schmitt和Wellnitz [FOCS 20]对单调（子图封闭）属性的$\#\text{IndSub}(Φ)$的现有分类。
2022-03-29 cs.CC cs.DM
Exact and Approximate Pattern Counting in Degenerate Graphs: New Algorithms, Hardness Results, and Complexity Dichotomies
研究了$d$ -退化$n$-顶点图$G$中的$k$ -顶点图$H$的同态计数、副本计数和诱导副本计数问题.我们的主要结果建立了详尽和明确的复杂性分类计数子图和诱导子图。我们发现，$G$中的$H$（不一定是诱导的）拷贝可以在时间$f(k,d)\cdot n^{\max(\mathsf{imn}(H),1)}\cdot \log n$中计数，其中$f$是一些可计算的函数，$\mathsf{imn}(H)$是$H$的最大诱导匹配的大小。只要允许模式类具有无界的诱导匹配数，该算法本质上是最优的：除非指数时间假设（ETH）失败，否则对于任何函数$f$，没有算法在时间上运行$f(k,d)\cdot n^{o(\mathsf{imn}(H)/\log \mathsf{imn}(H))}$。在计数诱导子图的情况下，我们得到了一个类似的分类：我们可以在时间$f(k,d)\cdot n^{α(H)}\cdot \log n$上计数$G$中的诱导子图$H$的拷贝数，如果允许模式类具有无界的独立数，则在时间$f(k,d)\cdot n^{o(α(H)/\log α(H))}$上运行的算法是不可能的，除非ETH失败.在语言的参数化的复杂性，我们的结果产生二分法在固定参数易处理和$\#\mathsf{W}[1]$ -硬的情况下，如果我们参数化的模式和退化的主机图的大小。我们的结果意味着，除非ETH失败，否则几…
2021-06-01 cs.CC cs.DS
Tight bounds for counting colorings and connected edge sets parameterized by cutwidth
本文以图的割宽和树宽为参数，利用矩阵秩方法研究着色与连通生成边集计数的细粒度复杂度，在SETH下证明了模素数计数的紧致时间上下界。
2023-07-31 cs.CC cs.DS
Approximately counting and sampling small witnesses using a colourful decision oracle
本文设计了有效的算法来近似计数给定的$k$ -超图的边数，并对近似均匀的随机边进行采样。超图没有显式给出，只能通过它的彩色独立预言机来访问：彩色独立预言机返回是或否，这取决于给定的顶点子集是否包含相对于给定的顶点着色是彩色的边。我们的研究结果扩展和/或加强了Beame等人（ITCS 2018），Dell和Lapinskas（STOC 2018）和Bhattacharya等人（ISAAC 2019）在图形预言文献中的最新结果。我们的结果有近似计数/采样的后果：我们可以把某些类型的决策算法近似计数/采样算法，而不会导致太多的开销在运行时间。我们将这种近似计数/采样到决策的简化应用于细粒度复杂性（如$k$ -SUM，$k$ -OV和加权$k$ -Clique）和参数化复杂性（如CSP的大小$k$或权重- $k$解决方案的诱导子图）中的关键问题。
2022-03-07 cs.CC cs.DS
Planar Perfect Matching Counting is as Hard as Determinants
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文证明在代数电路等计算模型下，边加权平面图的完美匹配计数无法在 O(n^{ω/2-ε}) 算术运算内完成，从而确认了 Yuster 算法的最优性。
2026-06-02 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximately counting independent sets of a given size in bounded-degree graphs
我们确定的计算复杂性的近似计数和采样的独立集的给定大小的有界度图。也就是说，我们确定了一个临界密度$α_c(Δ)$和提供（一）为$α< α_c(Δ)$随机多项式时间算法近似采样和计数的独立集给定的大小最多$αn$在$n$ -顶点图的最大程度$Δ$ ;和（二）证明，除非NP=RP，没有这样的算法存在$α>α_c(Δ)$。临界密度是在无限$Δ$ -正则树上的唯一性阈值处，硬核模型在完全图$K_{Δ+1}$上的占据分数，将$α_c(Δ)\sim\frac{e}{1+e}\frac{1}Δ$表示为$Δ\to\infty$。我们的方法更普遍地适用于反铁磁2-自旋系统，并激发极值组合学的新问题。
2023-01-24 cs.CC cs.DS math.CO
Some hard families of parameterised counting problems
我们考虑以下形式的参数化子图计数问题：给定一个图G，它的顶点有多少个k-元组具有给定的属性？一些这样的问题是已知的#W[1]-完全的，在这里，我们基本上概括了这些现有的一些结果，证明硬度为两个大家庭这样的问题。我们证明了当标号子图的不同边密度数为o（k^2）时，计算具有任何性质的k-顶点子图的个数是#W[1]-困难的.在特殊的情况下，该属性的问题只取决于在子图的边缘数，我们给这个结果，导致我们的第二个家庭的硬问题的加强。
2014-09-25 cs.CC cs.DM math.CO
Detecting and Counting Small Patterns in Planar Graphs in Subexponential Parameterized Time
我们提出了一个算法，作为输入$n$ -顶点平面图$G$和$k$ -顶点模式图$P$，并计算在$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间$G$中的$P$（诱导）副本的数量。如果$P$是一个匹配的、独立集的或连通的有界最大度图，则运行时将简化为$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$。虽然我们的算法计数的所有副本的$P$，它也提高了最快的算法，只检测副本的$P$。在我们的工作之前，没有已知的用于检测非限制模式$P$的$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法，并且根据Bodlaender等人[ICALP 2016]的结果，$2^{o(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法将违反指数时间假设（ETH）。此外，它只知道如何检测一个固定的连接有界的最大程度模式$P$在$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$时间概率的副本。对于计数问题，这是一个反复问开放的问题，是否存在$2^{o(k)}n^{O(1)}$时间算法，即使是特殊的模式，如独立集，匹配和平面图中的路径计数。上述结果通过给出算法来计算运行时间等于其决策版本的ETH下界的问题的版本，在很大程度上解决了这个问题。一般来说，我们的算法计数$P$的副本在时间上成比例的顺序$\tilde{O}(\sqrt{k})$的非同构分离的数量。该算法引入了一种新的递…
2019-04-25 cs.CC cs.DM cs.DS
