一致凸性中锐常数的Bellman函数逼近

蒙日-安培方程与Carleson嵌入定理的Bellman optimization

Monge--Ampère equation and Bellman optimization of Carleson Embedding Theorems

蒙日-安培方程在解析法中占有重要地位。例如，它在质量运输问题中是有用的。另一方面，最近出现的贝尔曼函数技术，作为一种方法来考虑某些调和分析问题的随机最优控制的问题。这就把我们带到了贝尔曼偏微分方程，在随机环境中，它通常是一个蒙日-安培方程或它的近亲。本文探讨了用一种特征线法求解蒙日-安培方程，求某些经典调和分析问题的Bellman函数，从而求出这些问题的尖常数和极值序列的完整结构的方法.

由平方函数估计产生的障碍问题

Obstacle problems generated by the estimates of square function

本文给出了与B. 1976年，戴维斯在\cite{Davis}。本文考虑并元平方函数算子$S$的$\|Sf\|_p \le C_p \|f\|_p$型估计，即$p\ge 2$，Davis发现了常数$C_p$的精确值.然而，随着尖锐的常数，人们可以考虑上述估计的一个更微妙的特征。这个数量被称为贝尔曼函数的问题，它似乎对我们来说，这是从来没有证明，汇合型超几何函数从戴维斯的文件（第二页）基本上给这个贝尔曼函数。在这里，我们通过找到运算符$S$的未加权$L^p$估计的精确Bellman函数来填补这一空白。我们用障碍问题的语言进行证明。为了比较，我们还找到了$S$的弱$(1,1)$估计的Bellman函数.这个公式是由Bollobas \cite{Bollobas}提出的，并由Osekowski \cite{Os2009}证明，所以它并不新，但我们喜欢强调这两个贝尔曼函数描述的共同方法。

$L^2$凸猜想的Bellman函数证明

A Bellman function proof of the $L^2$ bump conjecture

本文讨论了两个权Calderon-Zygmund算子有界的尖锐充分条件的问题。我们解决了这个问题，在$L^2$通过编写一个公式的贝尔曼函数的问题。

松弛凸性假设、斜边界条件下完全非线性椭圆方程的精确 Hessian 估计及应用

Sharp Hessian estimates for fully nonlinear elliptic equations under relaxed convexity assumptions, oblique boundary conditions and applications

本文利用几何切向方法与 Recession 算子，在弱于凸性的结构假设及斜边界条件下建立完全非线性椭圆方程粘性解的全局 Hessian/BMO 估计，并推广至障碍型问题。

Bellman偏微分方程与经典等周问题的Hill性质

Bellman partial differential equation and the hill property for classical isoperimetric problems

本文的目的是从两类具体的偏微分方程出发，用一种系统的方法来构造等周不等式。我们称之为Bellman型偏微分方程是因为在调和分析中，一个完全相似的方程恰好支配着奇异积分的许多精确估计，而这些估计是利用Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程得到的.我们展示了如何经典的不平等Brascamp-Lieb，Prekopa-Leindler，Ehrhard是特殊的情况下，这个计划，这使我们能够增加股票等不平等。本文将等周不等式作为一类特殊函数的最大（最小）值原理。这些功能是“贝尔曼功能”和建立在检验函数上的适当流程的组合。然后，这种组合的最大（最小）原理的存在性可以归结为Bellman函数满足一类具体的非线性偏微分方程的要求（写在下面）。我们要解决这个非线性偏微分方程（有时可能的任务）享受等周不等式。本文所讨论的非线性偏微分方程有时可以归结为求解拉普拉斯本征值问题、某种类型的$\bar{\partial}$ -方程或线性热方程。

平面上简单非凸域上的Bellman函数

Bellman functions on simple non-convex domains in the plane

该研究推广了此前BMO上积分泛函的Bellman函数相关工作，提出构造两无界凸域之差构成的平面域上最小局部凹函数的算法，可得到多类函数的精确估计。

BMO中极值问题的Bellman函数

Bellman function for extremal problems in BMO

本文利用Bellman函数给出了一种求尖锐估计的方法。在经典的John-Nirenberg不等式和BMO函数的$L^p$估计的证明中，这种方法就是以这种形式出现的.本文给出了抛物带上齐次蒙日-安培方程在充分光滑边界条件下的边值问题的一种解法。这样，我们得到了在BMO空间中构造一类整泛函的精确Bellman函数的算法。

Bellman函数的Hessian与Brascamp-Lieb不等式的唯一性

Hessian of Bellman functions and uniqueness of Brascamp--Lieb inequality

在对向量$a_{1},..,a_{n} \in\mathbb{R}^{k}$和函数$B : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$的某些假设下，我们找到了表达式$\int_{\mathbb{R}^{k}} B(u_{1}(a_{1}\cdot x),..., u_{n}(a_{n}\cdot x))dx$用$\int_{\mathbb{R}}u_{j}(y)dy, j=1,...,n.$的精确估计。在某些特殊情况下，我们将证明对$B$的这些假设意味着只有一个Brascamp-Lieb不等式。

分数次极大算子的加权范数不等式--Bellman函数方法

Weighted norm inequalities for fractional maximal operators--a Bellman function approach

本文研究了$\R^d$上的分数阶极大算子的加权$L^p\to L^q$不等式，该不等式最初是由Muckenhoupt和Wheeden在70年代证明的.我们建立了一个稍强的版本，这个不等式的使用一个新的扩展Bellman函数方法。更准确地说，估计推导出存在的某一特殊函数享有适当的优化和优化。从这个结果和“$A_{p-\varepsilon}$定理”的一个显式版本，也用Bellman函数导出，我们得到了Lacey，Moen，Pérez和Torres的尖锐不等式。

平方函数的Sharp加权$L^2$不等式

Sharp Weighted $L^2$ inequalities for square functions

利用Bellman函数方法，给出了平方函数加权$L^2$不等式的新证明，其最佳依赖于权的$A_2$特征和进一步的显式常数.我们研究的估计在分析和概率的背景下，并作为应用，获得相关的估计为经典的Lusin和Littlewood-Paley平方函数。

逆Hölder类中权的尖锐$A_p$常数

The sharp $A_p$ constant for weights in a reverse-Hölder class

在最近的一份文件V. Vasyunin提出了一个证明的反向赫尔德不等式尖锐常数的重量满足通常的Muckenhoupt条件。在本文中，我们提出了相反的，即我们使用Bellman函数技术，找到尖锐的$A_p$常数的重量在一个区间上的反向Hölder类;我们也找到了尖锐的常数的高可积性结果的Gehring。此外，我们发现的$A_p$常数的逆Hölder类定义的矩形和立方体在n维的权重的界限。

锐迹Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式与分式Laplacian

Sharp Trace Hardy-Sobolev-Maz'ya Inequalities and the Fractional Laplacian

在本文中，我们建立了具有最佳Hardy常数的迹Hardy不等式和迹Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式，对于满足适当的几何假设（如平均凸性或凸性）的域.然后，我们使用它们来产生分数Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式的最佳Hardy常数的各种分数拉普拉斯。在定义域为半空间的情况下，我们的结果覆盖了分数拉普拉斯算子的指数$s \in (0,1)$的整个范围。我们回答特别是一个开放的问题提出的弗兰克和Seiringer \cite{FS}。

Master Bellman equation in the Wasserstein space: Uniqueness of viscosity solutions

We study the Bellman equation in the Wasserstein space arising in the study of mean field control problems, namely stochastic optimal control problems for McKean-Vlasov diffusion processes.Using the standard notion of viscosity solution à la Crandall-Lions extended to our Wasserstein setting,we prove a comparison result under general conditions on the drift and reward coefficients, whichcoupled with the dynamic programming principle, implies that the value function is the unique viscosity solution of the Master Bellman equation.This is the first uniqueness result in such a second-order context…

有界随机变量与事件指示函数的鞅变换

Martingale transforms of bounded random variables and indicator functions of events

该研究给出事件指示函数鞅变换分布函数的精确估计，通过Burkholder函数表述并约简为BMO极值问题的Bellman函数，揭示其自动凹性现象，同时探讨了有界随机变量鞅变换的同类问题。

非支配测度积分微分方程的一般且尖锐的正则性条件

A general and sharp regularity condition for integro-differential equations with non-dominated measures

本文提出用 Young 函数替代幂函数，为积分微分算子建立更一般的尖锐正则性条件，以保证支配原理和比较原理，并应用于抛物型 HJB 算子及带跳的正倒向随机微分方程。

推广散度定理的尖锐不等式--拟凸性概念的推广及补充

Sharp inequalities which generalize the divergence theorem--an extension of the notion of quasiconvexity, with an addendum

在适当的边界条件下，得到了某些特殊的二次函数$f(\bf{E})$在区域$Ω$上的积分的尖锐不等式，其中$\bf{E}(\bf{x})$是由位势$\bf{U}(\bf{x})$导出的.利用$\bf{E}=\nabla\bf{U}$，已知当$f(\bf{E})$是拟凸函数并且当$\bf{U}$满足仿射边界条件（即，对于某些矩阵$\bf{D}$，$\partialΩ$上的$\bf{U}=\bf{D}\bf{x}$）。在这里，我们允许其他边界条件和领域$\bf{E}$，涉及衍生物的各种订单的$\bf{U}$。我们定义了一个推广拟凸性的凸性概念。介绍了$Q^*$ -凸二次函数的概念，给出了其特征，并给出了一个生成尖锐$Q^*$ -凸函数的算法.我们强调，这也解决了突出的问题，找到一个算法生成极值拟凸二次函数。我们还将积分$Ω$的特殊二次函数$g(\bf{J})$，其中$\bf{J}(\bf{x})$满足微分约束，涉及衍生物，可能，各种订单。本文的结果推广了Kang和作者在三维空间中的一个例子，其中$\bf{J}(\bf{x})$是满足$\nabla\cdot\bf{J}=0$的$3\times 3$矩阵值域.在增编中，对该文件进行了澄清。值得注意的是，更一般的边界条件下，尖锐的下界积分的某些二次函数的字段可以得到。因此，严格的$Q^*$ -凸性被认为是一个适当的条件，以确保广泛的一类常系数…

鞅的最大$L^p$ -估计

Sharp maximal $L^p$-estimates for martingales

设$X$是从$0$出发的上鞅，它只有非负跳.对于每个$0<p<1$，我们确定最佳常数$c_p$，$C_p$和$\mathfrak{c}_p$，使$$ \,\,\,\,\sup_{t\geq 0}\left|\left|X_t\right|\right|_p\leq C_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p,$$ $$ \,\,||\sup_{t\geq 0}X_t||_p\leq c_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p$$和$$ ||\sup_{t\geq 0}|X_t|\;||_p\leq \mathfrak{c}_p\left|\left|-\inf_{t\geq 0}X_t\right|\right|_p.$$的估计被证明是尖锐的，如果$X$被假定为停止一维布朗运动。这些不等式是由特殊函数的存在性导出的，具有一定的控制性和凸性。指出了调和函数在欧氏域上的一些应用。