Rectifiability of measures and the $β_p$ coefficients
在一些以前的作品阿扎姆和托尔萨它表明，$n$ -rectifiability可以其特征在于在一个平方函数涉及大卫-塞姆斯$β_2$系数。在本文中，我们构造了一些反例，这些反例表明，对于具有$p\neq2$的$β_p$系数，类似的特征并不成立。这与在均匀$n$可整流性的情况下发生的情况形成强烈对比。在本文的第二部分中，我们为Edelen，Naber和Valtorta最近关于具有有界低$n$维密度的测度的$n$ -可求正性的一个结果提供了另一种论证.我们的另一种证明来自于上述阿扎姆和托尔萨的作品之一中的电晕分解的轻微变化以及适当的近似参数。
2018-01-19 math.AP math.CA
Interactions between quantitative rectifiability, singular integrals, and boundary value problems for harmonic functions
Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats（加泰罗尼亚研究与高级研究学院）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该论文围绕定量可求长性展开，回顾其与可求长性刻画、里斯变换L²有界性的联系及应用，还探讨了其在粗糙区域中拉普拉斯方程相关问题的L^p可解性方面的关键作用。
2026-07-22 math.AP math.CA
Uniform rectifiability, elliptic measure, square functions, and $\varepsilon$-approximability via an ACF monotonicity formula
设$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq2$是具有Ahlfors-David正则边界且满足螺旋条件的开集.我们考虑一个一致椭圆算子$L$的发散形式与矩阵$A$与真正的，只是有界的，可能是非对称的系数，这也是局部Lipschitz和满足适当的Carleson型估计。本文证明了：如果$L^*$是与$A$的转置矩阵相关联的散度型算子，则$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解是$\varepsilon$ -可逼近的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解满足适当的平方-函数Carleson测度估计此外，我们得到了两个额外的一致可求直的准则。一个是在所谓的$S<N$估计方面，另一个在一个合适的电晕分解涉及$L$ -谐波和$L^*$ -谐波措施。证明了若$L$ -调和测度和$L^*$ -调和测度满足弱$A_\infty$ -型条件，则$\partial Ω$是$n$ -一致可求长的.在这个过程中，我们得到了一个版本的Alt-Caffarelli-Friedman单调性公式的一个相当广泛的一类椭圆算子，这是独立的利益，并在我们的论点中发挥了重要作用。
2017-06-29 math.AP math.CA
Uniform rectifiability from Carleson measure estimates and $\varepsilon$-approximability of bounded harmonic functions
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$，$n\geq1$是具有Ahlfors-David正则边界的螺旋域.本文证明了$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的，如果$Ω$上的每一个有界调和函数都是$\varepsilon$ -可逼近的，或者如果$Ω$上的每一个有界调和函数都满足一个适当的平方函数Carleson测度估计.特别地，这适用于当$Ω=\mathbb R^{n+1}\setminus E$和$E$是Ahlfors-David正则的情况。我们的结果解决了霍夫曼，马特尔和梅博罗达在最近的工作中提出的一个猜想，他们证明了相反的陈述。在这里，我们还获得了两个额外的标准一致可求直。一个是在所谓的“$S<N$“的估计，另一个在一个合适的电晕分解涉及谐波措施。
2016-12-05 math.AP math.CA
A square function involving the center of mass and rectifiability
对于$\mathbb{R}^d$上的氡测量$μ$，定义$C^n_μ(x, t)= \ (\frac{1}{t^n} \ |\int_{B(x,t)} \frac{x-y}{t} \, dμ(y)\ | \ )$。该系数通过将给定比例和位置处的质心与球的实际中心进行比较来量化度量$μ$的对称程度。我们证明了如果$μ$是$n$ -可求正的，那么$ \int_0^\infty |C^n_μ(x,t)|^2 \frac{dt}{t} < \infty \, \, μ\mbox{-almost everywhere}. $与Mayboroda和Volberg的一个结果一起给出了$n$ -可求正的一个刻画.为了证明我们的主要结果，我们还证明了对于$n$ -一致可求正测度，$|C_μ^n(x,t)|^2 dt/t dμ$是$\mathrm{spt}(μ) \times (0,\infty)$上的Carleson测度.我们还表明，只要一个措施$μ$是$1$ -可求长的平面，那么同样的迪尼条件，上述更一般的内核。此外，我们还利用Carleson测度条件给出了平面上一致1-可求直性的一个刻画。
2022-01-14 math.CA
Boundedness of the density normalised Jones' square function does not imply $1$-rectifiability
最近，M。Badger和R. Schul证明了对于$1$ -可求积Radon测度$μ$，密度加权Jones平方函数$$ J_{1}(x) = \mathop{\sum_{Q \in \mathcal{D}}}_{\ell(Q) \leq 1} β_{2,μ}^{2}(3Q)\frac{\ell(Q)}{μ(Q)} 1_{Q}(x) $$对$μ$ -a.e. $x$。通过讨论Badger-Schul的一个问题，我们证明了反过来是不正确的。给定$ε> 0$，我们构造了一个在$[0,1]^{2} \subset \mathbb{R}^{2}$上的Radon概率测度，其性质是对所有$x \in \operatorname{spt} μ$都有$J_{1}(x) \leq ε$，但$μ$的$1$维低密度几乎处处为零.特别地，$μ$是纯粹的$1$ -不可纠正的。
2016-04-14 math.CA math.MG
Square functions, non-tangential limits and harmonic measure in co-dimensions larger than one
本文通过正则化距离函数在任意余维的Ahlfors正则集E的补集上的行为，刻画了该集E的可求正性（一致性和非一致性）.特别是，我们建立了一个特定版本的里斯变换表征的可求直的低维集。我们还揭示了一种特殊的情况，其中正则化的距离本身是一个解决方案的退化椭圆算子的补充E。这使我们能够精确地计算这些集合的调和测度与这个退化算子，并证明，在一个鲜明的对比，通常设置的余维1，逆的达尔伯格定理（见[Da]和[DFM2]）必须是假的低维边界上没有额外的假设。
2020-07-14 math.AP math.CA
Sufficient conditions for $C^{1,α}$ parametrization and rectifiability
我们说一个测度是$C^{1,α}$ $d$ -可求正的，如果存在一个可数的$C^{1,α}$ $d$ -曲面的并，其补测度为零。本文给出了$\mathbb{R}^n$中的Radon测度是$C^{1,α}$ $d$ -可求积的充分条件，其中有$α\in (0,1]$ .条件涉及Bishop-Jones型平方函数，并且所有陈述都是定量的，因为$C^{1,α}$常数取决于这样的函数。一路上，我们也给充分条件的$C^{1,α}$参数化Reifenberg平坦的设置在相同的平方函数。证明的关键工具来自大卫和托罗的Reifenberg参数化的集合与洞的霍尔德和利普希茨类别。
2019-12-24 math.CA math.MG
Solvability of the $L^p$ Dirichlet problem for the heat equation is equivalent to parabolic uniform rectifiability in the case of a parabolic Lipschitz graph
本文证明抛物型Lipschitz图域上热量测度的$A_\infty$性质等价于边界抛物型一致可修正性，从而结合Lewis-Murray工作解决了热方程$L^p$ Dirichlet问题可解性的长期开放问题。
2024-11-08 math.AP math.CA
Square Functions and Rectifiability under Monotone Transformations of the Density
Spatiolyx LLC（Spatiolyx有限责任公司）
本文证明密度经区间上双Lipschitz函数复合后，原关于n-AD正则测度一致n-可求长性的平方函数Carleson条件刻画仍成立，还推广了光滑平方函数等情形的相关结论。
2026-09-01 math.CA
The Usual Square Function on Weakly Flat Sets
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究平面上Cauchy单层核的通常平方函数估计，证明满足该估计和弱平坦条件的有限Radon测度是可求长的，并给出支撑在局部双侧NTA曲线或拟圆上的可求长性推论。
2026-06-24 math.CA
Harmonic Measure and the Analyst's Traveling Salesman Theorem
研究了广义Jones $β$数与调和测度的关系.首先，我们推广了Garnett，Edgoglou和Tolsa的一个结果，证明了$\mathbb{R}^{d+1}$中以低$d$ -含量为边界的区域允许调和测度的正则Corona分解当且仅当广义Jones $β$ -数的平方和$β_{\partialΩ}$是有限的.其次，对于具有Ahlfors正则边界的半一致域，一致可求直性意味着半一致域的调和测度是$A_{\infty}$，而现在我们给出了一致可求直性常数对$A_{\infty}$ -常数的更明确的依赖关系.这是从一个更一般的估计，不假设边界是一致可求长。对于一般的半一致整环，我们也给出了如何用Hausdorff测度与该集合上的$β$ -数的平方和来定义子集的调和测度.在此基础上，我们给出了格林函数在一致区域上的涨落的$β$ -数估计。作为推论，对于有界NTA域，如果$B_Ω=B(x_Ω,c\mathrm{diam} Ω)$使得$2B_Ω\subseteq Ω$，则得到\[ (\mathrm{diam} \partialΩ)^{d} + \int_{Ω\backslash B_Ω} \ |\frac{\nabla^2 G_Ω(x_Ω,x)}{G_Ω(x_Ω,x)}\ |^{2} \mathrm{dist}(x,Ω^c)^{3} dx \sim \mathscr{H}^{d}(\part…
2019-11-21 math.AP math.CA math.MG
Carleson measure estimates and $ε$-approximation of bounded harmonic functions, without Ahlfors regularity assumptions
令$Ω$为$\mathbb{R}^{d+1}$中的域$d \geq 1$。在文献[HMM 2]和[GMT]中证明了：若$Ω$满足螺旋条件，且$\partial Ω$是$d$-Ahlfors正则的，即对所有$x \in \partial Ω$和$0 < r < {\rm diam}(\partial Ω)$都是Hausdorff测度$\mathcal{H}^d(B(x,r) \cap \partial Ω) \sim r^d$，则$\partial Ω$是一致可求积的当且仅当（a）对于$Ω$上的每个有界调和函数，平方函数Carleson测度估计成立，或（b）$\varepsilon$ -所有$0 < \varepsilon <1$的近似性质。在这里，我们探讨（a）和（b）当$\partial Ω$不需要是Ahlfors规则的。我们首先证明了对于任何定义域$Ω$，存在一个定义域$\widetilde Ω\subset Ω$使得$\partial Ω\subset \partial \widetilde Ω$和$\partial \widetilde Ω$是一致可求积的，（a）和（b）成立.接下来，我们假设$Ω$满足螺旋形条件，并且$\partial Ω$满足容量密度条件。在这些假设下，我们反过来证明了这样的$\widetilde Ω$的存在性意味着（a）和（b）在$Ω$上成立，并给出了…
2020-07-26 math.CA
