Braids, their properties and generalizations
本文综述了辫群及其相关的研究。我们从最初的定义开始，然后我们给出了这些群体的几种解释以及几种介绍。接下来给出纯辫群的Burau表示和Markov标准形。Garside规范形式和他的共轭问题的解决方案，以及最近的结果的顺序和线性的辫群。接下来的主题是辫子的推广，它们的同调性质以及与其他数学领域的联系，如纽结理论（通过亚历山大和马尔可夫定理）和球面的同伦群。
2006-11-22 math.GR math.GT
Translation numbers in a Garside group are rational with uniformly bounded denominators
已知Garside群是强平移离散的。本文证明了Garside群中的平移数是有理数，且具有一致有界的平移子，并且可以在有限时间内计算.作为应用，我们给出了一些群论问题的解。
2007-03-22 math.GR math.GT
Garside groups and Yang-Baxter equation
该研究建立了特定加赛德群与量子杨-巴克斯特方程特定解的结构群的一一对应，并通过Δ-纯加赛德群刻画了不可分解解，连接了群论与量子代数领域。
2011-01-23 math.GR math.RA
The cyclic sliding operation in Garside groups
我们提出了一个新的操作要执行的元素在Garside组，称为循环滑动，这是介绍，以取代众所周知的循环和decycling操作。循环滑动似乎是一个更自然的选择，简化了Garside群中共轭的算法，并具有更好的理论性质。我们表明，特别是，如果一个超级首脑会议的元素共轭是“刚性”（即，具有一定的特别简单的结构），然后通过共轭的正元素获得这样一个刚性共轭的最佳方式是由迭代循环滑动。
2008-09-09 math.GR math.GT
General cycling operations in Garside groups
本文引入Garside群中任意阶循环运算的概念，它是循环运算和去循环运算的完全推广。从理论上讲，这一概念与其他相关概念一起提供了一个统一、简化和改进Garside群的各种定义和论证的背景。在实际应用中，它给出了一种新的算法，该算法在求解可约辫子的共轭性问题上有很大的改进。
2006-08-20 math.GR math.GT
Construction of a group of automorphisms for an infinite family of Garside groups
本文为量子杨-巴克斯特方程非退化对称解的结构群构造自同构群，证明其存在保持Garside性质的子群，并在某些情况下得到外自同构群。
2014-11-05 math.GR math.QA
Garside structure on monoids with quadratic square-free relations
我们展示了目前正在积极研究的各种数学概念之间的密切联系：一类Garside幺半群，有一个“漂亮的”Garside元，某些具有二次关系的幺半群$S$，其幺半群代数$A= k[S]$有一个具有正则基柱的Frobenius Koszul对偶$A^{!}$，斜多项式型幺半群（或等价地，二项式斜多项式环），并在1995年给出了一类新的Noether Artin Schelter正则域，以及杨-巴克斯特方程的无平方集理论解。由于它们的组合和代数性质，这些物体具有美丽的对称性。
2009-09-25 math.GR math.QA
Dual Garside structure and reducibility of braids
贝纳尔代特，古铁雷斯和Nitecki显示了一个重要的结果，涉及几何性质的辫子，作为同胚的穿孔磁盘，其代数Garside理论的性质。也就是说，他们表明，如果一条辫子将一条曲线发送到另一条曲线，那么这条曲线在辫子的左范式（具有经典Garside结构）的每个因子之后的图像也是标准的。我们对Benardete-Gutierrez-Nitecki的结果提供了一个新的简单的几何证明，它可以很容易地适用于辫群的对偶Garside结构的情况，并在对偶设置中适当地定义了标准曲线.这产生了一种新的算法，用于确定Nielsen-Thurston类型的编织物。
2012-02-22 math.GR math.GT
Garsideness properties of structure groups of set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation
本文类比辫群到 Temperley–Lieb 代数的同态，研究非退化对合集合论 Yang–Baxter 解的结构群，并利用其 Garside 性质为群像的底层向量空间构造有限基。
2022-06-07 math.GR math.QA math.RA
Solving the conjugacy problem in Garside groups by cyclic sliding
本文给出了Garside群中共轭判定问题和共轭搜索问题的一种解法，该解法在理论上比通常的解法简单，且不损失效率.这是通过用一种新的称为循环滑动的操作代替众所周知的循环和反循环操作来完成的，循环滑动似乎是一种更自然的选择。我们给出了我们的算法的复杂性的分析方面的基本运算与简单的元素，所以我们的分析是有效的每个Garside组。本文旨在是独立的，不需要任何先前的知识，以前的算法，并包括所有的细节，在计算机上实现的算法。
2008-09-05 math.GR math.GT
Salter's question on the image of the Burau representation of $B_4$
本文通过构造反例对 $n=4$ 情况下的 Salter 问题给出了否定解答，并提出了关于 $B_4$ Burau 表示忠实性的两点注记，包括推广了前人结果及提供建筑理论判据。
2024-12-19 math.GR math.GT
New Garside structures and applications to Artin groups
提出一种将群与 $\mathbb{Z}$ 的直积转化为 Garside 群的方法，生成包含小消去群和 Artin 群的新实例，并证明了双曲型 Artin 群的 $K(π,1)$-猜想新情形。
2024-10-16 math.GR math.GT
Garside theory and subsurfaces: some examples in braid groups
辫群中共轭问题的Garside理论解依赖于任何给定辫群的共轭类的特征子集的确定，例如滑动圈集。它被证实，在刚性编织物与固定数量的股，这组的大小是由一个多项式的编织物的长度的限制。在本文中，我们建议一个更精确的界限：刚性编织与$N$股和Garside长度$L$，滑动电路集应该有最多$C\cdot L^{N-2}$元素，为某些常数$C$。我们构建了一系列编织物，以实现这种潜在的最差情况。我们的示例辫子表明，具有大的滑动电路集是辫子的几何特性，因为我们的示例具有多个具有大的次表面投影的子表面;因此它们以多种方式“几乎可约”，并且以小的平移距离作用于曲线图。
2019-04-02 math.GR math.GT
Reducible braids and Garside theory
我们表明，可约辫子，在Garside理论的意义上，尽可能简单的共轭类内，也尽可能简单的几何意义上。更确切地说，如果一个辫子属于它的共轭类的某个子集，我们称之为滑动回路的稳定集，并且如果它是可约的，那么它的可约性在几何上是明显的：它有一个圆的或几乎圆的可约曲线。此外，对于任何给定的辫子，其稳定的滑动回路集的元素可以使用众所周知的循环滑动运算来找到。这导致了一个多项式时间算法，用于决定任何辫子的Nielsen-Thurston类型，模一个众所周知的猜想的收敛速度的循环滑动操作。
2010-08-02 math.GR math.GT
Positive 3-braids, Khovanov homology and Garside theory
本文利用Garside理论对正3辫共轭类进行分类，并计算其闭包Khovanov同调表的前四列和最低三行，进一步通过共轭最大化下确界以在线性时间内确定更多同调单元。
2025-04-08 math.AT math.GR math.GT
Conjugacy in Garside groups II: Structure of the ultra summit set
本文是研究Garside群上的共轭判定问题和共轭搜索问题的系列文章的第二篇。Garside群G中元素X的超顶点集USS（X）是G中元素的有限集，它是G中X的共轭类的完全不变量。如果人们希望找到USS（X）大小的界限，一个根本问题就是了解它的结构。本文引入USS（X）中元素的两种新的运算，称为“部分循环”和“部分扭去循环”，并证明了：如果Y和Z属于USS（X），则Y和Z由部分循环和部分扭去循环序列相关联.这些运算是理解由第二作者的论文中的凸性定理所得到的最小简单元的一种具体方法。利用部分循环和部分扭去循环，研究了由USS（X）确定的有向图Γ X的结构，证明了Γ X可分解为“黑”和“灰”子图.在本系列的第一篇文章中，有一些与该程序相关的应用程序，用于在编织物的情况下找到CDP/CSP的多项式解。一个不同的应用是给出一个新的算法来解决CDP/CSP在Garside组这是比所有其他已知的算法，即使其理论复杂性是相同的，由第二作者。也有应用到理论的约化群。
2006-06-26 math.GR math.GT
Solving random equations in Garside groups using length functions
本文系统地阐述了求解非交换群中方程的记忆长度算法。这一论述澄清了以前论述中未触及的一些问题。然后，我们关注这些攻击中的主要成分：长度函数。在对Garside群进行了自包含的介绍之后，我们描述了这些群中由贪婪范式和理性范式引起的长度函数，并比较了它们的最坏情况性能。我们主要关注的是阿廷的辫群，其两个已知的Garside介绍，由于阿廷和由于伯尔曼科李（BKL）。我们表明，在$B_3$配备了BKL表示，（有效计算）合理规范形式的每个元素是测地线，即，是元素最小长度的代表。(For在Artin提出$B_3$之后，Berger于1994年提供了一种在$B_3$中获得测地线代表的方法。根据Paterson和Razborov在1991年的一个结果，对于任意数量的链，求元素的测地线长度是NP-难的。我们表明，一个很好的估计的测地线长度的辫子在阿丁的介绍是测量其合理的形式在\emph{BKL}介绍的长度。这是证明理论上的最坏的情况下，和实验证据提供的一般情况下。
2010-10-30 cs.CR math.AG math.GR
Folding of set-theoretical solutions of the Yang-Baxter equation
建立了量子杨-巴克斯特方程的非退化对称集理论解的不变子集与其具有正则Garside结构的结构群的抛物子群之间的对应关系.此外，我们引入了可折叠解的概念，它扩展了可分解解的概念。
2010-09-17 math.GR math.QA
Springer categories for regular centralizers in well-generated complex braid groups
Departamento de Álgebra e Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla（塞维利亚大学代数系与数学研究所）；math.cnrs.fr（法国国家科学研究中心数学研究所）
本文研究了复杂辫群中正则中心化子的弹簧类别，通过Garside结构证明了关于中心的定理，并提供了Hurwitz-like的呈现方法。
2026-02-12 math.GR math.RT
Braid Group Cryptography
在过去的十年中，人们提出了许多基于辫群上的组合群论问题的公钥密码体制。我们调查这些密码系统和一些已知的攻击。这项调查包括：关于辫群及其元素的Garside范式的基本事实，解决辫群中字问题的一些已知算法，基于辫群的主要公钥密码系统，以及对这些密码系统的一些已知攻击。最后，我们讨论了未来的发展方向（其中还包括基于其他非交换群的密码系统的描述）。
2008-09-27 cs.CR math.GR
Toric reflection groups
几个有限复反射群有一个辫群，它同构于一个环面纽结群。通过声明子午线具有某些$k\geq 2$的顺序$k$，从环面纽结群获得反射组，并将子午线映射到反射。本文研究了要求子午线具有有穷级而得到的环面纽结群的所有可能的等价性。使用理论的$J$ -群的Achar和Aubert，我们表明，这些群体的行为就像（一般无限）复杂的反射群的秩2。大家庭的“复曲面反射群”，我们得到的包括，除其他外，所有有限的复杂的反射群的秩2与一个单一的共轭类的反射超平面，以及Coxeter的截断的$3$ -股辫群。我们对这些环面反射群进行了分类，并解释了为什么相应的环面纽结群可以自然地被认为是它的辫群。特别地，这产生了一个新的无限族的反射类群承认一个辫群，这是一个Garside群。此外，我们还证明了复曲面反射群具有循环中心，并证明了该中心的商同构于秩为3的Coxeter群的交错子群。为此，我们使用的事实，即中心的交替子群的不可约，无限考克斯特组的秩至少为3是平凡的。一些成分的证明是纯粹的考克斯特理论，可能是独立的利益。
2022-01-15 math.GR math.GT math.RT
