Progress on Polynomial Identity Testing - II
Nitin Saxena
我们调查领域的代数复杂性理论，重点是多项式身份测试（PIT）的问题。我们讨论了过去几年的结果中的关键思想。
We survey the area of algebraic complexity theory; with the focus being on the problem of polynomial identity testing (PIT). We discuss the key ideas that have gone into the results of the last few years.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Application of Kolmogorov complexity and universal codes to identity testing and nonparametric testing of serial independence for time series
我们表明，Kolmogorov复杂性和通用代码（或数据压缩方法）的估计，可以适用于假设检验的经典数理统计的框架。提出了时间序列独立性的同一性检验和非参数检验方法。
New results on Noncommutative and Commutative Polynomial Identity Testing
利用自动机理论的思想，我们设计了一个新的有效的（确定性）身份测试的\emph{noncommutative}多项式身份测试问题（首次介绍和研究\cite{RS05,BW05}）。我们也将这一思想应用于黑箱非交换代数分支程序的重建。假设黑盒模型允许我们查询ABP在任何给定门的输出，我们可以在确定性多项式时间内重建（等效）ABP。最后，我们探讨了当输入多项式的系数来自任意有限单位交换环时的交换恒等式检验。
Polynomial time deterministic identity testingalgorithm for $Σ^{[3]}ΠΣΠ^{[2]}$ circuits via Edelstein-Kelly type theorem for quadratic polynomials
在这项工作中，我们解决了Beecken，Mitmann和Saxena [BMS 13]和Gupta [Gup 14]的问题，通过证明Edelstein和Kelly二次多项式定理的模拟。作为直接推论，我们得到了第一个确定性的多项式时间黑盒算法测试的$Σ^{[3]}ΠΣΠ^{[2]}$电路的零。
A Note on Polynomial Identity Testing for Depth-3 Circuits
令$C$为深度3算术电路，其大小至多为$s$，计算多项式$ f \in \mathbb{F}[x_1,\ldots, x_n] $（其中$\mathbb{F}$ = $\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$），并且$C$的乘积门的扇入由$d$界定。给出了一个确定性多项式恒等式检验算法，用于及时检验是否为$f\equiv 0$.
Towards an algebraic natural proofs barrier via polynomial identity testing
我们观察到，某种代数证明-它基本上涵盖了所有已知的代数电路下界的日期-不能用来证明下界对VP当且仅当我们所谓的简洁击中集存在VP。这类似于布尔电路复杂性中的Razborov-Rudich自然证明障碍，因为我们在去随机化假设下排除了一大类下界技术。我们还讨论了这个代数自然证明障碍，几何复杂性理论和（代数）证明复杂性之间的联系。
Efficient Polynomial Identity Testing Over Nonassociative Algebras
针对非结合多项式代数，设计了首个高效多项式恒等测试算法，包括随机黑盒PIT、白盒确定性测试及浅深度电路的拟多项式规模击中集，并证明了首个Amitsur-Levitzki型定理。
Parallel Identity Testing for Skew Circuits with Big Powers and Applications
介绍了功能强大的时滞算术电路。这些是带有变量的偏斜算术电路，其中输入门可以用二进制编码数$n$的幂$x^n$来标记。证明了高性能扭斜算术电路的多项式恒等式测试属于$\mathsf{coRNC}^2$，推广了标准扭斜电路的相应结果。这一结果的两个应用：（i）等价的高维直线程序可以测试在$\mathsf{coRNC}^2$ ;这一结果甚至是新的一维情况下，直线程序产生字符串。(ii)一类由交换群生成的环积的压缩字问题（或电路求值问题）属于$\mathsf{coRNC}^2$。
Operator Scaling via Geodesically Convex Optimization, Invariant Theory and Polynomial Identity Testing
本文提出了一种新的求解正定矩阵上自然双曲度量测地线凸优化问题的二阶方法。我们将其应用于解决时间多项式的输入大小和对数的误差算子缩放问题。这是一个指数级的改进，以前的算法，分析在通常的欧几里德，“交换”度量（其中上述问题是不凸的）。我们的方法是通用的，适用于其他设置。作为结果，我们解决了等价问题的左，右群作用的运营商缩放问题。这产生了一个确定性的多项式时间算法的一类新的多项式恒等式测试（PIT）问题，这是最初的动机，研究运营商缩放。
Identity Testing and Lower Bounds for Read-$k$ Oblivious Algebraic Branching Programs
读- $k$不经意代数分支程序是研究得很好的只读一次不经意代数分支程序模型的自然推广。在这项工作中，我们给出了一个指数下界的$\exp(n/k^{O(k)})$的宽度上的任何读$k$不经意ABP计算一些显式的多线性多项式$f$，是由一个多项式大小的深度$3$电路计算。我们还研究了该模型的多项式身份测试（PIT）问题，并得到了一个白盒次指数时间PIT算法。该算法在时间$2^{\tilde{O}(n^{1-1/2^{k-1}})}$中运行，并且仅需要白盒访问以了解变量在ABP中出现的顺序。
Unitary Subgroup Testing
我们考虑量子线路$C$的$\textit{subgroup testing}$问题：给定对$C$的访问，确定它是否实现了一个酉，即$a$ -接近或$b$ -远离酉群的子群$\mathcal{G}$。它包括精确测试、性能测试和容差测试问题。在这项工作中，我们研究这些问题与组$\mathcal{G}$的平凡子群（即身份测试）或泡利或Clifford组和他们的$q$ -ary扩展，和$\textit{promise}$版本的这些问题，其中$C$是承诺在一些子群的酉包含$\mathcal{G}$（例如身份测试Clifford电路）。我们的主要结果是泡利测试，Clifford测试和身份测试之间的等价性。我们通过给出Clifford酉的一个结构性质，证明了Clifford酉与恒等检验的等价性。也就是说，它们的（归一化）迹位于离散集$\{2^{-k/2}: k \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$中，而与维数无关。我们还陈述并证明了$q$元Clifford的类似性质。这个结果使我们能够分析一个非常简单的单查询身份测试下的Clifford/Pauli承诺。为了证明泡利和恒等式检验之间的等价性，我们分析了非泡利幺正在泡利群上的共轭作用，并证明了它与泡利群的距离影响不动点的个数.我们认为，这些结果是感兴趣的，独立于他们的应用，以建立等效性。我们使用的等价比较（从而建立）泡利和克利福…
Derandomizing Polynomial Identity over Finite Fields Implies Super-Polynomial Circuit Lower Bounds for NEXP
我们表明，去随机化多项式身份测试在任意有限域意味着NEXP没有多项式大小的布尔电路。换句话说，对于任何大小为q的有限域F（q），$PIT_q\in NSUBEXP\Rightarrow NEXP\not\subseteq P/poly$，其中$PIT_q$是F（q）上的多项式恒等式测试问题，NSUBEXP是语言的非确定性子时间类。我们的结果是在合同Kabanets和Impagliazzo的现有定理，去随机化的多项式身份测试在整数环Z意味着NEXP确实有多项式大小的布尔电路或永久在Z上没有多项式大小的算术电路。
The Limited Power of Powering: Polynomial Identity Testing and a Depth-four Lower Bound for the Permanent
多项式恒等式检验和算术电路下界是代数复杂性理论中的两个核心问题。有趣的是，这些问题实际上是相关的。本文的作者之一最近提出了一个“真正的τ-猜想”，这是受这种联系的启发。实τ-猜想指出稀疏一元多项式的乘积之和的实根的个数应该是多项式有界的。它意味着计算永久多项式的算术电路的大小的超多项式下界。本文证明了实τ-猜想对一类有限的稀疏多项式乘积和成立。这一结果产生了一个限制类的深度-4电路的下界：我们表明，多项式大小的电路从这个类不能计算永久的，我们也给出了一个确定性的多项式身份测试算法为同一类电路。
Identity Testing for +-Regular Noncommutative Arithmetic Circuits
对于由非交换算术电路给出的非交换多项式，一个有效的随机多项式恒等式检验仍然是一个悬而未决的问题。应用已知技术的主要瓶颈是大小为$s$的非交换电路可以计算具有双指数数目的非零单项式的$s$中的次数指数的多项式。在本文中，我们报告了一些进展，通过处理两个自然的子情况（都允许多项式的指数次数和单项式的双指数数）：（1）我们考虑\emph{$+$-regular}非交换电路：这些都是齐次非交换电路的附加性质，所有的$+$ -门是分层的，并在每个$+$ -层的所有门有相同的语法程度。我们给出了这种电路的\emph{white-box}多项式时间确定性多项式恒等式测试。我们的算法结合了$+$ -正则电路的一些新的结构结果与已知的非交换ABP恒等式测试[RS 05 PIT]，交换深度3恒等式的秩界[SS 13]和字的等价测试问题[Loh 15，MSU 97，Pla 94]的结果。(2)接下来，我们考虑$ΣΠ^*Σ$非交换电路：这些是具有分层$+$门的非交换电路，使得只有两层$+$门。这些$+$层是输出$+$门和底层的线性形式;在$+$层之间，电路可以有任何数量的$\times$门。给出了$ΣΠ^*Σ$电路的一个有效的随机\emph{black-box}恒等式测试问题.特别是，我们表明，如果$f\in F<Z>$是一个非零的非交换多项式计算的$ΣΠ^*Σ$电路的大小$s$，那么$f$不能是一个多项…
The Power of Depth 2 Circuits over Algebras
研究了矩阵代数上深度为2的算术电路的多项式恒等式测试问题。我们证明了域F上深度为3的（Sigma-Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试是多项式时间等价于域U_2（F）上深度为2的（Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试。这样的联系是有点令人惊讶的，因为我们还表明，作为计算模型，在U_2（F）上的Pi-Sigma电路严格“弱”于在F上的Sigma-Pi-Sigma电路。该等价性进一步表明，深度为3的算术电路的PIT可退化为宽度为2的平面交换代数分支程序的PIT。因此，即使在宽度为2的情况下，交换ABP的身份测试也是有趣的。进一步，我们给出了F上任意常维交换代数上Pi-Sigma电路的确定性多项式时间恒等式检验算法。而在多项式维数的交换代数上，恒等式检验至少和F上的Sigma-Pi-Sigma电路一样困难。
Black-box Identity Testing of Noncommutative Rational Formulas of Inversion Height Two in Deterministic Quasipolynomial-time
Hrubeiden和Wigderson（2015）发起了具有逆门的非交换公式的复杂性理论研究。他们引入了有理恒等式测试（RIT）问题，该问题是决定非交换有理公式是否在自由偏斜域中计算零。在白盒设置中，根据Garg，Gurvits，Oliveira和Wigderson（2016）以及Ivanyos，Qiao和Subrahmanyam（2018）的工作，确定性多项式时间算法被称为这个问题。该领域的一个中心问题是设计有效的有理公式的确定性黑盒恒等式测试算法。在本文中，我们解决这个问题的第一套逆的情况下。更准确地说，我们得到了一个确定性的拟多项式时间的黑盒RIT算法的反演高度2的非交换有理公式通过一个击中集的建设。在命中集的构造中涉及到几个新的技术思想，包括矩阵系数实现理论（Volči，2018）的关键概念和循环除代数的性质（Lam，2001）。在证明的过程中，一个重要的步骤是将Forbes和Shpilka的非交换公式（2013）的击中集嵌入到小指标的循环除代数中。
Quantum Query Complexity of Multilinear Identity Testing
受\cite{MN05}中检验黑箱群交换性的量子算法的启发，我们研究了如下问题：给定一个黑盒有限环$R=\angle{r_1,...,r_k}$，其中$\{r_1,r_2,...,r_k\}$是$R$的一个可加生成集，以及$R$上的一个多线性多项式$f(x_1,...,x_m)$，也可作为一个黑盒函数$f:R^m\to R$（这里我们允许不确定的$x_1,...,x_m$是可交换的或不可交换的），我们研究了$f$是否是环$R$的\emph{identity}的测试问题.更准确地说，问题是测试是否所有$a_i\in R$都有$f(a_1,a_2,...,a_m)=0$。在假设$k\geq (1+1/α)^{m+1}$的条件下，给出了一个具有查询复杂度$O(m(1+α)^{m/2} k^{\frac{m}{m+1}})$的量子算法.朝向一个下界，我们还讨论了减少从一个版本的$m$ -碰撞这个问题。我们还观察到查询复杂度$4^mmk$和恒定的成功概率和$k^m$查询复杂度的确定性测试的随机测试。
On Matrix Multiplication and Polynomial Identity Testing
本研究揭示矩阵乘法边界秩下界可用于代数电路多项式恒等式测试的去随机化，构造了相应的命中集生成器并给出其种子长度与电路规模的量化关系，拓展了相关算法设计思路。
Algebraic Independence and Blackbox Identity Testing
代数独立性是交换代数中的一个高级概念，它将线性多项式的独立性推广到更高的次数。多项式{f_1，.，f_m} \subset \F [x_1，.，x_n]称为代数无关的，如果不存在非零多项式F使得F（f_1，...，f_m）= 0。超越度，trdeg{f_1，.，f_m}是集合中代数无关多项式的最大个数r。在本文中，我们设计了黑箱和有效的线性映射，使变量的数量从n减少到r，但保持trdeg{f（f_i）}_i = r，假设f_i的稀疏和小的r。我们应用这些基本映射来解决黑盒身份测试的几种情况：（1）给定多项式次数电路C和稀疏多项式f_1，.，f_m与trdeg r，我们可以测试黑盒D：= C（f_1，...，f_m）在poly（size（D））中为零。(2)将spsp_δ（k，s，n）电路C定义为\sum_{i=1}^k \prod_{j=1}^s f_{i,j}的形式，其中f_{i,j}是次数至多为δ的稀疏n变量多项式。对于k = 2，我们给出了一个poly（snδ）^{δ^2}时间黑盒恒等式检验. (3)对于一般的深度4电路，我们定义了秩的概念。假设最小简单spsp_δ（k，s，n）恒等式存在秩界R，给出了spsp_δ（k，s，n）电路的poly（snRδ）^{Rkδ^2}时间黑盒恒等式检验.这部分地概括了深度3至深度4电路的现有技术。trdeg的概念最适合大或零特征，但我们也给…
Blackbox identity testing for bounded top fanin depth-3 circuits: the field doesn't matter
设C是基域F上的n个变量、度为d、顶扇为k的深度为3的回路（称为sps（k，d，n）回路）.设计一个确定性的多项式时间黑盒算法来测试C是否恒为零是一个主要的公开问题。Klivans & Spielman（STOC 2001）观察到，即使k是常数，问题也是开放的。在过去的几年里，从Dvir & Shpilka的工作开始，这个案例一直受到认真的研究（STOC 2005）。我们给出了该问题的第一个多项式时间黑箱算法。我们的算法在时间上运行poly（nd^k），而不考虑基域。多项式时间算法以前已知的唯一领域是F=Q（Kayal & Saraf，FOCS 2009，Saxena & Seshadhri，FOCS 2010）。这是第一个不使用Karnin & Shpilka（CCC 2008）基于秩的方法的深度3电路黑盒算法。我们证明了一个重要的工具，深度3身份的研究。我们设计了一个黑盒多项式时间变换，将sps（k，d，n）电路中的变量数目减少到k个变量，但保留了恒等式结构。
Identity Testing and Interpolation from High Powers of Polynomials of Large Degree over Finite Fields
我们考虑的问题的身份测试和恢复（即，插值）的“隐藏”monic多项式$f$，给定的Oracle访问$f(x)^e$为$x\in\mathbb F_q$，其中$\mathbb F_q$是有限域的$q$元素和扩展字段访问是不允许的。朴素插值算法需要$de+1$查询，其中$d =\max\{{\rm deg}\ f, {\rm deg }\ g\}$因此需要$ de<q$。对于一个素数$q = p$，我们设计了一个算法，在某些情况下，特别是当$d$是大的渐近更好。该算法是基于一个结果的独立利益在精神的加法组合。它给出了一个上界的一个合理的功能的价值观的数量大的程度，评估一个短序列的连续整数，属于一个小的子群的$\mathbb F_p^*$。
Deterministic Identity Testing of Read-Once Algebraic Branching Programs
本文研究了$k$只读代数分支程序（$Σ_k$ -RO-ABPs）和的多项式恒等式检验问题，推广了Shpilka和Rovovich在2008，2009中对$k$只读代数分支程序（$Σ_k$ -RO-formulas）和的多项式恒等式检验.我们证明了对于任何$k \leq \lfloor n/2\rfloor$，其中$n$是变量的数目，$Σ_k$-RO-ABPs比$Σ_k$ -RO-公式严格更强大。我们得到了以下结果：1）给定对和中的RO-ABP的自由访问，我们得到了一个在时间上运行的确定性算法$O(k^2n^7s) + n^{O(k)}$，其中$s$限制了输入上给定的任何最大RO-ABP的大小。这意味着我们有一个确定性的多项式时间算法，用于测试是否一个恒定数量的RO-ABP的总和计算零多项式。2)给定对计算和中的各个多项式的RO-ABP的黑盒访问，我们得到在时间上运行的确定性算法$k^2n^{O(\log n)} + n^{O(k)}$。3)最后，只给黑盒访问的$k$ RO-ABP的总和计算的多项式，我们得到一个$n^{O(k + \log n)}$时间确定性算法。
Efficient Black-Box Identity Testing over Free Group Algebra
Hrubeiden和Wigderson [HW 14]在自由偏斜域上开始了对非交换算术电路的研究，并提出了有理恒等式测试的问题。现在我们知道，这个问题可以在白盒模型中的确定性多项式时间中解决，对于具有逆的非交换公式，在黑盒模型中可以在随机多项式时间中解决[GGOW 16，IQS 18，DM 18]，其中运行时间是公式大小的多项式。非交换有理函数的恒等式测试的复杂性通常是开放的（当公式大小不是多项式有界时）。我们解决了一个自然的特殊情况下的问题。我们考虑自由群代数$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$中的多项式表达式，其中$X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$是反演高度1的有理表达式的子类。我们的主要结果如下。1.给定度$d$表达式$f$在$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$中为黑盒，我们得到一个随机$\text{poly}(n,d)$算法来检验$f$是否为同零表达式.我们通过将Amitsur-Levitzki定理[AL 50]推广到$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$来获得这一点。这也产生了一个确定性的身份测试算法（甚至是表达式重构算法），它在输入表达式的稀疏性方面是多项式时间。2.给定度至多为$D$的$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}…
Deterministic Identity Testing for Sum of Read-Once Oblivious Arithmetic Branching Programs
只读不经意算术分支程序（ROABP）是一种算术分支程序（ABP），其中每个变量最多出现在一层中。我们给出了第一个多项式时间白盒身份测试的多项式计算的总和不断许多ROABP。我们还给出了相应的具有拟多项式时间复杂度的黑盒算法$n^{O(\log n)}$ .在这两种情况下，我们的时间复杂度是ROABP数量的双指数。ROABP是集合多线性深度$3$电路的推广。先前的结果总和不断多集多线性深度$3$电路只是略好于蛮力，即指数时间。我们的技术是一个新的相互作用的三个概念的ROABP：低评价维度，基础隔离权重分配和低支持等级浓度。我们的基础隔离等级浓度，并将其扩展到两个ROABPs使用评估维度（或偏导数）的总和。
Black-box Identity Testing for Low Degree Unmixed $ΣΠΣΠ(k)$ Circuits
如果对于每个$i\in[k]$，$F_i=f_{i1}(x_1)... f_{in}(x_n)$，其中每个$f_{ij}$是在稀疏表示中给出的单变量多项式，则$ΣΠΣΠ(k)$电路$C=\sum_{i=1}^kF_i=\sum_{i=1}^k\prod_{j=1}^{d_i}f_{ij}$是非混合的。本文给出了低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间黑盒身份测试算法。为了得到黑盒算法，我们首先证明了一类特殊的低程度的非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的大小$s$是$s^{O(k^2)}$ -稀疏。然后利用稀疏性结果构造了低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间命中集$\mathcal{H}$。构造的碰集是多项式大小的。因此，我们可以通过检查每个$a\in\mathcal{H}$的$C(a)=0$来测试电路或多项式$C$是否为零。这是第一个针对低次非混合$ΣΠΣΠ(k)$电路的多项式时间黑箱算法，也部分回答了Saxena \cite{SAX}的一个问题.
Cyclotomic Identity Testing and Applications
我们考虑分圆同一性检验（CIT）问题：给定一个多项式$f(x_1,\ldots,x_k)$，判定$f(ζ_n^{e_1},\ldots,ζ_n^{e_k})$是否为零，其中$ζ_n = e^{2πi/n}$是本原复数$n$的单位根，$e_1,\ldots,e_k$是整数，用二进制表示.当$f$由代数电路给出时，我们在广义黎曼假设（GRH）的假设下给出了CIT的随机多项式时间算法，并证明了该问题是无条件的coNP问题.当$f$由多项式有界次数的电路给出时，我们给出了一个随机NC算法。如果$f$是一个线性形式，我们表明，问题在于NC。为了理解CIT何时可以在确定性多项式时间中求解，我们考虑所谓的对角深度3电路，即，多项式$f=\sum_{i=1}^m g_i^{d_i}$，其中$g_i$是线性形式，$d_i$是以一元给出的正整数。我们观察到，在这个类上的CIT的多项式时间算法将产生多项式身份测试的次指数时间算法。然而，假设GRH，我们表明，如果线性形式~ $g_i$都是相同的，那么CIT可以在多项式时间内解决。最后，我们利用我们的结果给出了一个新的证明，即压缩字符串，使用上下文无关文法呈现的字符串可以在随机NC中决定。
A Chasm Between Identity and Equivalence Testing with Conditional Queries
最近的概率分布的属性测试模型（Chakraborty等人，ITCS 2013，Canonne等人，SICOMP 2015）通过允许测试算法对域的子集进行采样，从而极大地节省了测试算法的样本复杂性。特别是，Canonne，Ron和Servedio（SICOMP 2015）表明，在这种情况下，测试未知分布$D$的身份（是否$D=D^\ast$为明确已知的$D^\ast$）可以通过恒定数量的查询来完成，与支持大小$n$无关-与标准抽样模型中所需的$Ω(\sqrt{n})$相反。目前还不清楚是否存在同样的鲜明对比的情况下，测试等效性，其中两个分布是未知的。虽然Canonne等人为等价性检验建立了一个$\mathrm{poly}(\log n)$ -查询上限，最近Falahatgar等人将其降低到$\tilde O(\log\log n)$（COLT 2015），但是否需要依赖域大小$n$仍然是开放的，并且Fischer在Bertinoro次线性算法研讨会（2014）上明确提出。我们证明了任何等价性检验算法都必须在条件抽样模型中进行$Ω(\sqrt{\log\log n})$查询。这表明同一性和等效性检验之间存在差距，而标准抽样模型中不存在这种差距（其中两个问题都具有抽样复杂性$n^{Θ(1)}$）。我们还获得了查询复杂性的一致性测试和支持大小估计与条件样本的结果。我们回答了Chakrabo…
Symbolic determinant identity testing and non-commutative ranks of matrix Lie algebras
研究奇异矩阵空间的结构是解决符号行列式恒等式检验问题的一个途径。在解决了非交换秩问题（Garg-Gurvits-Oliveira-Wigderson，Found. Comput. Math. 2020; Ivanyos-Qiao-Subrahmanyam，Comput.复杂. 2018），自然的下一步是理解非交换秩满的奇异矩阵空间。目前，这种矩阵空间的例子大多是零星的，所以希望以更系统的方式发现它们。本文通过研究在换位子运算下闭的矩阵空间族，即矩阵李代数，向这个方向迈出了一步。一方面，我们证明了复数域上的矩阵李代数产生具有完全非交换秩的奇异矩阵空间。另一方面，我们证明了这类空间的SDIT可以在确定性多项式时间内确定。此外，我们给出了矩阵李代数产生具有奇异性证明的矩阵空间的一个特征，如Lov'asz（B.布拉兹数学会，1989）和拉兹和Wigderson（建设桥梁II，2019）。
Efficient Identity Testing and Polynomial Factorization over Non-associative Free Rings
本文研究非结合、非交换自由多项式环$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$上的算术计算.在此之前，Hrubes，Wigderson和Yehudayoff [HWY 10]考虑了非关联算术计算，他们给出了下界并证明了完备性结果。我们考虑多项式恒等式检验（PIT）和多项式分解在$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，并显示以下结果。(1)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，我们给出了判定$f$是否为同零多项式的确定性$poly(n,s,d)$算法.我们的结果是通过对Raz-Shpilka [RS 05]的PIT算法进行适当的调整来获得的。(2)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，当$poly(n,s,d)$.在特征$p$的有限域上，我们的算法在时间$poly(n,s,d,p)$上运行。
On Identity Testing and Noncommutative Rank Computation over the Free Skew Field
自由斜域上有理公式的恒等式检验问题有效地归结为计算矩阵的秩，矩阵的元素是关于非交换变量\cite{HW15}的线性多项式。该秩计算问题具有确定性多项式时间白盒算法\cite{GGOW16, IQS18}和黑盒设置中的随机多项式时间算法\cite{DM17}。在本文中，我们提出了一种新的方法，有效的去随机化的\emph{black-box} RIT。此外，我们还得到了自由斜域上矩阵秩的计算结果，并为一类新的有理表达式构造了有效的线性束表示。更准确地说，我们显示了以下结果：1。在严格假设$k\times k$矩阵代数的每个多项式恒等式的ABP（代数分支程序）复杂性为$2^{Ω(k)}$ \cite{BW05}的条件下，得到了几乎一般情况下RIT的一个次指数时间黑箱算法.这可以被看作是第一个有理公式的“硬度隐含去随机化”型定理。2.我们证明了在自由体上任何矩阵的非交换秩都可以在确定性多项式时间内计算，该矩阵的元素具有小的线性束表示。在此之前，一个有效的秩计算只知道与非交换公式作为条目\cite{GGOW20}的矩阵。作为我们算法的特殊情况，我们得到了第一个确定性的多项式时间算法的秩计算矩阵的条目是非交换ABPs或有理公式。3.受Bergman \cite{Ber76}定义的启发，我们定义了一个包含非交换ABPs和有理公式的新类.我们得到了这个类的多项式大小的线性铅笔表示。作为一个副产品，…
Identity Testing for Circuits with Exponentiation Gates
本文研究带指数门的算术电路恒等性测试问题，提出有限域黑盒查询模型及随机化测试算法，证明其完美完备性与非平凡可靠性，并已被 Mirage 编译器实现验证。
Randomized Polynomial Time Identity Testing for Noncommutative Circuits
本文证明了次数为$D$和稀疏度为$t$的非交换多项式$f\in\mathbb{F}\langle z_1,z_2,\cdots,z_n \rangle$的黑盒多项式恒等式检验可以在随机$\poly(n,\log t,\log D)$时间内完成.因此，如果黑盒包含大小为$s$计算$f\in\mathbb{F}\langle z_1,z_2,\cdots,z_n \rangle$的电路$C$，其至多具有$t$非零单项式，则可以通过具有$s$和$n$和$\log t$中的运行时间多项式的随机化算法来完成同一性测试。这在一个悬而未决了十多年的问题上取得了重大进展。Bogdanov和Wee [BW 05]的早期结果，使用经典的Amitsur-Levitski定理，给出了一个随机多项式时间算法，仅适用于多项式有界句法度的电路。在我们的结果中，我们对回路的次数没有限制。我们的算法是基于[AMS 08，AM 08]中介绍的自动机理论思想。在这些论文中，主要思想是构造确定性有限自动机，从$\mathbb{F}\langle z_1,z_2,\cdots,z_n \rangle$中的多项式$f$的非零单项式集合中隔离出单个单项式。在本文中，由于我们需要处理指数度单项，因此我们使用不确定自动机进行了一种不同类型的单项隔离。
Evaluating Matrix Circuits
研究了线性群的电路求值问题（又称压缩字问题）。这个问题的最佳上限是$\mathsf{coRP}$，这是由多项式身份测试的减少。相反，线性群$\mathsf{SL}_3(\mathbb{Z})$的压缩字问题等价于多项式恒等式测试。本文证明了每一个非负生成幂零群的压缩字问题都是在$\mathsf{DET} \subseteq \mathsf{NC}^2$中的.在更大的类多环组，我们发现的例子，压缩字的问题至少是很难的多项式身份测试偏斜算术电路。
Homomorphism Indistinguishability, Multiplicity Automata Equivalence, and Polynomial Identity Testing
本文研究了同态不可区分性与多重自动机等价性问题，证明了其复杂度为C_L完全，并展示了算法在特定图类上的最优性。
Identity Testing for Radical Expressions
本文研究根式恒等式测试问题（RIT）及其受限版本2-RIT，在假设广义黎曼假设下将问题分别置于coNP和coRP中，改进了原有的PSPACE上界。
Explicit Noether Normalization for Simultaneous Conjugation via Polynomial Identity Testing
Mulmuley最近给出了一个显式版本的Noether的正规化引理的环的不变量的矩阵在同时共轭，根据猜想，有确定性的黑盒算法多项式身份测试（PIT）。他认为，这证明了为PIT构建这样的算法超出了当前的技术。在这项工作中，我们表明情况并非如此。也就是说，我们改进了Mulmuley的约化，并相应地削弱了给出显式Noether归一化所需的关于PIT的猜想。然后，我们观察到，较弱的猜想，最近几乎解决了作者，谁给了类的只读一次遗忘代数分支程序（ROABPs）的拟多项式大小的命中集。这无条件地给出了所需的显式Noether归一化，直到拟多项式因子。作为我们的证明的结果，我们给出了一个确定性的并行多项式时间算法，用于确定两个矩阵元组是否有相交的轨道闭包，同时共轭。我们还研究了Mulmuley需要获得与我们类似的结果的能力。我们证明了他的结构更强，在这个意义上，他需要PIT算法的计算模型是等价于著名的代数分支程序（ABP）模型，这是可证明强于ROABP模型。最后，我们认为深度3对角电路模型定义的Saxena，作为PIT算法，这个模型也有影响Mulmuley的工作。以前的工作给出了这个模型的准多项式大小的命中集。在这项工作中，我们给出了一个更简单的结构，这样的命中集，使用技术的Shpilka和Alzheovich。
Black-Box Identity Testing of Noncommutative Rational Formulas in Deterministic Quasipolynomial Time
本文针对非交换有理公式的有理恒等测试（RIT）问题，首次为所有多项式大小的有理公式构建了准多项式大小的命中集，显著改进了黑盒复杂度，并首次为白盒环境下的RIT提供了确定性准NC上界。
On Identity Testing of Tensors, Low-rank Recovery and Compressed Sensing
我们研究的问题，获得有效的，确定性的，黑盒多项式身份测试算法的深度3集多线性电路（在任意字段）。这类电路有一个有效的，确定性的，白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但没有已知的黑盒算法。我们将这个问题重新定义为寻找一个低维子空间H，由秩为1的张量张成，使得对偶空间ker（H）中的任何非零张量都具有高秩。我们得到明确的结构，基本上最佳大小的击中2度张量（矩阵），并获得准多项式大小的击中任意张量（但这第二次击中集是不太明确）。我们还显示了连接到执行低秩恢复矩阵的任务，这是在压缩感知领域的研究。低秩恢复要求（比如说，在实数上）在保证M的秩<=r的情况下，从几个测量值中恢复矩阵M。我们还给出了低秩恢复和稀疏（向量）恢复任务之间的正式联系：任何稀疏恢复算法，精确恢复长度为n和稀疏度为2 r的向量，使用m个非自适应测量，产生一个低秩恢复方案，用于精确恢复秩<=r的nxn矩阵，进行2nm非自适应测量。此外，如果稀疏恢复算法在时间τ内运行，则低秩恢复算法在时间O（rn^2+nτ）内运行。我们使用线性代数技术获得这种减少，而不是使用凸优化，这是更常见的压缩感知算法。通过使用对偶Reed-Solomon码，我们能够（确定性地）构造在实数上进行4 nr次测量的低秩恢复方案，使得测量可以是所有秩1矩阵或所有稀疏矩阵。
Polynomial Identity Testing via Evaluation of Rational Functions
本文提出基于单变量有理函数求值的多项式恒等测试命中集生成器，通过刻画其消失理想获得紧界和确定性成员测试，并给出在去随机化与代数分支程序下界中的新应用。
Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs
研究了代数分支程序（ABPs）的确定性黑盒多项式身份测试算法（PIT）问题。这个类有一个确定性的白盒多项式身份测试算法（由于Raz和Shpilka），但在此之前，没有已知的黑盒算法。本文的主要结果给出了这类S型电路的第一个拟多项式型命中集，当变量的阶数已知时。由于我们的命中集的大小为exp（lg^2 S），这类似于（在布尔伪随机性的术语中）lg^2 S的种子长度，这是Nisan和Impagliazzo-Nisan-Wigderson的伪随机生成器的种子长度，用于只读不经意布尔分支程序。对于有界宽度的分支规划，我们的结果更强，这里我们给出了一个大小为exp（lg^2 S/lglg S）的命中集，对应于lg^2 S/lglg S的种子长度。这与已知的有界宽度的只读不经意布尔分支程序的结果形成鲜明对比，其中没有种子长度为o（lg^2 S）的伪随机生成器（或命中集）是已知的。在后续的工作中，我们加强了Mulmuley的结果，并表明，去随机化的Noether归一化引理的一个特定的情况下，可减少到黑盒PIT的只读一次遗忘的ABP。利用目前的工作结果，这给出了一个去随机化的诺特正规化在这种情况下，Mulmuley澄清将困难，由于其关系的问题，代数几何。我们还表明，其他几个电路类可以黑盒减少到只读一次不经意的ABP，包括集多线性ABP（深度3集多线性公式的推广），非交换ABP（推广非交换公式），（…
Algorithms based on *-algebras, and their applications to isomorphism of polynomials with one secret, group isomorphism, and polynomial identity testing
我们考虑两个基本的算法问题（斜）对称矩阵的元组。第一个问题要求决定，给定两个元组的（斜）对称矩阵$(B_1, \dots, B_m)$和$(C_1, \dots, C_m)$，是否存在可逆矩阵$A$，使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$A^tB_iA=C_i$。我们表明，这个问题可以解决在随机多项式时间在有限域的奇数大小，真正的领域，和复杂的领域。第二个问题要求判定，给定方阵$(B_1, \dots, B_m)$的元组，是否存在可逆矩阵$A$和$D$，使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$AB_iD$是（斜）对称的。我们表明，这个问题可以解决在确定性的多项式时间字段的特征不$2$。对于这两个问题，我们利用底层$*$ -代数的结构，并利用结果和方法从模块同构问题。我们的结果的应用范围从多元密码学，组同构，多项式身份测试。具体而言，这些结果意味着有效的算法，为以下问题。(1)奇数大小有限域上单秘密二次型的同构检验。这个问题属于一个家庭的问题，作为安全基础的某些认证计划提出的Patarin（Eurocrypto 1996）。(2)测试同构的$p$ -群类2和指数$p$（$p$奇）与阶$p^k$的时间多项式在组的顺序，当换位子组是阶$p^{O(\sqrt{k})}$。(3)确定性地揭示由斜对称结构引起的两个奇异性见证族，这代表多项式恒等式测试问题的…
Derandomizing the Isolation Lemma and Lower Bounds for Circuit Size
Mulmuley等人的隔离引理\cite{MVV87}是随机算法设计中的一个重要工具，在若干非平凡复杂度上界中发挥了重要作用。另一方面，多项式身份测试是一个研究得很好的算法问题，有效的随机算法和获得有效的\emph{deterministic}身份测试的问题，最近受到了很多关注。本文的目的是比较隔离引理与多项式恒等式测试：1。我们表明，去随机化合理限制版本的隔离引理意味着电路尺寸下限。我们推导出的电路下界通过检查之间的连接的隔离引理和多项式身份测试。基于隔离引理，给出了多项式次数非对易电路的随机多项式时间恒等式检验。使用这个结果，我们表明，去随机化的隔离引理意味着非交换电路大小的下限。我们考虑的隔离引理的限制版本是自然的，并且足以满足隔离引理的标准应用。2.从Klivans-Spielman \cite{KS01}的结果中我们观察到对于多项式次数的可交换电路存在随机多项式时间恒等式检验，并且也基于线性形式的更一般的隔离引理。因此，去随机化（一个合适的版本）这个隔离引理也意味着在交换设置的电路大小下限。
Sums of products of polynomials in few variables : lower bounds and polynomial identity testing
我们研究的复杂性表示多项式的产品在几个变量的多项式之和。更确切地说，我们研究的形式$$P = \sum_{i = 1}^T \prod_{j = 1}^d Q_{ij}$$，使每个$Q_{ij}$是一个任意的多项式，取决于最$s$变量的表示。我们证明了以下结果。1.在特征为零的域上，对于每个常数$μ$，使得$0 \leq μ< 1$，我们给出多项式$\{P_{N}\}$的显式族，其中$P_{N}$在$N = n^{O(1)}$变量中具有$n$度，使得上述类型的$P_{N}$与$s = N^μ$的任何表示都需要$Td \geq n^{Ω(\sqrt{n})}$。这加强了Kayal和Saha [KS 14 a]最近的结果，该结果显示了几个变量的线性形式乘积和模型的相似下界。已知下限指数的任何渐近改进（即使对于$s = \sqrt{n}$）将分离VP和VNP[KS 14 a]。2.当$T$和$P$中每个变量的个体度至多为$\log^{O(1)} N$和$s \leq N^μ$时，对由上述模型计算的电路，我们得到了一个确定性的次指数时间黑盒多项式恒等式测试（PIT）算法.当$s < \log^{O(1)} N$。PIT算法是通过将我们的下限与[DSY 09，KI 04]中开发的硬度-随机性权衡相结合来获得的。据我们所知，这是该模型的第一个非平凡PIT算法（即使对于$s=2$的情况），也是第…
Algebraic Hardness versus Randomness in Low Characteristic
我们表明，显式常数变量多项式的特征$p > 0$领域的下界是足以去随机化多项式身份测试的特征$p$领域。在这种情况下，现有的工作硬度随机性权衡多项式身份测试需要的特性是足够大的硬度或硬度的概念是强于标准的语法概念中使用的硬度代数复杂性。我们的结果不限制领域的特点，并使用标准的硬度概念。我们这样做是通过结合Kabanets-Impagliazzo生成器与白盒程序，以$p$ -th根的电路计算$p$ -th功率超过字段的特征$p$。当出现在电路中的变量的数量是有界的一些常数，这一过程被证明是有效的，这使我们能够绕过困难的因素分解电路的特点$p$。我们还将Kabanets-Impagliazzo生成器与最近的多项式身份测试中的“自举”结果相结合，以表明显式常数变量多项式的严格严格族产生了多项式身份测试的近乎完全的去随机化。这一结果适用于零和正特征的领域，并补充了郭，库马尔，萨普塔里什和所罗门最近的工作，他们在特征为零的领域中获得了稍微更强的陈述。
Deterministic Black-Box Identity Testing $π$-Ordered Algebraic Branching Programs
在本文中，我们研究了代数分支程序（ABP）的顺序和变量的读取次数的限制。给定$n$变量的置换$π$，对于$π$排序的ABP（$π$-OABP），对于从源到宿的任何有向路径$p$，变量可以在$p$上最多出现一次，并且变量在$p$上出现的顺序必须遵守$π$。如果任何变量在$A$中最多出现$r$次，则ABP $A$被称为读$r$。我们的主要结果涉及到身份测试问题。在任何字段$F$和黑盒模型中，即只给出对多项式的查询访问，我们有以下结果：读取$r$ $π$ -OABP可计算多项式可以在$\DTIME[2^{O(r\log r \cdot \log^2 n \log\log n)}]$中测试。我们的下一组结果研究了OABP的计算限制。它表明，任何OABP计算行列式或永久需要大小$Ω(2^n/n)$和读取$Ω(2^n/n^2)$。我们给出了一个多线性多项式$p$在$2n+1$变量在一些特定的选择领域$G$，使任何OABP计算$p$必须读取一些变量至少$2^n$倍。我们表明，在$n$变量的程度$r$的基本对称多项式可以计算的大小$O(rn)$读取$r$ OABP，但不是由读取$(r-1)$ OABP，任何$0 < 2r-1 \leq n$。最后，我们给出了一个多项式$p$和两个变量阶数$π\neq π'$的例子，使得$p$可以由一次读取的$π$-OABP计算，但是其中任何计算$p$的$π'$-O…
Polynomial Identity Testing and Reconstruction for Depth-4 Powering Circuits of High Degree
本文提出了一种确定性算法，用于深度-4高次幂电路的多项式恒等测试和重构，解决了无界顶层扇入的多项式时间问题。
Polynomial Identity Testing and the Ideal Proof System: PIT is in NP if and only if IPS can be p-simulated by a Cook-Reckhow proof system
本文证明 IPS 即便用于布尔不可满足性，其可被 Cook-Reckhow 证明系统 p-模拟也当且仅当 PIT 属于 NP，并据此提出将 PIT 去随机化到 NP 的新思路。
Shallow Circuits with High-Powered Inputs
多项式同一性测试算法必须确定输入多项式（例如由算术电路给出）是否完全等于0。在本文中，我们表明，一个确定性的黑盒身份测试算法（高次）一元多项式将意味着一个下界的算术复杂性的永久。已知从（低度）多变量同一性检验的去随机化得出的下界较弱。为了得到我们的下界，对一个非常特定的范数的多项式的身份测试进行去随机化就足够了：稀疏系数的稀疏多项式的乘积之和。这一观察导致新版本的舒布-Smale τ-猜想的整数根的一元多项式。特别是，我们表明，下界的永久将遵循，如果一个人可以给一个足够好的约束的数量上的实根的总和的产品稀疏多项式（笛卡尔规则的迹象给出这样的约束稀疏多项式及其产品）。在这第三个版本中，我们的文件，我们表明，同样的下限将遵循即使只能证明一个稍微超多项式上界的数量的真正的根。这是一个后果的一个新的结果减少到深度4算术电路，我们建立在一个配套文件。我们还表明，一个更弱的实际根的数量上的界限将足以获得一个下界的深度4电路计算永久的大小。
Identity Testing for Constant-Width, and Any-Order, Read-Once Oblivious Arithmetic Branching Programs
本文对只读不经意算术分支程序（ROABP）的两种特殊情况给出了改进的碰集。第一种是已知变量阶数的ROABP的情况。对于这种情况，先前已知的最佳命中集的大小为$(nw)^{O(\log n)}$，其中$n$是变量的数量，$w$是ROABP的宽度。即使对于一个恒定宽度的ROABP，没有什么比一个准多项式的界限是已知的。对于已知阶数的情形，我们将击中集大小改进为$n^{O(\log w)}$。特别地，这给出了恒定宽度ROABP（已知阶）的第一个多项式大小的命中集。然而，我们的碰集只在场的特征为零或足够大时才起作用。为了构造碰集，我们使用偏导矩阵的秩的概念。不同于以往的方法，建立从映射变量单项式，我们映射变量多项式直接。第二种情况下，我们考虑的是，多项式可计算的宽度- $w$ ROABPs在任何顺序的变量。对于这种情况，以前已知的最佳命中集的大小为$d^{O(\log w)}(nw)^{O(\log \log w)}$，其中$d$是个体度。我们改进了击中集大小为$(ndw)^{O(\log \log w)}$。
Circuit complexity, proof complexity, and polynomial identity testing
我们引入了一个新的代数证明系统，它与（代数）电路复杂性有着紧密的联系。特别是，我们证明了在我们的证明系统中，任何布尔重言式上的超多项式下界意味着永久不具有多项式大小的代数电路（VNP不等于VP）。作为一个推论的证明，我们还表明，超多项式下界上的多项式微积分证明（而不是通常的措施单项式的数量）的线的数量意味着永久与行列式猜想。请注意，在我们的工作之前，没有证明系统，其中任意重言式的下界意味着任何计算下界。我们的证明系统有助于澄清以前的代数证明系统之间的关系，并开始阐明为什么证明复杂性下限的各种证明系统已经这么难比相应的电路类的下限。在此过程中，我们强调了多项式身份测试（PIT）对于理解证明复杂性的重要性。更具体地说，我们引入某些命题公理满足任何布尔电路计算PIT。我们使用这些PIT公理来阐明AC^0[p]-弗雷格下界，它已经开放了近30年，对于它们明显的困难没有令人满意的解释。我们表明，或者：a）证明AC^0[p]-Frege上的超多项式下界意味着VNP不具有深度为d的多项式大小的电路-一个众所周知的公开问题，d至少为4 -从而解释了AC^0[p]-Frege上的下界的困难，或者b）AC^0[p]-Frege不能有效地证明深度为d的PIT公理，因此我们有AC^0[p]-Frege上的下界。使用我们的证明系统的代数结构，我们提出了一种新的方法来扩展技术从代数电路复杂性证明证明复杂性的下…
Testing Equivalence of Polynomials under Shifts
如果存在向量$(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{F}^n$使得多项式恒等式$f(x_1+a_1, \ldots, x_n+a_n) \equiv g(x_1,\ldots,x_n)$成立，则两个多项式$f, g \in \mathbb{F}[x_1, \ldots, x_n]$被称为移位等价的。我们的主要结果是一个新的随机算法，测试是否两个给定的多项式移位等价。我们的算法运行在多项式的电路大小的时间多项式，它是黑盒访问。这补充了格里戈里耶夫（理论计算机科学，1997年）以前的工作，谁给了一个确定性的算法运行在时间$n^{O(d)}$度$d$多项式。我们的算法只使用随机性来解决多项式身份测试（PIT）问题的实例。因此，如果我们可以去随机化PIT（一个长期存在的复杂性开放问题），那么我们的算法就会随之去随机化。这建立了去随机化偏移等效性检验和去随机化PIT之间的等效性（在黑盒和白盒设置中）。对于某些受限模型，如只读分支程序，我们已经获得了一个确定性算法使用现有的PIT结果。
Algorithms for Testing Monomials in Multivariate Polynomials
本文是我们的第二步发展的多元多项式测试单项式的理论。中心问题是问一个算术电路所表示的多项式在其和积展开式中是否有某些类型的单项式。Chen和Fu（2010）在我们的第一篇论文中研究了这个问题及其变体的复杂性，为进一步研究奠定了基础。在本文中，我们提出了两对算法。首先，证明了在由算术电路表示的$n$ -变量多项式的$k$中，存在一个检验$p$ -单项式的随机$O^*(p^k)$时间算法，而当电路是公式时，设计了一个确定性的$O^*(6.4^k + p^k)$时间算法，这里$p$是一个给定的素数.其次，我们提出了一个确定的$O^*(2^k)$时间算法来测试多线性单项式的$Π_mΣ_2Π_t\times Π_kΠ_3$多项式，而随机$O^*(1.5^k)$算法给出了这些多项式。第一个算法扩展了Koutis（2008）和Williams（2009）最近关于测试多线性单项式的工作。在算法设计中利用了群代数，结合Agrawal和Biswas（2003）的有限域上的随机多项式身份测试，Raz和Shpilka（2005）的确定性非通信多项式身份测试以及Chen { \em at el.}的完美散列函数。（2007年）。最后，我们证明了一些特殊类型的多线性单项式的测试是W[1]-困难的，给出了证据，测试特定的单项式是不固定参数的听话。
Deterministic identity testing paradigms for bounded top-fanin depth-4 circuits
本文研究有界顶扇入深度4电路的确定性PIT，利用对数导数与幂级数改造顶层门，首次给出Σ^{[k]}ΠΣ∧的多项式时间算法及两类电路的拟多项式黑盒算法。
Quantum Channel Testing in Average-Case Distance
该研究针对最坏情况钻石范数下量子信道恒等性测试复杂度高的问题，提出平均情况模仿钻石（ACID）范数，推导了不同模型下的查询复杂度界及信道层析成像的紧界。
Rational Identity Testing for Noncommutative Circuits is in Polynomial Space
本文证明有理恒等式检验问题（RIT）对于有理电路属于PSPACE，通过简洁线性铅笔表示和NC秩计算，并推论非交换PIT也属于PSPACE。
Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials
受矩阵的Hadamard积的启发，本文定义了多元多项式的Hadamard积，并研究了它的运算电路和分支程序的复杂性。我们还提供了多项式身份测试的应用程序和连接。我们的主要结果如下。1.我们表明，非交换多项式身份测试代数分支程序的有理数是完整的对数空间计数类$\ceql$，并在领域的特征$p$的问题是在$\ModpL/\Poly$。2.给出了Raz-Yehudayoff多项式表示为两个单调多线性多项式的Hadamard积的指数下界。相比之下，恒量可以表示为两个二次型单调多线性公式的Hadamard乘积。
A hitting set construction, with application to arithmetic circuit lower bounds
多项式同一性测试算法必须确定给定的输入多项式是否完全等于0。给出了一元多项式$\sum_{j=0}^t c_j X^{α_j} (a + b X)^{β_j}$的确定性黑盒恒等式检验算法。从我们的算法中，我们推导出一个指数下界表示的多项式，如$\prod_{i=1}^{2^n} (X^i-1)$在这种形式下。已经证明，这些多项式很难用一般的算术电路来计算。我们的结果表明，“从去随机化的硬度”的方法是可行的，为一类受限制的算术电路的下界。证明是基于代数数论的技术，更确切地说，是基于代数数的高度函数的性质。
Algebraic Proof Complexity: Progress, Frontiers and Challenges
我们调查最近的进展证明复杂性强证明系统及其连接代数电路复杂性，显示两者之间的协同作用如何产生新的方法来解决基本的开放问题，解决老问题，和新的研究方向。特别是，我们专注于证明复杂性下界（即某些重言式的证明大小的下界），代数电路下界和多项式身份测试问题从去随机化理论之间的紧密联系。
Cryptographic Conditions for Efficient Testing of Distributions and Quantum States
本文研究了在现实设定下分布测试的效率问题，证明多项式样本足以验证分布，并探讨了经典和量子可采样的分布计算复杂性，同时展示了Kolmogorov复杂性的应用。
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