Extended formulations for the multilinear polytope of acyclic hypergraphs
本文研究二元多项式优化中的多线性多面体，利用超图表示揭示无环性与面结构复杂度的关系，并刻画了可在多项式时间内构造多项式规模扩展表述的无环超图。
2025-01-08 cs.DM math.OC
Convex optimization on moment polytopes: Hadamard mirror descent and efficient algorithms for quantum functionals and other tensor parameters
LMU Munich（慕尼黑大学）
本文提出Hadamard镜像下降框架，在矩多胞形上高效优化凸函数，首次实现量子泛函等张量参数的一阶高效计算。
2026-09-09 cs.CC math-ph math.MP
Determining inscribability of polytopes via rank minimization based on slack matrices
University of Coimbra（科英布拉大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文通过松弛矩阵的秩最小化问题，提供多面体可内接性的充要条件，并提出SDP近似方法，用于判断多面体的可内接性。
2025-02-03 math.CO math.OC
Posets arising as 1-skeleta of simple polytopes, the nonrevisiting path conjecture, and poset topology
本文研究由简单多面体1-骨架经通用线性泛函定向所得格结构，证明共同覆盖元素的并等于最小面的汇，提出无向路径不重访面的猜想及其对单纯形法高效性的意义，并证明开区间序复形同伦等价于球或球面，应用于弱Bruhat序、Tamari格和Cambrian格。
2023-08-08 math.AT math.CO math.OC
The complete edge relaxation for binary polynomial optimization
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Lehigh University（理海大学）
提出完全边松弛，它强于标准线性化、花松弛和递归McCormick松弛的交集，并证明当且仅当超图是α-无环时，该松弛是多线性多面体的扩展。
2026-06-11 cs.DM math.OC
Generalized gradient flows in Hadamard manifolds and convex optimization on entanglement polytopes
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究院）
本文研究了在Hadamard流形上的广义梯度流问题，并将其应用于纠缠多面体上的凸优化。
2026-01-22 math.DG math.OC
Polytopal balls arising in optimization
我们研究了一类多面体和它们的顶点，它们在各种最优化问题中作为单位球出现在一定的范数下。这两个族在超立方体（$\infty$ -范数的单位球）和其对偶交叉多面体（$1$ -范数的单位球）之间插值。我们给出了这两类多面体的组合和几何性质，如它们的$f$ -向量，它们的体积和它们边界的体积。
2021-03-04 math.CO math.MG math.OC
Santaló Geometry of Convex Polytopes
本文研究凸多面体Santaló点的几何结构，刻画其随面超平面平移形成的半代数集，并结合代数、数值方法及其在统计、优化和物理中的联系进行计算与分析。
2024-11-24 math.AG math.OC
On Finding the Closest Zonotope to a Polytope in Hausdorff Distance
本文提出局部理论及次梯度下降算法，用于优化多胞体与zonotope间的Hausdorff距离，并给出局部最小值的多面体可行性条件。
2024-07-18 cs.CG math.OC
A globally convergent method to accelerate topology optimization using on-the-fly model reduction
本文提出了一种基于投影的降阶模型和信赖域方法的全局收敛方法来加速基于密度的拓扑优化。为了加快拓扑优化，我们取代了大规模的有限元模拟，这占主导地位的计算成本，与ROM，降低成本的目标函数和梯度评估的数量级。为了保证收敛性，我们首先介绍了一个信赖域方法，采用广义信赖域约束，并证明它是全局收敛的。然后，我们设计了一类全局收敛的ROM加速拓扑最优化方法通知两个理论：上述信赖域理论，确定ROM的精度条件，保证该方法收敛到一个临界点的原始拓扑最优化问题;后验误差估计理论的投影为基础的ROM，通知ROM的建设过程，以满足精度条件。这导致信赖域方法，构建和更新ROM的飞行过程中优化，该方法保证收敛到一个临界点的原始，未简化的拓扑最优化问题，无论起点。对三个不同结构拓扑最优化问题的数值实验表明，所提出的约简拓扑最优化方法使收敛速度提高了数量级.
2020-12-10 cs.NA math.NA math.OC
Newton Polytopes and Relative Entropy Optimization
函数非负性的证明是计算数学中一个普遍存在的问题，在最优化问题中有着重要的应用。我们研究的问题，证明非负的signomials的基础上最近提出的方法的总和AM/GM-指数（SAGE）分解由于第二作者和沙阿。SAGE分解的存在性是符号项非负的一个充分条件，它可以通过求解一个易处理的凸相对熵程序来验证。我们提出了新的结构性质的SAGE证书，如与这些分解以及一个有吸引力的形式的稀疏性保存锥的极端射线的表征。这些导致了一些重要的后果，如条件下，符号非负性是等价的SAGE分解的存在，我们的结果代表了最广泛的已知类的非凸符号最优化问题，可以有效地解决通过凸松弛。本文中的分析通过利用SAGE证书的凸对偶和牛顿多面体的面结构之间的相互作用来进行。虽然我们的主要重点是signomials，我们还讨论了我们的结果如何提供有效的方法来证明多项式的非负性，与独立的多项式的程度的复杂性。
2020-05-14 math.OC
Optimality conditions and complete description of polytopes in combinatorial optimization
一种组合优化问题（COP）具有有限基集$E(\left|E\right|=N$、权重向量$c=\left(c^e:e\in E\right)$和可行子集族$T\in E$，其目标是找到具有最大权重的$t\in T$：${max}\{\sum_{e\in t}c^e$：$t\in T\}$。多面体组合数学将组合优化问题转化为线性规划问题：将$T$映射到0/1关联向量的集合$X\in R^N$中，并在$X$的凸包上最大化$c\in R^N$：${max}\{cx: x\in conv(X)\}$ .在理论上，诱导线性规划的互补松弛条件为COP提供了最优性条件。然而，在一般情况下，组合优化的最优性条件还没有被解析地表述，因为对于许多问题，诱导多面体的完整描述只能作为极值点的凸包而不是线性不等式组。在这里，我们制定了一般情况下的COP的最优性条件：$x_k\in X\ \ $是最优的当且仅当$c\in cone\left(H_k\right)\ $其中$H_k$ $=\{h\in V:\ {hx}_k\ \ge hx$对于所有$x\in X\}$和$V$是所有-1/0/1值的向量在$R^N$。这为从理论上得到由任意COP诱导的组合多面体的完整描述提供了基础：$conv(X)$的所有诱导不等式的刻面都可以写成$hx\le l$，其中$h\in V$和$l$是整数。当且仅当对于至少一个$x_k…
2018-09-12 math.OC
Regional predictive control with suboptimally extended regions of validity
模型预测控制（MPC）是建立在不断求解最优化问题的基础上的。优化的解通常被解释为当前状态的最优输入。然而，优化的解决方案并不只是提供一个最佳的输入，但整个最佳仿射反馈法律和多面体上，这个法律是最佳的。我们最近提出，只要系统保持在其多面体中，就可以使用这种反馈律。这可以被解释为基于事件的方法，其中离开当前多面体是触发下一次优化的事件。这种方法是特别适合于网络控制设置，因为反馈法和他们的多面体可以评估与精益本地节点的计算工作量低。在这篇文章中的反馈法的有效性区域进行了扩展。更准确地说，最佳多面体扩展到非线性有界的有效性区域的可行性和稳定区域的交集。因此，与最优方法相比，需要求解的二次规划更少。新的有效区域仍然适用于精益局部节点的评估。此外，可以针对期望的闭环性能来调整区域。
2020-09-18 math.OC
Safety-Critical Control and Planning for Obstacle Avoidance between Polytopes with Control Barrier Functions
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
多面体间的避障问题是最优控制和基于优化的轨迹规划问题中的一个具有挑战性的课题。现有的工作要么解决这个问题，通过混合整数优化，依赖于简化的系统动力学，或通过模型预测控制与双变量使用距离约束，需要长的视野避障。在任何一种情况下，解决方案只能作为离线规划算法应用。在本文中，我们利用的属性，一个较小的地平线是足够的避障，通过使用离散时间控制障碍函数（DCBF）的约束，我们提出了一种新的优化配方与双变量的基础上DCBF生成一个无碰撞的动态可行的轨迹。所提出的优化公式具有较低的计算复杂性相比，现有的工作，可以作为一个快速的在线算法的控制和规划一般的非线性动力系统。我们验证了我们的算法不同的机器人形状，使用数值模拟与运动自行车模型，从而成功地通过迷宫环境中的多面体障碍物导航。
2022-05-31 cs.RO cs.SY eess.SY
Reusing Combinatorial Structure: Faster Iterative Projections over Submodular Base Polytopes
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
诸如投影牛顿法、FISTA、镜像下降及其变体之类的优化算法享有接近最优的遗憾界限和收敛速率，但在潜在的每次迭代中遭受计算"投影“的计算瓶颈（例如，$O(T^{1/2})$遗憾的在线镜像下降）。另一方面，条件梯度变体在每次迭代中解决线性优化，但导致次优速率（例如，$O(T^{3/4})$遗憾的在线弗兰克-沃尔夫）。出于这种权衡运行时v/s收敛速度，我们考虑迭代投影的附近点广泛流行的子模块基础多面体$B(f)$。我们首先给出了两个近点投影到多面体的同一个面上的充要条件，然后证明了远离多面体的点以很高的概率投影到多面体的顶点上。接下来，我们使用这个理论，并开发了一个工具包，以加快子模多面体使用离散和连续的角度迭代投影的计算。随后，我们适应了离开步骤弗兰克-沃尔夫算法使用这些信息，并使提前终止。对于基数为基础的子模多面体的特殊情况下，我们提高了运行时间的计算某些Bregman投影的一个因素的$Ω(n/\log(n))$。我们的理论结果表明，在初步的计算实验的数量级减少运行时间。
2023-03-10 cs.LG math.OC
Simplex Frank-Wolfe: Linear Convergence and Its Numerical Efficiency for Convex Optimization over Polytopes
Tsinghua University（清华大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文提出 SLMO 及 Simplex Frank-Wolfe、rSFW 两种变体，在多面体强凸优化中实现线性收敛，并以近乎标准 LMO 的低迭代开销获得优异数值性能。
2025-09-29 math.OC
A Cyclic Coordinate Descent Method for Convex Optimization on Polytopes
本文提出可处理极点不多的多面体约束的循环坐标下降算法 PolyCD 及其带 away steps 的变体 PolyCDwA，分别证明 O(1/k) 与线性收敛速率，并验证其大规模性能。
2023-04-27 math.OC
Elementary polytopes with high lift-and-project ranks for strong positive semidefinite operators
我们考虑作用在单位超立方体的凸子集上的算子。这些算子用于构造组合最优化问题的凸松弛，这些问题被表示为0，1整数规划问题或0，1多项式最优化问题。我们的重点主要是运营商，表示为提升和项目运营商，涉及使用半定约束的提升空间，包括运营商由于拉萨尔和变体的Sherali-亚当斯和Bienstock-扎克伯格运营商。我们研究了这些基于半定优化的提升和投影算子在一些基本多面体上的性能-超立方体，这些超立方体被切掉（超立方体的至少一个顶点通过与封闭半空间相交而被移除）或裁剪（超立方体的所有$2^n$顶点通过与$2^n$封闭半空间相交而被移除）到不同程度的严重性$ρ$。我们证明了$ρ$上的界限，这些运营商将执行上述例子不好。我们还表明，完整性缺口的切片超立方体是不变的几个升降机和项目运营商的不同强度的应用程序。
2016-08-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Sampling-Based Methods for Multi-Block Optimization Problems over Transport Polytopes
本文针对传输多胞体上的多块优化问题，开发了基于采样的块坐标下降型方法，利用稀疏矩阵显著降低计算复杂度，并在强关联电子系统实验中验证了其卓越可扩展性。
2024-03-21 math.OC physics.chem-ph physics.comp-ph
A Linearly Convergent Conditional Gradient Algorithm with Applications to Online and Stochastic Optimization
Technion - Israel Inst. of Tech.（以色列理工学院）
线性优化在算法上比非线性凸优化简单许多倍。线性优化拟阵多面体，匹配多面体和路径多面体的问题，我们有简单而有效的组合算法的例子，但其非线性凸对应更难，并承认显着效率较低的算法。这就激发了凸优化的计算模型，包括离线，在线和随机设置，使用线性优化预言机。在这个计算模型中，我们给出了几个新的结果，改善了以前的国家的最先进的。我们的主要结果是一个新的条件梯度算法光滑和强凸优化多面体集，执行只有一个单一的线性优化步骤，在每个迭代的域上，并享有线性收敛速度。这给出了一个指数级的改善收敛速度比以前的结果。基于这个新的条件梯度算法，我们给出了第一个算法的在线凸优化多面体集，只执行一个单一的线性优化步骤的域，同时有最佳的遗憾保证，回答一个悬而未决的问题Kalai和Vempala，Hazan和羽衣甘蓝。我们的在线算法也意味着条件梯度算法的非光滑和随机凸优化与投影（子）梯度方法相同的收敛速度。
2015-08-14 cs.LG math.OC stat.ML
Towards a theory of non-commutative optimization: geodesic first and second order methods for moment maps and polytopes
本文提出了一个系统的非交换优化理论的发展。它的目的是统一和推广越来越多的工作，从过去几年中开发和分析算法的自然测地线凸优化问题的黎曼流形，从非交换群的对称性。这些算法最小化的矩映射（一个非交换的概念，通常的梯度）和测试成员在空锥和矩多面体（一个巨大的一类多面体，通常是指数顶点和小平面的复杂性，这是从这个先验的非凸，非线性设置）。此设置捕获了计算机科学、数学和物理学不同领域的各种问题。其中几个是首次有效地解决了使用非交换的方法;相应的算法也导致纯粹的结构问题的解决方案和许多不同领域之间的新的连接。在标准的凸优化的精神，我们开发了两个一般的方法在测地线设置，一阶和二阶方法，分别接收第一和第二阶信息的“导数”的功能进行优化。这些特别包含了所有过去的结果。主要的技术工作是确定基本的群作用的关键参数，这些参数在这些方法中的每一种中控制收敛到最优。这些“光滑性”的非交换类似物要复杂得多，需要大量的代数和分析机器。尽管有这种复杂性，但这些参数控制两种方法收敛的方式都非常简单和优雅。我们将展示如何绑定这些参数，从而获得有效的算法零锥成员在几个具体的情况下。我们的工作指出了有趣的开放问题，并提出了进一步的研究方向。
2021-07-26 cs.DS math-ph math.AG
Separable convex optimization over indegree polytopes
本文研究无向图在入度目标下的无环定向优化，证明多种公平性目标（如凸函数和、递减最小化等）的NP难度，同时给出加权最小最后排序等多项式算法及近似算法，刻画了算法边界并应用于调度与无死锁路由。
2026-10-14 cs.DM cs.DS math.CO
The convex hull of a quadratic constraint over a polytope
二次约束二次规划（QCQP）是一个最优化问题，其中目标函数是一个二次函数，可行域由二次约束定义。求解非凸QCQP的全局最优解是一个众所周知的NP-困难问题，传统的方法是使用凸松弛和分支定界算法。本文在这方面作出了贡献，证明了一般二次方程与任意有界多面体相交的精确凸包是二阶锥可表示的。我们提出了一个简单的建设性证明这个结果。
2018-12-25 math.OC
Any Proof of Polynomial Hirsch Must be Completely Incoherent
Bowdoin College（博多因学院）；Colby College（科尔比学院）
研究多项式赫希猜想类似问题，即多面体上由线性函数诱导定向时是否总有多项式长度连贯单调路径。通过展示特定多面体和线性函数，证明并非如此，且加强了相关领域长期结果。
2026-07-14 cs.DS math.CO math.OC
Integer Polynomial Optimization in Fixed Dimension
我们根据其计算复杂性，分类整数最优化问题的约束条件和目标函数是整系数多项式和变量的数量是固定的。对于在凸多胞体的格点上的整数多项式的优化问题，我们给出了一个计算最优值的上界的算法。对于多面体上的非负多项式，这些边界序列导致最优化问题的完全多项式时间近似方案。
2005-05-31 math.CO math.OC
On the Global Linear Convergence of Frank-Wolfe Optimization Variants
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
Frank-Wolfe（FW）优化算法最近重新流行起来，特别是由于它能够很好地处理机器学习应用程序中出现的结构化约束。然而，当解位于边界时，其收敛速度已知是慢的（次线性）。一个简单的不太为人所知的修复方法是在优化过程中添加删除“步骤”的可能性，重要的是，该操作不需要可行性预言。在本文中，我们强调和澄清几个变种的Frank-Wolfe优化算法，已成功地应用于实践中：远离步骤FW，成对FW，完全校正FW和Wolfe的最小范数点算法，并证明了第一次，他们都享有全球线性收敛，在一个较弱的条件下比强凸的目标。收敛速度中的常数有一个优雅的解释，即函数的（经典）条件数与一个新的几何量的乘积，该几何量扮演约束集的“条件数”的角色。我们提供了指针，这些算法在实践中有所作为，特别是与流多面体，边际多面体和基本多面体的子模块优化。
2015-11-18 cs.LG math.OC stat.ML
Extremal Probability Bounds in Combinatorial Optimization
在本文中，我们计算的概率，最佳值的组合最优化问题的最大化形式与随机目标超过一个给定的数字，假设只有知识的边缘分布的目标系数向量的最优值的最严格可能的界限。边界是"极端的“，因为它们在具有给定边缘的所有联合分布上都有效。我们分析了计算的复杂性，假设离散的边际和确定的情况下，在多项式时间内计算的界限。对于紧致0/1 V-多面体，我们通过一个伪多项式时间算法证明了最紧上界是弱NP-难计算的。另一方面，通过限制对Bernoulli随机变量的关注，证明了紧致0/1 V-多面体的最紧下界是强NP-难计算的。对于紧致0/1 H-多面体，对于项目管理中PERT网络的特殊情况，我们通过给出一个伪多项式时间算法，证明了最紧上界是弱NP-难计算的.本文的结果补充了文献中关于独立随机变量的概率计算的已有结果。
2021-09-03 math.OC math.PR
Limits to the scope of applicability of extended formulations for LP models of combinatorial optimization problems: A summary
我们表明，新的定义的概念“投影”的一些最近的“扩展配方”的作品（如Kaibel（2011）; Fiorini et al.（2011; 2012）; Kaibel和Walter（2013）; Kaibel和Weltge（2013）例如）已经基于可以导致这些作品过度-当多面体的描述变量集不相交时，他们得出的结论将多面体相互关联起来。
2014-06-28 cs.CC cs.DM math.OC
A Θ(m^9) ternary minimum-cost network flow LP model of the Assignment Problem polytope with applications to hard combinatorial optimization problems
University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文提出一种大规模三元网络流LP模型，用于将NP难问题转化为多项式规模的线性规划问题，通过简单变换成本函数，实现精确求解，适用于物流等实际应用。
2026-04-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Topology Optimization with Frictional Self-Contact
接触感知拓扑优化面临着鲁棒性、准确性和对自接触下内部结构表面的适用性的挑战。这项工作建立在最近提出的基于障碍的增量潜在接触（IPC）模型，并提出了一个新的自接触感知拓扑优化框架。结合SIMP，伴随灵敏度分析，和IPC摩擦接触模型进行了研究。数值例子优化下接触的变化目标函数。所提出的算法准确且鲁棒地解决了大变形和复杂摩擦接触场景的拓扑优化问题。
2022-08-24 math.OC
Novel flow field design for vanadium redox flow batteries via topology optimization
提出了一种用于全钒液流电池流场设计的三维拓扑最优化方法。拓扑优化作为一种基于数值优化的强有力的设计工具，已经引起了人们的关注。拓扑优化的一个吸引人的特点是，拓扑优化配置可以自动生成，而无需预先设定一个有前途的设计候选人。在本文中，我们制定的拓扑最优化问题的最大化问题的电极表面浓度在负电极在充电过程中。这个最优化问题的目的是获得一个拓扑优化的流场，使在VRFB的传质效果的改善。我们证明了一个新的流场配置可以通过数值研究。为了阐明拓扑优化流场的性能，我们通过与参考流场-平行和交叉流场-以及拓扑优化流场的比较来研究传质效果。此外，我们还讨论了在各种工作条件下，考虑到偏振损耗和泵浦功率的功率损耗。
2018-07-20 math.OC
A Novel Deflation Approach for Topology Optimization and Application for Optimization of Bipolar Plates of Electrolysis Cells
Fraunhofer ITWM（弗劳恩霍夫工业数学研究所）；RPTU Kaiserslautern-Landau（莱茵兰-普法尔茨技术大学凯泽斯劳滕-兰道校区）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文提出一种基于对已找到局部解进行惩罚的新型收缩方法，以系统寻找拓扑优化问题的多个局部极小值点，并在双管五孔算例及氢电解池双极板优化模型中验证了其发现新设计的能力。
2025-11-05 math.OC
Topology optimization for incremental elastoplasticity: a phase-field approach
讨论了弹塑性介质的拓扑最优化问题。在考虑顺应性的情况下，相对于给定的目标泛函来优化材料在区域中的分布。增量弹塑性问题作为状态约束。证明了拓扑最优化问题有解。一阶最优性条件通过考虑正则化问题并传递到极限得到。
2020-10-30 math.AP math.OC
The Polyhedral Geometry of Pivot Rules and Monotone Paths
受单纯形法性能分析的启发，我们研究了线性规划主元规则族的行为。我们引入规范化权重枢轴规则，这是基本的原因如下：首先，它们是无记忆的，在这个意义上，枢轴是由本地信息编码的树形图。其次，许多最常用的透视规则属于该类，我们表明这个子类对于理解所有透视规则的复杂性至关重要。最后，归一化权重枢轴规则可以以自然连续的方式参数化。我们证明了两个多面体的存在，枢纽规则多面体和cubotopes，捕获的行为规范化的重量枢纽规则多面体和线性规划。我们解释他们的脸结构的多树状。我们计算相干树形图的数量的上界，也就是我们的多面体的顶点。除了优化，我们的结构提供了新的视角，经典的几何组合。我们引入了一个归一化权重主元规则，我们称之为最大斜率主元规则，它推广了阴影顶点主元规则。相应的主元规则多面体和主元规则多面体改进了Billera-Sturmfels的单调路径多面体。此外，我们的多面体的特殊情况下产生置换面体，associahedra，和multiplihedra。为了最大程度地改进主元规则，我们绘制了扫描多面体和多拟阵的连接。
2022-01-13 math.CO math.OC
Topology optimization for transient response of structures subjected to dynamic loads
本文提出了一个拓扑优化框架结构承受瞬态载荷的问题。力学模型假设线性弹性各向同性材料、无穷小应变和动态响应。优化问题的解决使用基于梯度的优化方法的移动渐近线（MMA）与时间相关的灵敏度通过伴随方法提供。材料的刚度插值使用固体各向同性材料与惩罚（SIMP）方法和Heaviside投影法（HPM）被用来稳定的问题的数值和提高拓扑优化设计的可制造性。静态和动态优化的例子被认为是在这里。结果表明，优化设计的拓扑结构的瞬态响应调整的能力。
2017-05-03 math.OC physics.class-ph
