Polynomial formulations as a barrier for reduction-based hardness proofs
强指数时间假设（SETH）断言对于每个$\varepsilon>0$存在$k$，使得$k$ -SAT需要时间$(2-\varepsilon)^n$。细粒度复杂性领域已经利用SETH来证明各种领域和复杂性类别中的数十个问题的相当严格的条件下界，包括编辑距离，图直径，命中集，独立集和正交向量。然而，它已被反复询问，在文献中是否可以证明其他基本问题，如哈密尔顿路径，独立集，色数，MAX- $k$ -SAT，集覆盖的赛斯硬度的结果。在本文中，我们表明，细粒度的减少意味着甚至$λ^n$ -硬度的这些问题从SETH为任何$λ>1$，将意味着新的电路下界：超线性下界布尔串并联电路或多项式下界算术电路（其中每一个是一个四十年的开放问题）。我们也将此结果推广到参数化问题。也就是说，对于每个$λ>1$，我们有条件地排除细粒度的减少，这意味着基于SETH的下限$λ^k$的解决方案的大小$k$参数化的问题。我们的主要技术工具是一个新概念，称为多项式公式。特别是，我们表明，许多问题可以表示为相对简洁的低次多项式，这样的表示不能证明任何问题的SETH硬（不证明新的电路下界）。
2022-11-29 cs.CC cs.DS
New Unconditional Hardness Results for Dynamic and Online Problems
有一个复苏的兴趣在下界的真理依赖于已知的计算问题的约束的硬度。由于证明强无条件下界的进展非常缓慢，这些条件下界变得重要和流行。然而，长期目标是用无条件的边界取代这些条件边界。在本文中，我们在这个方向上取得进展，通过研究细胞探针复杂性的两个被证明是硬问题的特别重要的：矩阵向量乘法和一个版本的动态集不相交被称为帕特拉斯库的多相问题。我们改进了这些问题的无条件下界，以及引入新的证明技术的独立利益。其中包括一种能够证明以下形式的强阈值下限的技术：如果我们坚持要有一个非常快的查询时间，那么更新时间必须足够慢，以计算一个查找表，每个可能的查询的答案。这是第一次证明这种类型的下界。
2015-04-08 cs.CC cs.DS cs.IT
Proof Complexity Modulo the Polynomial Hierarchy: Understanding Alternation as a Source of Hardness
我们提出并研究了一个框架，在这个框架中，人们可以提出基于替代的证明长度的下界在证明系统中的量化布尔公式。这个框架中的一个关键概念是证明系统集成，它（本质上）是一个证明系统的序列，对于每个证明系统，可以在多项式层次结构中执行证明检查。我们介绍了一个证明系统合奏称为放松QU-RES的基础上建立的证明系统QU-resolution。我们的主要结果包括一个指数分离的树形和一般版本的放松QU-RES，和一个指数下限放松QU-RES，这些都是类似的经典结果命题证明的复杂性。
2016-02-18 cs.CC
Towards Tight Lower Bounds for Scheduling Problems
我们展示了$k$ -部图的结构硬度与优先约束调度问题的紧不可逼近结果之间的密切联系。假设一个自然的，但不平凡的推广的二分结构的硬度结果的Bansal和Khot，我们得到的硬度$2-ε$的问题，最小化的最大完工时间调度优先级约束的工件上相同的并行机抢占。这与该问题的最佳近似保证相匹配。假设相同的假设，我们也得到了一个超常数的不可逼近性结果的问题，调度优先级约束的工作相关的并行机，取得进展解决一个开放的问题，在两个列表中的10个开放的问题威廉姆森和Shmoys，和Schuurman和Woeginger。$k$ -部图的结构硬度的研究是独立的兴趣，因为它捕捉了一个大家庭的调度问题的内在硬度。除了已经提到的，这种推广也意味着紧不可逼近的问题，最小化加权完工时间的优先约束的工件在一台机器上，和最小化的问题的优先约束的工件在相同的并行机的完工时间，从而统一的结果Bansal和Khot，和Svensson，分别。
2015-07-07 cs.CC
Hardness of RNA Folding Problem with Four Symbols
RNA序列是由四种类型的核苷酸、$A, C, G$和$U$组成的串。RNA折叠问题的目标是在给定的RNA序列中找到$\{A,U\}$或$\{C,G\}$形式的无交叉对的最大基数集。这个问题是生物信息学的核心，多年来一直受到广泛关注。Abboud，Backurs，and Williams（FOCS 2015）基于$k$ -团问题的简化难度证明了RNA折叠问题的广义版本的条件下界。它们的下限要求RNA序列具有至少36种类型的符号，使得结果不适用于现实生活中的RNA折叠问题（即，字母大小4）。在本文中，我们提出了一个改进的下界，适用于字母表大小为4的情况。我们还研究了Dyck编辑距离问题，这是一个与RNA折叠密切相关的字符串问题。我们证明了减少从RNA折叠到戴克编辑距离与字母大小10。这导致了Abboud，Backurs和Williams（FOCS 2015）给出的Dyck编辑距离问题的条件下界的更简单的证明，并降低了字母表大小要求。
2018-03-22 cs.CC cs.DS
Hardness of Noise-Free Learning for Two-Hidden-Layer Neural Networks
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；UT Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
我们给出了在标准（无噪声）模型中学习两个隐藏层ReLU网络的超多项式统计查询（SQ）下界。在这种情况下，学习任何深度的ReLU网络都没有通用的SQ下限：以前的SQ下限仅适用于对抗性噪声模型（不可知学习）或相关SQ等受限模型。以前的工作暗示了我们的结果是不可能的：Vempala和Wilmes证明了一般的SQ下界不能应用于任何满足简单非退化条件的实值函数族。为了规避他们的结果，我们改进了Daniely和Vardi的提升过程，将布尔PAC学习问题减少到高斯学习问题。我们展示了如何将他们的技术扩展到其他学习模型，并在许多研究充分的情况下，获得更有效的减少。因此，我们还证明了PAC学习两个隐藏层ReLU网络的新密码学硬度结果，以及从标签查询学习恒定深度ReLU网络的新下界。
2022-11-13 cs.CC cs.LG stat.ML
Average-Case Hardness of Binary-Encoded Clique in Proof and Communication Complexity
Lund University（隆德大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究在证明和通信复杂性中确定图中无大 clique 的平均情况难度，证明了切割平面和有限深度解析 over parities 的 refutations 长度的指数下界，并显示在这些公式中寻找被否决子句的随机通信复杂度为多项式。
2026-05-11 cs.CC
Lower Bounds and Hardness Magnification for Sublinear-Time Shrinking Cellular Automata
最小电路尺寸问题（MCSP）是一个参数为$s$的字符串压缩问题，其中给定长度为$n$的输入上的布尔函数的真值表，必须回答它是否可以由尺寸至多为$s(n) \ge n$的布尔电路计算。最近，McKay，Murray和Williams（STOC，2019）证明了涉及（一次通过）流算法的MCSP的硬度放大结果：对于任何合理的$s$，如果没有$\mathsf{poly}(s(n))$ -空间流算法，$\mathsf{MCSP}[s]$的$\mathsf{poly}(s(n))$更新时间，则$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$。我们证明了一个类似的结果（可证明）严格的收缩细胞自动机（SCA），这是细胞自动机的细胞可以自发地删除自己的能力较低的模型。我们发现，每一种语言接受的SCA也可以接受流算法的类似的复杂性，我们确定了两个不同的方面，SCA比流算法更受限制。我们还表明，有一种语言，不能接受任何SCA在$o(n / \log n)$的时间，即使它承认一个$O(\log n)$空间流算法与$O(\log n)$更新时间。
2021-04-01 cs.CC cs.FL
Regular resolution effectively simulates resolution
本文证明正则归结在有效模拟下与归结等价，并借此以黑盒方式重新得到正则归结自动化困难性的结果。
2024-02-24 cs.CC cs.LO
Tight Hardness Results for Training Depth-2 ReLU Networks
Microsoft Research NYC（微软研究院纽约）；UT Austin（得克萨斯大学奥斯汀分校）；Google Research（谷歌研究院）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；WPI（伍斯特理工学院）
我们证明了使用ReLU激活函数训练深度2神经网络的几个硬度结果;这些网络只是ReLU的加权和（可能包含负系数）。我们的目标是输出一个深度为2的神经网络，使给定训练集的平方损失最小化。我们证明了这个问题对于具有单个ReLU的网络已经是NP难的。我们还证明了输出$k$ ReLU的加权和的NP-硬度，即使在可实现的设置中（即，当标签与未知深度-2 ReLU网络一致时）。我们还能够获得所需的附加误差$ε$方面的运行时间的下限。为了获得我们的下界，我们使用了间隙指数时间假设（Gap-ETH）以及一个新的假设，关于在次指数时间近似众所周知的Denmark $κ$ -子图问题的难度（这些假设分别用于证明不同的下界）。例如，我们证明了在合理的硬度假设下，任何用于找到最佳拟合ReLU的适当学习算法必须在$1/ε^2$中以时间指数运行。与之前关于不正确地学习ReLU的工作一起（Goel等人，COLT'17），这意味着学习ReLU的正确算法和不正确算法之间的第一次分离。我们还研究了正确学习具有有界权重的ReLU的深度2网络的问题，在可实现和不可知的设置中，对学习此类网络所需的运行时间给出了新的（最坏情况）上界。我们的运行时间上限基本上与我们对$ε$的依赖性的下限相匹配。
2020-11-27 cs.CC cs.DS cs.LG
On the Hardness of SAT with Community Structure
最近试图解释的有效性的布尔可满足性（SAT）解决方案的基础上冲突驱动的子句学习（CDCL）的大型工业基准集中在社区结构的概念。具体而言，工业基准已被经验发现具有良好的社区结构，实验似乎表明这种结构和CDCL的效率之间的相关性。然而，在本文中，我们建立硬度的结果表明，社区结构是不足以解释CDCL在实践中的成功。首先，我们正式描述了一个属性共享的广泛的一类指标捕捉社区结构，包括“模块化”。接下来，我们证明了具有良好社区结构的SAT实例根据具有此属性的任何度量仍然是NP难的。最后，我们研究了一类随机实例产生的“伪工业”的GirálCru和Levy的社区依恋模型。我们证明，具有较高的概率，从这个模型中，有相对较少的社区，但仍然高度模块化的实例需要指数长的分辨率证明，所以很难CDCL。我们还提出了实验证据，证明我们的结果继续适用于更多社区的实例。这表明CDCL很容易解决的实际工业实例可能具有社区依恋模型无法捕获的其他相关结构。
2016-08-13 cs.CC cs.LO
Tight Hardness Results for Maximum Weight Rectangles
给定$d$维中的$n$加权点（正或负），使其包含的点的总权重最大化的轴对齐框是什么？这个问题的最著名的算法是基于一个相关问题的简化，加权深度问题[T。M. Chan，FOCS'13]，并在时间$O(n^d)$中运行。它被证实[Barbay等人，CCCG'13]，该运行时紧到子多项式因子。我们肯定地回答这个猜想提供了一个匹配的条件下界。我们还提供了条件下界的特殊情况下，当点排列在一个网格（一个很好的研究问题，称为最大子阵问题），以及其他相关问题。我们所有的下界都基于这样的假设：所有对最短路径问题（APSP）和边加权图中最大权重k团问题的最佳已知算法本质上是最优的。
2016-03-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Functional Lower Bounds in Algebraic Proofs: Symmetry, Lifting, and Barriers
本文利用对称性扩展函数下界方法，为 IPS 片段构造了有限域及非 Subset Sum 型的新困难实例，并证明该方法对强证明系统中的困难布尔实例存在根本局限。
2024-12-28 cs.CC
The Franz-Parisi Criterion and Computational Trade-offs in High Dimensional Statistics
许多高维统计推断问题被认为具有固有的计算困难。已经提出了各种框架来为这种困难提供严格的证据，包括针对限制计算模型（如低次函数）的下界，以及基于自由能景观的统计物理学方法。本文旨在建立一个严格的连接之间的看似不同的低程度和自由能为基础的方法。我们定义了一个基于自由能的硬度标准，并正式将其连接到广泛的一类统计问题，即所有高斯加性模型和某些模型与稀疏种植信号的低硬度的既定概念。通过利用这些严格的连接，我们能够：建立高斯加性模型的“代数”概念的低度硬度意味着失败的“几何”本地MCMC算法，并提供新的低度下界稀疏线性回归，这似乎很难直接证明。这些结果提供了概念上的见解不同的硬度概念之间的联系，以及具体的技术工具，如新的方法证明低度下界。
2022-10-13 cond-mat.stat-mech cs.CC cs.DS
Optimal Average-Case Reductions to Sparse PCA: From Weak Assumptions to Strong Hardness
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在过去的十年中，稀疏主成分分析已经成为一个典型的问题，说明计算的权衡。这一趋势在很大程度上是由一系列研究驱动的，这些研究旨在通过从种植集团（PC）猜想的减少来表征稀疏PCA的平均情况复杂度-这表明没有多项式时间算法来检测$\mathcal{G}(N, \frac{1}{2})$中$K = o(N^{1/2})$大小的种植集团。所有以前的减少稀疏PCA要么没有显示出紧密的计算下限匹配现有的算法或显示出较低的界限，制定稀疏PCA以外的规范生成模型，尖峰协方差模型。而且，这些下界都随着PC猜想中的指数而迅速退化。具体地说，当仅给定PC猜想直到$K = o(N^α)$，其中$α< 1/2$时，不存在这些下界保持紧密的稀疏水平$k$。如果$α\le 1/3$，这些减少甚至不能显示在任何稀疏度$k$的计算-计算折衷的存在。我们从PC产生的第一个完整的表征的计算障碍的尖峰协方差模型，在所有的稀疏$k$提供严格的下限减少。我们还显示了令人惊讶的结果，较弱形式的PC猜想集团大小$K = o(N^α)$为任何给定的$α\in (0, 1/2]$意味着紧密的计算下界稀疏PCA稀疏$k = o(n^{α/3})$。这表明，即使是最知名的多项式时间稀疏PCA算法所需的信号强度的轻微改善也意味着PC的硬度阈值是次多项式。这是第一个次优硬度假设的例子，暗示了无监督学习中另一个问题的最优下限。
2019-02-20 cs.CC cs.LG math.PR
Statistical Algorithms and a Lower Bound for Detecting Planted Clique
我们介绍了一个框架，用于证明计算问题的下限分布对算法，可以使用访问统计查询Oracle。对于这样的算法，对输入分布的访问限于获得对从输入分布随机抽取的样本的任何给定函数的期望的估计，而不是直接访问样本。在理论和实践中最感兴趣的自然算法，例如，基于矩的方法、局部搜索、用于凸优化的标准迭代法、MCMC和模拟退火可以在该框架中实现。我们的框架基于学习理论中的统计查询模型（Kearns，1998）。我们的主要应用程序是一个几乎最优的下界的复杂性的任何统计查询算法检测种植二分团分布（或种植稠密的子图分布）时，种植团的大小$O(n^{1/2-δ})$的任何常数$δ> 0$。这些问题的变体的假设硬度已被用来证明其他几个问题的硬度，并作为密码学应用程序的安全性的保证。我们的下限提供了硬度的具体证据，从而支持这些假设。
2016-08-15 cs.CC cs.DS
Hardness Amplification and the Approximate Degree of Constant-Depth Circuits
本文建立了常深度布尔电路多项式逼近的一般形式的硬度放大。具体来说，我们表明，如果一个布尔电路不能逐点近似的低次多项式在一定的片面意义上的恒定误差内，那么一个或不相交的副本，该电路不能逐点近似，即使有很高的错误。作为我们的主要应用程序，我们表明，对于每一个序列的程度$d(n)$，有一个显式的深度三电路$F: \{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$的多项式大小，使任何程度$d$多项式不能逐点近似$F$错误比$1-\exp\left(-\tildeΩ(nd^{-3/2})\right)$。作为我们的主要结果的结果，我们得到了一个$\exp\left(-\tildeΩ(n^{2/5})\right)$上界的差异的一个功能在AC $^0$，和$\exp\left(\tildeΩ(n^{2/5})\right)$下界的阈值权重的AC $^0$，改善了以前的最好的结果$\exp\left(-Ω(n^{1/3})\right)$和$\exp\left(Ω(n^{1/3})\right)$分别。我们的技术还产生了一个新的下限$Ω\left(n^{1/2}/\log^{(d-2)/2}(n)\right)$的深度$d$，这是紧到任何常数$d$的多对数因子的AND-OR树的近似程度，以及新的边界读取一次DNF公式。反过来，这些结果意味着这些类的通信和电路复杂性的新的下限，并表现出强大的限制现有…
2014-04-28 cs.CC
Tight Lower Bound for Approximating Parametrized Maximum Likelihood Decoding under ETH
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Nanjing University（南京大学）
本文基于ETH假设，通过新的覆盖族构造，为参数最大似然解码和最近码问题的常数因子近似提供了紧致下界，改进了以往基于2-CSP的近似硬度结果。
2026-05-09 cs.CC
From Reverse Detection--Estimation Gaps to Computational Lower Bounds for Norm Approximation
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Notre Dame（圣母大学）；Duke University（杜克大学）
本文提出利用反向检测-估计间隙框架，证明规范逼近的计算下限，通过构造误差小于计算检测阈值的估计器，证明算法在规范逼近中的最小失真，应用该框架证明对称张量谱规范的计算下限，显示计算障碍与现有技术无关。
2026-08-27 cs.CC math.ST stat.TH
Scalefree hardness of average-case Euclidean TSP approximation
我们表明，如果P $\neq$ NP，那么一个广泛的类的TSP算法无法近似的TSP的长度渐近最优，即使是随机欧几里德实例。在此之前，这个结果甚至不为任何实际使用的算法（贪婪等）所知。作为一个应用程序，我们表明，当使用启发式从这个类，一个自然类的分支定界算法需要指数的时间来找到一个最优的巡回赛（再次，即使在一个随机点集），无论特定的分支策略或下界算法使用。
2019-08-01 cs.CC math.CO
Localizability of the approximation method
我们使用Razborov的近似方法来分析的局部性障碍所产生的硬度放大方法的复杂性下界的调查。适应Razborov得到的近似方法的限制，我们表明，在许多情况下，它是不可能结合的近似方法与典型的（本地化）硬度放大定理，以获得强大的电路下界。特别是，不能使用近似方法来导出一个非常强的恒定深度电路下限，然后将其放大到一个显式函数的$NC^1$下限。为了证明这一点，我们表明，由近似方法得到的下界在许多情况下是本地化的意义上说，他们意味着电路允许使用任意强大的预言与小扇入的下界。
2022-12-19 cs.CC cs.DM
On the Fine-Grained Hardness of Inverting Generative Models
New York University（纽约大学）
本文研究了生成模型反演的计算硬度，在SETH和ETH假设下，通过归约从k-SAT、CVP等问题，为精确和近似反演建立了新的指数级复杂度下界。
2023-09-11 cs.CC cs.LG stat.ML
Low Rank Matrix Rigidity: Tight Lower Bounds and Hardness Amplification
本文针对Walsh-Hadamard矩阵等显式矩阵族，在低秩区域证明了紧的刚性下界，并给出硬度放大结果，表明略高秩的下界可推导出更高秩的突破性下界。
2025-02-26 cs.CC
Quadratic Conditional Lower Bounds for String Problems and Dynamic Time Warping
字符串的经典相似性度量是最长公共子序列和Levenshtein距离（即，经典的编辑距离）。曲线的经典相似性度量是动态时间规整。这些测量可以通过简单的$O(n^2)$动态规划算法来计算，并且尽管付出了很多努力，但是还没有已知的具有显著更好的运行时间的算法。我们证明，即使仅限于二进制字符串或一维曲线，分别，这些措施没有强次二次时间算法，即，对于任何$\varepsilon > 0$，没有运行时间为$O(n^{2-\varepsilon})$的算法，除非强指数时间假设失败。我们将结果推广到编辑距离的任意固定成本的四个操作（删除在两个字符串之一，匹配，替代），通过识别平凡的情况下，可以解决在恒定的时间，并证明二次时间硬度二进制字符串的所有其他成本的选择。这改善和推广已知的硬度结果Levenshtein距离[Backurs，Indyk STOC'15]的限制，二进制字符串和推广到任意成本，并增加了重要的问题，最近的一系列研究显示越来越多的二次时间问题的条件下界。作为我们的主要技术贡献，我们介绍了一个框架，证明二次时间硬度的相似性措施。要应用该框架，只需构造一个小工具即可，该小工具封装了模拟从可满足性减少所需的所有表达能力。最后，我们证明二次时间硬度最长回文子序列和最长串联子序列通过减少最长的共同子序列，显示条件下界的基础上强指数时间假设也适用于字符串问题，不一定是相似的措施。
2015-04-02 cs.CC cs.DS
On the Hardness of PosSLP
本文基于 Dutta 等人的多项式根式猜想，证明若 PosSLP 属于 BPP 则 NP 包含于 BPP，给出其首个有条件非平凡下界，并证明 SLP 表示的整数一元多项式实根计数是 #P 难的。
2023-07-16 cs.CC cs.NA math.NA
On Big-M Reformulations of Bilevel Linear Programs: Hardness of A Posteriori Verification
University of Zurich（苏黎世大学）
本文研究了双层线性规划中大-M重述的后验验证难度，证明了即使存在一个可能错误的大-M参数，验证所得MILP模型的最优解是否双层最优也是coNP难问题。
2026-03-17 cs.CC math.OC
Improved Hardness Results for Learning Intersections of Halfspaces
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了在不恰当设置下学习半空间交集的下界，证明了学习ω(log log N)个半空间需要超多项式时间，并在统计查询框架下给出了无条件的难度结果。
2026-04-27 cs.CC cs.LG math.ST
Hardness Amplification in Proof Complexity
我们提出了一个通用的方法转换任何家庭的不可满足的CNF公式，这是很难的最简单的证明系统，树分辨率，到公式，需要大的排名在任何证明系统，操作多项式或多项式阈值函数的次数最多为k（被称为Th（k）证明）。这些系统包括Lovasz-Schrijver和Cutting Planes证明系统以及它们的高度类似物。这些是基于分析两个新的证明系统，表示为T^cc（k）和R^cc（k）。T^cc（k）的证明线是任意的布尔函数，其中的每一个都可以通过有效的k方随机通信协议来评估。它们包括Th{k-1}证明作为特殊情况。R^cc（k）证明是更强的，并且只要求每个推理可以通过有效的k方随机通信协议进行局部检查。（1）当k为O（loglogn）时，对任何要求分辨秩r的不可满足CNF公式F，在所有R^cc（k）系统中存在一个要求反驳秩r^Omega（1/k）log^O（1）n的CNF公式G=Lift_k（F）. (2)当k为O（loglogn）时，T^cc（k）和R^cc（k）系统关于k存在严格的层次，因为存在需要大秩R^cc（k）反驳但具有log^O（1）n秩Th（k）反驳的不可满足CNF公式. (3)当k为O（loglogn）时，大类提升CNF公式的树型T^cc（k）反驳的大小有2^（n^Omega（1/k））个下界. (4)基于低秩分辨率的相关间隙，为低秩R^cc（2）推断（以及因此切割平面和Th（1…
2009-12-03 cs.CC
Conditional Complexity Hardness: Monotone Circuit Size, Matrix Rigidity, and Tensor Rank
Neapolis University Pafos（帕福斯尼阿波利斯大学）；JetBrains Research（JetBrains研究）
本文基于条件复杂性理论，通过非确定性下界构造高复杂度的布尔函数、矩阵和张量，证明了电路大小的下界。
2026-03-08 cs.CC
Label Cover instances with large girth and the hardness of approximating basic k-spanner
我们研究了著名的标签覆盖问题的额外要求下，问题的实例有大围长。我们表明，如果围长是一些$k$，该问题是大致$2^{\log^{1-ε} n/k}$难以近似为所有常数$ε> 0$。Elkin和Peleg [ICALP 2000]提出了一个类似的定理，但后来发现他们的证明有一个根本性的错误。我们使用新的证明，以显示不可逼近的基本$k$的问题，这是最简单的问题，在图spectrometry和少数的超对数硬度是未知的。假设$NP \not\subseteq BPTIME(2^{polylog(n)})$，我们表明，对于每一个$k \geq 3$和每一个常数$ε> 0$是很难近似的基本$k$ -问题的一个因素优于$2^{(\log^{1-ε} n) / k}$（足够大的$n$）。Elkin和Peleg [ICALP 2000]声称基本$k$ -明胶具有相似的硬度，但他们对标签盖分析的错误也使该证明失败。因此，对于大围长的标号覆盖问题，我们给出了第一个非平凡下界。对于基本的$k$ -问题，我们改进了Kortsarz [Komica 1998]提出的$Ω(\log n)/k$的最佳下界.我们的主要技术是对2-查询PCP的边缘进行子采样，这使我们能够将PCP的程度降低到基本上等于所需的合理性。事实证明，这足以基本上保证大周长。
2012-03-05 cs.CC cs.DS
Towards Parameterized Hardness on Maintaining Conjunctive Queries
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文研究了在单元更新下维护固定无自连接连接查询的细粒度复杂性，引入高度和维度参数，提出新的下界并设计高效算法，实现实例特定的性能。
2026-03-16 cs.CC cs.DB
Supercritical Space-Width Trade-offs for Resolution
我们表明，有CNF公式，可以反驳的决议，在小空间和小宽度，但任何小宽度的证明必须有空间远远超过线性最坏情况的上限。这显著加强了[Ben-Sasson '09]}中的空间宽度权衡，并提供了[Razborov '16]最近确定的最差情况之上的“超临界”状态中的权衡的另一个示例。我们利用Razborov的新的硬度凝聚技术并结合[Ben-Sasson和Nordstrom '08]中的空间下界得到了我们的结果。
2016-12-21 cs.CC cs.DM cs.LO
From average case complexity to improper learning complexity
The Hebrew University（希伯来大学）
计算学习理论的PAC模型的基本问题是确定哪些假设类是可有效学习的。目前缺乏显示学习困难的结果。此外，现有的下限达不到最知名的算法。证明复杂性结果的最大挑战是确定{ \em不正确学习}的难度（也称为证明不适当学习的下限的困难在于，来自$\mathbf{NP}$困难问题的标准归约似乎不适用于这种情况。基本上只有一种已知的方法来证明不正确学习的下限。它是在（Kearns和Valiant 89）中发起的，并依赖于加密假设。我们介绍了一种新的技术，证明硬度不适当的学习，减少的基础上，平均困难的问题。我们提出了一个（相当强的）推广Feige的假设（Feige 02）的复杂性反驳随机约束满足问题。将这一假设与我们的新技术相结合，产生了深远的影响。特别地，1.学习$\mathrm{DNF}$的很难。2.不可知地学习具有常数近似比的半空间是困难的。3.学习$ω(1)$半空间的交集很难。
2014-03-09 cs.CC cs.LG
Hardness of the (Approximate) Shortest Vector Problem: A Simple Proof via Reed-Solomon Codes
$\newcommand{\NP}{\mathsf{NP}}\newcommand{\GapSVP}{\textrm{GapSVP}}$我们给出了一个简单的证明，证明了（近似的，决策的）最短向量问题在随机约简下是$\NP$ -困难的。具体来说，我们表明，对于任何$p \geq 1$和任何常数$γ< 2^{1/p}$，$γ$ -近似问题的$\ell_p$规范（$γ$ - $\GapSVP_p$）是不是在$\mathsf{RP}$，除非$\NP \subseteq \mathsf{RP}$。我们的证明遵循Ajtai（STOC 1998）开创的方法，并由Micciancio（FOCS 1998和SICOMP 2000）加强，用于使用局部稠密晶格显示$γ$ - $\GapSVP_p$的硬度。我们构造这样的格简单地应用“建设A”的Reed-Solomon码与适当的参数，并证明其局部密度通过一个基本的参数最初使用的背景下，克雷格格。与所有已知的具有$p < \infty$的$\GapSVP_p$的$\NP$硬度结果一样，我们的简化使用随机性。事实上，通过确定性约化来证明$\NP$ -硬度是一个臭名昭著的公开问题。为此，我们还讨论了潜在的方向和相关的挑战去随机化我们的减少。特别是，我们表明，我们的局部密度建设的密切确定性模拟将提高国家的最先进的明确里德-所罗门列表解码下界Guruswami和鲁德…
2022-02-15 cs.CC
$P \ne NP$, propositional proof complexity, and resolution lower bounds for the weak pigeonhole principle
最近的结果建立了弱鸽子洞原理的任何分辨率证明的长度的指数下界。更正式地，证明了弱鸽子洞原理的任何归结证明，具有$n$洞和任何数量的鸽子，长度为$Ω(2^{n^ε})$（对于常数$ε= 1/3$）。一个推论是陈述$P \ne NP$的某些命题公式没有简短的归结证明。在简短介绍了$P \ne NP$问题和命题证明复杂性的研究领域之后，我将讨论上述弱鸽子洞原理的下界以及与证明$P \ne NP$的难度的关系。
2003-04-28 cs.CC
Computational Lower Bounds for Community Detection on Random Graphs
研究了在大的Erdens-Rényi随机图$\mathcal{G}(N,q)$中存在一个小的稠密社区的检测问题，其中社区内的边概率超过$q$一个常数因子.假设种植集团检测问题的难度，我们证明了检测社区的计算复杂性表现出以下相变现象：随着图大小$N$增长并且图根据$q=N^{-α}$变得更稀疏，存在$α= \frac{2}{3}$的临界值，低于该临界值，存在计算密集的过程，其可以检测比任何计算高效的过程小得多的社区，并且在其之上线性时间过程是统计上最优的。这些结果也导致了恢复稠密社区和近似稠密$K$ -子图的平均情况硬度结果。
2015-03-11 cs.CC math.ST stat.ML
Conspiracies between Learning Algorithms, Circuit Lower Bounds and Pseudorandomness
Charles University in Prague（布拉格查理大学）；University of Oxford（牛津大学）
我们证明了几个结果给新的和更强的学习，电路下界和伪随机性之间的联系。在其他结果中，我们展示了一个通用的学习加速引理，各种学习模型之间的等价关系，在指数时间和次指数时间制度，学习和伪随机之间的二分法，电路下界的非平凡学习的后果，卡普-利普顿定理概率指数时间，和NC $^1$ -硬度的最小电路尺寸问题。
2016-11-03 cs.CC cs.CR cs.DS
Counting Small Induced Subgraphs: Hardness via Fourier Analysis
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
通过傅里叶分析，研究了诱导子图计数问题的计算难度，证明了在ETH假设下，某些图性质下的计数问题在时间复杂度上的下界。
2025-12-10 cs.CC cs.DS
A quantum lower bound for distinguishing random functions from random permutations
区分大小为$N$的域上的随机函数和随机置换的问题在理论密码学中是重要的，其中许多原语的安全性取决于问题的难度。我们研究了这个问题的量子查询复杂性，并表明，任何量子算法，解决这个问题的有界误差必须使$Ω(N^{1/5}/\log N)$查询的输入功能。我们的下限证明使用了碰撞问题下限和Ambainis的对手定理的组合。
2013-12-20 cs.CC quant-ph
Detecting and Counting Small Subgraphs, and Evaluating a Parameterized Tutte Polynomial: Lower Bounds via Toroidal Grids and Cayley Graph Expanders
给定一个图的性质$Φ$，我们考虑问题$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$，其中输入是一对图$G$和一个正整数$k$，任务是判定$G$是否包含一个满足$Φ$的$k$ -边子图.具体来说，我们研究了参数化的复杂性$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$和它的计数问题$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$方面的近似和精确计数。我们得到一个完整的图片小封闭属性$Φ$：决策问题$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$总是承认一个FPT算法和计数问题$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$总是承认一个FPTRAS。对于精确计数，我们提出了一个详尽的和明确的标准上的属性$Φ$，如果满足，产生固定参数的易处理性，否则$\#\mathsf{W[1]}$ -硬度。此外，我们的大多数硬度结果在所谓的指数时间假设下都有一个几乎严格的条件下限，排除了$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$的算法，这些算法在任何可计算函数$f$的时间$f(k)\cdot|G|^{o(k/\log k)}$中运行。作为一个主要的技术成果，我们获得了一个完整的了解的系数的环形网格和选择凯莱图展开$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$的同态基础。这使我们能够使用Curticapean，Dell和Marx（STOC'17）的复杂性单调性框架来建立精确计数的难度。我们的方法也可以应用到一个参数化的…
2021-04-29 cs.CC cs.DS
Exponential Hardness of Reinforcement Learning with Linear Function Approximation
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；DeepMind（深度思维）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）；University College London（伦敦大学学院）
强化学习理论中的一个基本问题是：假设最优价值函数在给定特征下是线性的，我们能有效地学习它们吗？这个问题在监督学习中的对应部分，线性回归，可以在统计和计算上有效地解决。因此，当最近的工作\cite{kane2022computational}显示线性强化学习的计算统计差距时，这是非常令人惊讶的：即使有多项式样本复杂度算法，除非NP = RP，否则没有多项式时间算法用于此设置。在这项工作中，我们建立在他们的结果，以显示一个计算下限，这是指数的特征维度和地平线，线性强化学习下的随机指数时间假设。为了证明这一点，我们构建了一个基于回合的游戏，在每一轮中，学习者都在单位超立方体中搜索未知向量。这个游戏中的奖励被选择为使得如果学习者获得大的奖励，则学习者的动作可以用于模拟解决3-SAT的变体，其中（a）每个变量出现在有限数量的子句中（b）如果实例没有解，则它也没有满足多于（1- $ε$）分数的子句的解。我们使用标准约简来证明这个3-SAT变体与3-SAT近似一样难。最后，我们还显示了一个下限优化的水平依赖，几乎匹配的最佳已知的上界的$\exp(\sqrt{H})$。
2023-02-25 cs.AI cs.CC cs.LG
The NFA Acceptance Hypothesis: Non-Combinatorial and Dynamic Lower Bounds
本研究提出NFA接受性问题教科书算法最优的细粒度难度假设，通过有色游走框架证明其等价表述，推导其对上下文无关语言可达性等问题的紧下界及蕴含OMv假设等意义。
2024-10-03 cs.CC cs.DS cs.FL
The monotonicity of the Franz-Parisi potential is equivalent with Low-degree MMSE lower bounds
Yale University（耶鲁大学）
研究显示，在广义高斯加性模型中，低次多项式估计能力与弗兰茨-帕里西势的单调性存在等价关系，为统计推断提供了新的理论依据。
2026-03-20 cond-mat.stat-mech cs.CC math.ST
Can Quantum Communication Speed Up Distributed Computation?
本文的重点是{ \em量子分布式}计算，我们研究量子通信是否可以帮助{ \em加速}分布式网络算法。我们的主要结果是，对于某些基本的网络问题，如最小生成树，最小割，最短路径，量子通信{ \em不}帮助大大加快分布式算法相比，这些问题的经典设置。为了获得这个结果，我们扩展了Das Sarma等人的技术。[SICOMP 2012]以获得一种统一的方法来证明几种图优化的量子分布式算法的非平凡下界（精确和近似版本）以及验证问题，其中一些即使在经典环境中也是新的，例如，Hamilton循环和生成树验证的紧随机化下界，回答了Das Sarma等人的公开问题，以及重量纵横比的下限，与Elkin [STOC 2004]的上限相匹配。我们的方法引入了{ \em服务器模型}和{ \em量子模拟定理}，它们共同提供了分布式算法和通信复杂性之间的联系。服务器模型是标准的两方通信复杂性模型，增加了额外的功能;然而，两方模型中的大部分困难都转移到了这个新模型中。量子模拟定理将这种困难进一步带到量子分布式计算中。我们的技术，除了证明服务器模型的硬度，需要很少的量子计算知识，这可以帮助克服通常的障碍，证明量子分布式算法的界限。
2014-05-09 cs.CC cs.DC cs.DS
Spectral Planting and the Hardness of Refuting Cuts, Colorability, and Communities in Random Graphs
研究了有效地反驳图的k-可染性，或等价地证明其色数的下界的问题。我们给这个问题的平均情况下的计算硬度在稀疏随机正则图的正式证据，显示一个简单的频谱证书的最优性。这一证据采取的形式计算安静种植：我们构建了一个分布的d-正则图，具有显着较小的色数比一个典型的定期均匀随机绘制的图，同时提供证据表明，这两个分布是无法区分的一大类算法。我们将我们的结果推广到更一般的问题，证明最大k-截上界。这种安静的种植是通过最小化种植结构（例如着色或切割）对图谱的影响来实现的。具体地，种植结构精确地对应于邻接矩阵的特征向量。这避免了随机矩阵理论的推出效应，并且延迟了种植在光谱或局部统计中变得可见的点。为了进一步说明这一点，我们给出了类似的结果，高斯模拟这个问题：一个安静的版本的尖峰模型，在那里我们植物的特征空间，而不是添加一个通用的低秩扰动。我们的证据区分两种分布的计算难度是基于三个不同的算法：稳定的信念传播，本地统计层次结构，和低度似然比。独立的兴趣，我们的研究结果包括多尖峰矩阵模型的低度似然比的通用界，和改进的随机块模型的低度分析。
2020-08-27 cs.CC cs.DS cs.SI
