A short course on positive solutions of systems of ODEs via fixed point index

线性常微分方程分段解的矩消失

Moment vanishing of piecewise solutions of linear ODEs

本文研究了一类分段解析函数的“矩消失问题”，这类函数在每个连续区间上满足一个多项式系数的线性常微分方程。这个问题，本质上是问这样一个（非零）函数可以有多少个零一阶矩，原来与常微分方程的分析理论（庞加莱中心焦点问题）以及逼近论和信号处理（“代数采样”）中的几个难题有关。虽然任何特定常微分方程的解空间允许这样一个界，但在最一般的情况下，它将取决于这个常微分方程的系数。我们相信，很好地理解这种依赖性可以为解决上述问题提供线索。在本文中，我们进行了一种方法的时刻消失的问题，利用这一事实，即考虑的时刻序列满足一个递归关系的固定长度，其系数是多项式的指数。对于任意给定的算子，我们证明了其矩消失指数的一般界。我们还提供了几个运营商家庭的统一界限。

具有不定权的非线性常微分方程的正周期解对：超次线性情形的拓扑度方法

Pairs of positive periodic solutions of nonlinear ODEs with indefinite weight: a topological degree approach for the super-sublinear case

研究了二阶非线性微分方程\begin{equation*} u'' + c u' + λa(t) g(u) = 0, \end{equation*}的周期边值问题和Neumann边值问题，其中$g \colon \mathopen{[}0,+\infty\mathclose{[}\to \mathopen{[}0,+\infty\mathclose{[}$是在无穷远处具有超线性增长的次线性函数.当$\int_{0}^{T} a(t) \!dt < 0$和$λ> 0$充分大时，证明了两个正解的存在性.我们的方法是基于Mawhin的重合度理论和指数计算。

具有第一类奇异性的线性常微分方程组射线上边值问题解的解的积分表示

The integral representation of solutions to a boundary value problem on the half-line for a system of linear ODEs with singularity of first kind

考虑一类非齐次线性常微分方程组的无穷远消失$C^1([0,\oo))$ -解问题，该方程组的一阶极点在$x=0$ .共振的情况下，相应的齐次问题有非平凡的解决方案是主要的兴趣。在齐次系统在$[1,\oo)$上指数二分且系统算子在$x=0$上的留数不具有实部为1的特征值的条件下，构造了广义格林函数.我们还建立了条件下，主要的非齐次问题可以减少到诺特一个非零指标。

Planar Hamiltonian systems: index theory and applications to the existence of subharmonics

We consider a planar Hamiltonian system of the type $Jz' = \nabla_z H(t,z)$, where $H: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ is a function periodic in the time variable, such that $\nabla_z H(t,0) \equiv 0$ and $\nabla_z H(t,z)$ is asymptotically linear for $\vert z \vert \to +\infty$. After revisiting the index theory for linear planar Hamiltonian systems, by using the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem we prove that the above nonlinear system has subharmonic solutions of any order $k$ large enough, whenever the rotation numbers (or, equivalently, the mean Conley-Zehnder indices) …

Nontrivial solutions of systems of Hammerstein integral equations with first derivative dependence

By means of classical fixed point index, we prove new results on the existence, non-existence, localization and multiplicity of nontrivial solutions for systems of Hammerstein integral equations where the nonlinearities are allowed to depend on the first derivative. As a byproduct of our theory we discuss the existence of positive solutions of a system of third order ODEs subject to nonlocal boundary conditions. Some examples are provided in order to illustrate the applicability of the theoretical results.