Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in $(\mathbb{C}^*)^n$
给定$(\mathbb{C}^*)^n$中的一个代数超曲面$H=f^{-1}(0)$，同调镜像对称将$H$的包裹范畴与镜像朗道-金兹伯格模型的奇点的导出范畴联系起来。我们提出了一个丰富的版本，这幅图也具有包装类的补充$(\mathbb{C}^*)^n\setminus H$和类的Landau-Ginzburg模型$((\mathbb{C}^*)^n,f)$的Pastaya-Seidel类别。我们用简单的例子来说明我们的推测，并勾勒出高维裤子的同调镜像对称性的证明。
2017-05-18 math.AG math.SG
On fiber and base decompositions in the Fukaya category of a symplectic Landau-Ginzburg model
Lahore University of Management Sciences（拉合尔管理科学大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文针对一般辛Landau-Ginzburg模型（奇异辛纤维化），证明权重和Lagrangian分次可分解为基分量和纤维分量，从而推广了精确和Lefschetz纤维化下的权重计算方法。
2026-06-01 math.SG
Homological Mirror Symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in projective space
证明了射影空间中d维光滑Calabi-Yau超曲面的同调镜像对称性，其中d > 2（例如d = 3是五次三重）.在证明中涉及的主要技术是：在“d维裤子”中构造浸入拉格朗日球;引入“相对Rollaya范畴”，并理解其分级结构;描述该范畴关于分支覆盖的行为（通过一个'orbifold'的类）; Morse-Bott模型的相对类，允许一个明确的计算;矩阵分解的分次范畴的引入反映了相对的分次范畴。
2014-01-13 math.AG math.SG
On partially wrapped Fukaya categories
我们定义了一类新的辛对象称为“停止”，这大致上是在一个刘维尔域的边界刘维尔超曲面。在本地，这些可以被视为兼容的打开书的页面。对于一个具有不相交停靠点集合的Liouville整环，我们赋予一个$A_\infty$-范畴，称为它的部分包裹类。一个精确的朗道-金兹伯格模型会产生一个停止点，而相应的部分包裹的类范畴意味着与我们应该分配给朗道-金兹伯格模型的类范畴相一致。作为证据，我们证明了一个公式，涉及这些部分包装的类的包装的类的底层刘维域。此操作与删除除数类似。在v2中，我们还构造了没有级联的连续函子，这应该是独立的兴趣。
2019-02-01 math.SG
Tropical Lagrangian Hypersurfaces are Unobstructed
我们为每个热带超曲面$V(ϕ)\subset Q=\mathbb{R}^n$生成拉格朗日量$L(ϕ)\subset (\mathbb{C}^*)^n$，其矩映射投影是$V(ϕ)$的热带变形虫。当这些拉格朗日量是容许的，在Escheraya-赛德尔范畴，我们表明，他们是通畅的对象Escheraya范畴，并镜像层支持复曲面复曲面镜。
2020-08-17 math.AG math.SG
Fukaya A_\infty-structures associated to Lefschetz fibrations. VIII
我们使用Lefschetz铅笔的方法，以获得结构的结果，关于类Calabi-Yau超曲面，特别是，关于他们的依赖诺维科夫参数。警告读者：本文中的论点引用了目前不存在的两个预印本（系列中的第6.5和第7篇论文）。在这一点得到纠正之前，证明不能被认为是完整的，本文应被视为初步的研究公告。
2021-06-01 math.AG math.SG
The monotone wrapped Fukaya category and the open-closed string map
我们对任意单调辛流形建立了在无穷远处凸的包裹类范畴W（E）.我们定义了开闭映射和闭开弦映射。我们研究了它们的代数性质，证明了弦映射与W（E）的特征值分裂相容。我们将Abouzaid的生成准则从精确到单调。我们从紧的Hochschild范畴中构造了一个加速函子，它在Hochschild（上）同调上与弦映射和从量子上同调QH（E）到辛上同调SH（E）的正则映射交换.我们在W（E）的Hochschild（上）同调上定义了QH（E）-模和SH（E）-模结构，它与弦映射相容.模和单位代数结构以及生成准则也适用于紧的类范畴F（E），也适用于闭单调辛流形.作为应用，我们证明了任何射影空间上的单调负线丛的包裹范畴是真的（上同调有限的）。对复曲面Fano簇上的任何单调负线丛E，我们证明了SH（E）是非平凡的，并且W（E）包含一个本质的不可置换的单调Lagrange环面.
2016-09-21 math.SG
Homological mirror symmetry for hypersurface cusp singularities
我们研究了超曲面尖点奇点和三个超曲面简单椭圆奇点的同调镜像对称。我们表明，这些进行了杰出的Lefschetz纤维化的米尔诺纤维，其派生的有向类是等价的导出范畴相干层光滑的理性表面$Y_{p,q,r}$。利用两侧的局部化技巧，我们得到了Milnor纤维的导出包裹层范畴与从$Y_{p,q,r}$中删除一个反典范除子$D$所给出的拟投射曲面上的导出凝聚层范畴之间的同构.在尖点的情况下，对$(Y_{p,q,r}, D)$自然地与对偶尖点奇点联系在一起，与格罗斯、哈金和基尔对卢坚加猜想的证明联系在一起。
2017-05-26 math.AG math.SG
Fukaya category for Landau-Ginzburg orbifolds
对于加权齐次多项式和对角对称群的选择，我们定义了一个新的Landau-Ginzburg orbifold（Fano型或Calabi-Yau型）的Rupaya范畴。它的构造是基于Milnor纤维的包裹范畴和奇点的单值性，类似于奇点理论中的变分算子。新的$\AI$ -结构构造使用冰棒地图与内部插入的monodromy轨道。这需要冰棒模空间的新的紧化，其中由于冰棒结构，一些球和盘的共形结构对齐。特别地，可能存在余维一冰棒球气泡，并且成为限定$\AI$结构的障碍物。对于log Fano和Calabi-Yau的情况下，我们表明，球泡不产生的行动和程度的估计，以及计算指标的扭曲Reeb轨道的Milnor纤维concurents。
2022-09-29 math-ph math.AG math.MP
Mirror symmetry for very affine hypersurfaces
本文证明光滑拟投影环面 DM 栈边界除子上的凝聚层范畴等价于复环面中超曲面的缠绕 Fukaya 范畴，并通过局部化、拼凑法及新的函子性结果将证明归结为环面簇镜像对称定理。
2021-01-19 math.AG math.SG
Homological mirror symmetry for hypersurfaces in $(\mathbb{C}^*)^n$
该研究证明$(\u2102^*)^n$中极大退化超曲面族的同调镜像对称，通过定义纤维式缠绕Fukaya范畴构造对应拉格朗日子流形，得出凝聚层导出范畴拟嵌入镜像范畴的结论，还提及完全交推广方向。
2023-01-18 math.AG math.SG
Categorical mirror symmetry on cohomology for a complex genus 2 curve
受物理学观察的启发，镜像对称是这样的概念，即某些流形成对出现$X$和$Y$，使得$X$上的复杂几何反映了$Y$上的辛几何。它允许人们从$X$的已知复杂性质推导出关于$Y$的辛信息。Strominger-Yau-Zaslow arXiv：hep-th/9606040描述了这种对如何在几何上作为具有相同基底和相关纤维的环面纤维化出现，称为SYZ镜像对称。Kontsevich arXiv：alg-geom/9411018证明了$X$（相干层的有界导出范畴）上的复不变量应该等价于$Y$（类，参见文章摘要中的参考文献）的辛不变量。这就是所谓的同调镜像对称。在这个项目中，我们首先使用“广义SYZ镜”的结构超曲面在环面品种以下Abouzaid-Auroux-Katzarkov arXiv：1205.0053v4，为了获得$X$和$Y$作为流形。复流形是亏格为2的曲线$Σ_2$（因此是一般类型$c_1<0$）作为其雅可比环面中的超曲面。它的广义SYZ镜像是一个Landau-Ginzburg模型$(Y,v_0)$，它带有一个全纯函数$v_0:Y \to \mathbb{C}$，我们在这个全纯函数上构造了一个辛纤维化，然后我们把$D^bCoh(Σ_2)$的一个全子范畴嵌入到$Y$的一个上同调的P-Seidel范畴中，描述为一个辛纤维化.虽然我们的纤维化是第一个非精确的，非莱夫谢茨纤维化配备了一个类，主…
2020-08-26 math.SG
Floer cohomology and pencils of quadrics
在代数几何中，超椭圆曲线与相应的二次超曲面束之间存在经典的关系。我们调查辛方面的这种关系，以期在低维拓扑的应用。我们构造了一个导出的等价关系之间的一条曲线和幂零的两个二次曲面的相关的完全交的范畴之间的幂零和项的Zakaya范畴。这实质上决定了亏格为两条曲线的三维流形的瞬子弗洛尔同调。
2011-10-13 math.SG
Generating the Fukaya categories of Hamiltonian G-manifolds
设$G$是紧李群，$\mathbf{k}$是特征$p \geq 0$的域，使得$H^* (G)$没有$p$ -挠.我们表明，一个自由拉格朗日轨道的哈密顿$G$ -行动的紧凑，单调，辛流形$X$分裂-产生一个幂等和的单调范畴$\mathcal{F}(X; \mathbf{k})$当且仅当它代表一个非零对象的，该和（稍微更一般的结果也提供）。我们的结果基于：一个明确的理解包装的类$\mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k})$通过Koszul扭曲复合物涉及零截面和余切纤维;和一个函子$D^b \mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k}) \to D^b\mathcal{F}(X^{-} \times X; \mathbf{k})$规范相关的哈密尔顿$G$ -行动$X$。我们探讨了几个例子，可以研究在一个统一的方式，包括复曲面法诺品种和某些Grassmannian。
2018-08-16 math.AG math.AT math.SG
$S^{1}$-invariant symplectic hypersurfaces in dimension $6$ and the Fano condition
证明了任何具有Hamilton $S^1$作用的辛Fano $6$ -流形$M$是单连通的，并且满足$c_1 c_2(M)=24$ .这是通过显示，固定子流形$M_{\min}\subseteq M$上的哈密顿达到其最小值是同构的要么德尔佩佐表面，一个$2$ -球或一个点。在$\dim(M_{\min})=4$的情况下，我们利用辛Fano $4$ -流形对del Pezzo曲面是辛同构的这一事实.当$\dim(M_{\min})=2$涉及到$6$维Hamilton $S^1$ -流形的研究时，$M_{\min}$与正亏格曲面同构.通过利用类比与代数几何的情况下，我们构造在每个这样的$6$ -流形的$S^1$不变辛超曲面${\cal F}(M)$发挥的作用，光滑纤维的假设森纤维化$M_{\min}$。这依赖于应用Seiberg-Witten理论来解析作为$M$的约化空间出现的辛$4$ -orbifolds。
2018-05-11 math.AG math.DG math.GT
Koszul duality via suspending Lefschetz fibrations
设$M$是一个Liouville 6-流形，它是$\mathbb{C}^4$上一个Lefschetz纤维化的光滑纤维，它是通过在$\mathbb{C}^3$上悬挂一个Lefschetz纤维化构造的.我们证明了，对于许多例子，包括超曲面尖点奇点的Milnor纤维的稳定化，紧凑的Crackaya范畴$\mathcal{F}(M)$和包裹的Crackaya范畴$\mathcal{W}(M)$是相关的通过$A_\infty$ -Koszul对偶，通过确定它们与循环和Calabi-Yau完成相同的Crackaya代数。这意味着紧类范畴$\mathcal{F}(M)$通过消失圈的分裂生成。此外，还得到了允许Seidel-Solomon意义下的拟伸缩的Liouville流形的新例子。
2019-05-30 math.AT math.RT math.SG
Cubic hypersurfaces and integrable systems
我们证明了包含给定三次四重X的三次五重21维中间雅可比算子族一般是代数可积系统。在证明中，我们应用了Donagi和Markman提出并使用的一个可积准则，在X中的三次三重函数族上找到了一个类似的可积系统。为了满足这一条件，我们明确地写出了一般三次四重空间X上的直线族F（X）的Beauville和Donagi辛结构，并证明了包含X的三次五重空间上的平面族作为Lagrange曲面嵌入F（X）中.通过辛约化，我们推导出我们的可积系统在结点边界上诱导出另一个可积系统，一般解释为X中亏格为4的20维Fano中间Jacobian三重数族.在此过程中，我们证明了一个Abel-Jacobi型同构的Fano曲面的一般Fano三倍的亏格4的二次曲线，并计算该曲面的数值不变量。
2006-05-10 math.AG math.SG
Automatically generating Fukaya categories and computing quantum cohomology
假设我们找到了紧致Calabi-Yau流形$X$的Rakaya范畴的一个非空子范畴$\mathcal{A}$，它在非交换几何意义下是同调光滑的，这是$\mathcal{A}$的一个内在条件。然后，我们表明$\mathcal{A}$分裂生成的类和moreoever，我们的假设意味着（因此相当于断言）$\mathcal{A}$满足Abouzaid的几何生成准则[ABO]。早期工作[G1，GPS 1，GPS 2]的直接结果是，将量子上同调与Hochschild不变量联系起来的开-闭和闭-开映射也是同构。当$c_1(X) \neq 0$（例如，当$X$是单调Fano）时，我们的结果继续保持，在进一步的假设下：$\mathcal{A}$ $\mathrm{HH}^0(\mathcal{A})$的第0个Hochschild上同调应该有足够大的秩：$\mathrm{rk}\ \mathrm{HH}^0(\mathcal{A}) \geq \mathrm{rk}\ \mathrm{QH}^0(X)$。我们的证明只依赖于Pakaya范畴和开闭映射的形式性质，其中最新的和最关键的是，开闭映射与配对的相容性，在作者与Perutz和Sheridan [GPS 2]以及Abouzaid-Pakaya-Oh-Ohta-Ono [AFO+]正在进行的联合工作中独立观察到;最简单设置的证明出现在附录中。由于Mor…
2019-11-14 math.AG math.KT math.SG
A characterization of diagonal Poisson structures
Fano流形上的一般辛Poisson结构的退化轨迹总是一个奇异超曲面。证明了在具有约化单正规交叉退化轨迹的循环Picard群的Fano流形中只存在一族泛辛Poisson结构.
2014-12-08 math.AG math.SG
