最小充裕填充与分离列表可着色性
Minimal abundant packings and choosability with separation
AI总结：
本文研究了 $(v,k,t)$ 填充的充裕性，改进了 Johnson 界并渐近确定了存在充裕填充的最小 $v$，据此证明了分离列表着色参数 $χ_\ell(K_n,c)/\sqrt{cn}$ 的极限存在且为 1，并对无穷多个 $n$ 给出了精确值。
摘要：
大小为 $b$ 的 $(v,k,t)$ 填充是由 $v$ 元基础集合的 $b$ 个子集（区组）构成的系统，满足每个区组有 $k$ 个元素且每个 $t$-集至多包含于一个区组中。$P(v,k,t)$ 表示可能的 $b$ 的最大值。若 $b> v$，则称该填充为充裕的。我们给出了临界范围附近 $P(v,k,t)$ 的新估计，略微改进了 Johnson 界，并渐近确定了存在充裕填充时的最小 $v=v_0(k,t)$。对于图 $G$ 和正整数 $c$，令 $χ_\ell(G,c)$ 为满足以下条件的最小 $k$ 值：可以从任意列表分配 $L(v)$ 中对 $G$ 的顶点进行正常着色，其中对所有 $v\in V(G)$ 有 $|L(v)|=k$，且对所有 $uv\in E(G)$ 有 $|L(u)\cap L(v)|\leq c$。Kratochvíl, Tuza 和 Voigt 于 1998 年提出确定 $\lim_{n\rightarrow \infty} χ_\ell(K_n,c)/\sqrt{cn}$（若存在）。利用我们关于 $v_0(k,t)$ 的界，我们证明了该极限存在且等于 $1$。给定 $c$，我们对无穷多个 $n$ 找到了 $χ_\ell(K_n,c)$ 的精确值。
英文摘要：
A $(v,k,t)$ packing of size $b$ is a system of $b$ subsets (blocks) of a $v$-element underlying set such that each block has $k$ elements and every $t$-set is contained in at most one block. $P(v,k,t)$ stands for the maximum possible $b$. A packing is called abundant if $b> v$. We give new estimates for $P(v,k,t)$ around the critical range, slightly improving the Johnson bound and asymptotically determine the minimum $v=v_0(k,t)$ when abundant packings exist. For a graph $G$ and a positive integer $c$, let $χ_\ell(G,c)$ be the minimum value of $k$ such that one can properly color the vertices of $G$ from any assignment of lists $L(v)$ such that $|L(v)|=k$ for all $v\in V(G)$ and $|L(u)\cap L(v)|\leq c$ for all $uv\in E(G)$. Kratochv\'ıl, Tuza and Voigt in 1998 asked to determine $\lim_{n\rightarrow \infty} χ_\ell(K_n,c)/\sqrt{cn}$ (if exists). Using our bound on $v_0(k,t)$, we prove that the limit exists and equals $1$. Given $c$, we find the exact value of $χ_\ell(K_n,c)$ for infinitely many $n$.
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