无零算术：使用ONE表示整数ONLY
Zeroless Arithmetic: Representing Integers ONLY using ONE
摘要：
我们使用递归方程（别名差分方程）来枚举正整数的公式表示的数量，这些公式表示仅使用加法和乘法，以及使用加法，乘法和幂运算，其中所有输入都是1。我们还描述了有效的算法，随机生成这样的表示，并使用动态规划找到一个最短的可能的公式表示任何给定的正整数。
英文摘要：
We use recurrence equations (alias difference equations) to enumerate the number of formula-representations of positive integers using only addition and multiplication, and using addition, multiplication, and exponentiation, where all the inputs are ones. We also describe efficient algorithms for the random generation of such representations, and use Dynamical Programming to find a shortest possible formula representing any given positive integer.
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