关于 $\R^d$ 中几类紧子集上的最优多项式容许网格
Optimal Polynomial Admissible Meshes on Some Classes of Compact Subsets of $\R^d$
AI总结：
本文证明，对于满足Federer意义下正触及条件的星形Lipschitz域闭包以及有界 $\mathscr C^{1,1}$ 域闭包，存在最优多项式容许网格（即具有最优基数的多项式赋范点序列）。
摘要：
我们证明，任何 $\R^d$ 中的紧子集，若其为有界星形Lipschitz域 $\Omega$ 的闭包，且 $\complement \Omega$ 在Federer意义下具有正触及，则存在一个最优AM（容许网格），即具有最优基数的多项式赋范点序列。这推广了A. Kroó关于 $\mathscr C^2$ 星形域的最新结果。此外，我们构造性地证明了对于任何 $K := \overline{\Omega} \subset \R^d$，其中 $\Omega$ 是有界 $\mathscr C^{1,1}$ 域，存在最优AM。这是通过距离函数对Bernstein不等式进行特定的多元尖锐版本实现的。
英文摘要：
We show that any compact subset of $\R^d$ which is the closure of a bounded star-shaped Lipschitz domain $Ω$, such that $\complement Ω$ has positive reach in the sense of Federer, admits an \emph{optimal AM} (admissible mesh), that is a sequence of polynomial norming sets with optimal cardinality. This extends a recent result of A. Kroó on $\mathscr C^ 2$ star-shaped domains. Moreover, we prove constructively the existence of an optimal AM for any $K := \overlineΩ\subset \R^ d$ where $Ω$ is a bounded $\mathscr C^{ 1,1}$ domain. This is done by a particular multivariate sharp version of the Bernstein Inequality via the distance function.
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