Mildly Exponential Lower Bounds on Tolerant Testers for Monotonicity, Unateness, and Juntas
本文首次证明了单调性、单边性和junta函数在常数间隔容错测试中的温和指数查询下界，显著改进了此前的多项式或平凡下界。
2023-09-21 cs.CC cs.DM cs.DS
A $\widetilde{O}(n)$ Non-Adaptive Tester for Unateness
Khot和Shinkar（RANDOM，2016）最近描述了一种自适应的$O(n \log(n)/\varepsilon)$查询测试器，用于布尔函数$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$的解压缩。在这篇文章中，我们描述了一个简单的非自适应，$O(n \log(n/\varepsilon)/\varepsilon)$查询测试的unprogramming的超立方体的功能与任何有序范围。
2016-09-02 cs.DM cs.DS
Domain Reduction for Monotonicity Testing: A $o(d)$ Tester for Boolean Functions in $d$-Dimensions
我们描述了一个$\tilde{O}(d^{5/6})$ -查询单调性测试布尔函数$f:[n]^d \to \{0,1\}$上的$n$ -超网格。这是第一个查询复杂度独立于$n$的$o(d)$单调性测试器。出于这种独立性的$n$，我们开始研究的单调性测试的可测量的布尔函数$f:\mathbb{R}^d \to \{0,1\}$在连续域，其中的距离测量相对于产品分布在$\mathbb{R}^d$。我们给出了一个$\tilde{O}(d^{5/6})$查询单调性测试这样的功能。我们的主要技术成果是单调性的域缩减定理。对于任何函数$f:[n]^d \to \{0,1\}$，令$ε_f$是它到单调性的距离。考虑原始域的随机$[k]^d$子超网格上的函数的限制$\hat{f}$。我们表明，对于$k = \text{poly}(d/ε)$，预期的距离的限制是$\mathbb{E}[ε_{\hat{f}}] = Ω(ε_f)$。以前，这样的结果仅为$d=1$所知（Berman-Raskhodova-Yaroslavtsev，STOC 2014）。我们在$[n]^d$上测试布尔函数的结果随后应用Black-Chakrabarty-Seshadhri的$d^{5/6}\cdot \text{poly}(1/ε,\log n, \log d)$查询超网格测试器（SODA 2018）。为了获得测试布尔函数…
2019-12-10 cs.CC cs.DM
An optimal lower bound for monotonicity testing over hypergrids
对于正整数$n, d$，考虑超网格$[n]^d$，其坐标乘积偏序记为$\prec$。函数$f: [n]^d \mapsto \mathbb{N}$是单调的，如果$\forall x \prec y$，$f(x) \leq f(y)$。一个函数$f$是$\eps$ -远离单调，如果至少一个$\eps$ -分数的值必须改变，使$f$单调。给定参数$\eps$，\emph{monotonicity tester}必须以高概率区分单调函数与$\eps$ -远的函数。我们证明，任何（自适应，双边）单调测试功能$f:[n]^d \mapsto \mathbb{N}$必须进行$Ω(\eps^{-1}d\log n - \eps^{-1}\log \eps^{-1})$查询。最近的上限表明超网格的$O(\eps^{-1}d \log n)$查询单调性测试器的存在。这关闭了在任意范围内的超网格的单调性测试的问题。以前的最佳下界一般超网格是一个非自适应界的$Ω(d \log n)$。
2013-04-18 cs.DM cs.DS
Property Testing on Product Distributions: Optimal Testers for Bounded Derivative Properties
性质测试的主要问题是确定给定函数是否满足某个性质，或者是否远离任何满足该性质的函数，这就需要函数之间的距离概念。最流行的概念是域上{ \em uniform}分布上的汉明距离。这种对均匀性的限制更多的是为了方便而不是必要，而且研究由更一般的分布引起的距离是很重要的。在本文中，我们在这个方向上取得了重大进展。我们给出了{\em任意乘积分布}上{\em有界导数性质}的简单最优检验.有界导数性质包括基本性质，如单调性和Lipschitz连续性。我们的结果substances几乎所有已知的结果（上界和下界）的单调性和Lipschitz测试。我们证明了有界导数性质测试和二叉搜索树（BST）之间的密切联系。我们展示了一个测试，其查询复杂性是最佳BST的每个边际的预期深度的总和。此外，我们还证明了这个深度和也是一个下界。这项工作的一个基本的技术贡献是一个{ \em最佳降维定理}的所有有界衍生物的属性，它涉及到的距离的功能从属性的距离限制的功能随机线。这样一个定理在过去的15年里甚至对于单调性都是难以捉摸的，而我们的定理是对以前最著名结果的指数改进。
2014-04-02 cs.DM cs.DS math.CO
A Lower Bound for Nonadaptive, One-Sided Error Testing of Unateness of Boolean Functions over the Hypercube
布尔函数$f:\{0,1\}^d \mapsto \{0,1\}$是unate，如果沿着每个坐标，该函数是非减或非增的。在本文中，我们证明了任何非自适应的，单侧误差不确定性测试必须进行$Ω(\frac{d}{\log d})$查询。由于Chen等人（STOC，2017），该结果改进了同一类测试仪的$Ω(\frac{d}{\log^2 d})$下限。
2017-05-31 cs.CC cs.DM
Isoperimetric Inequalities for Real-Valued Functions with Applications to Monotonicity Testing
我们将Khot，Minzer和Safra~（SICOMP 2018）关于布尔函数的著名等周不等式推广到实值函数$f \colon \{0,1\}^d\to\mathbb{R}$的情况。我们在证明广义不等式的主要工具是一个新的布尔分解，表示每个实值函数$f$在一个任意的偏序域作为一个集合的布尔函数在同一个域，大致捕获的距离$f$单调性和结构的违反$f$单调性。我们应用我们的广义等周不等式，以改善算法的单调性测试和近似的距离单调的实值函数。我们的单调性测试器具有查询复杂度$\widetilde{O}(\min(r \sqrt{d},d))$，其中$r$是输入函数图像的大小。(The Chakrabarty和Seshadhri（STOC 2013）之前最著名的测试人员进行了$O(d)$查询。）我们的测试是非适应性的，有单侧误差。我们显示了一个匹配的下界为非自适应，单侧误差测试单调性。我们还表明，距离单调的实值函数，$α$ -远离单调可以近似非自适应的$O(\sqrt{d\log d})$的一个因素内的查询复杂性多项式在$1/α$和尺寸$d$。这种查询的复杂性是已知的非自适应算法，即使是布尔函数的特殊情况下，几乎是最佳的。(The Fattal和Ron（TALG 2010）的一个已知的最佳实值函数距离近似算法实现了$O(d\log r)$ -近似。
2020-11-18 cs.CC cs.DM
Optimal Unateness Testers for Real-Valued Functions: Adaptivity Helps
本文研究了函数$f:\{0,1\}^d \to \mathbb{R}.$的不确定性测试问题，给出了一个$O(\frac{d}ε \cdot \log\frac{d}ε)$ -查询非自适应测试器和一个$O(\frac{d}ε)$ -查询自适应测试器，并证明了对于固定的距离参数$ε$，这两个测试器都是最优的.以前已知的unauthorized测试工作，只有布尔函数，他们的查询复杂度有更差的依赖于自适应和非自适应的情况下的维度。此外，还不知道检验不确定性的下限。我们还推广我们的结果，以获得最佳的unprogrammable测试功能$f:[n]^d \to \mathbb{R}$。我们的研究结果表明，自适应有助于测试unlimited的实值函数的形式$\{0,1\}^d$域，更一般地说，$[n]^d$。这与函数$f:[n]^d \to \mathbb{R}$没有自适应间隙的单调性测试的情况相反。
2017-03-15 cs.DM cs.DS
Erasure-Resilient Property Testing
属性测试器形成了一类重要的次线性算法。在标准属性测试模型中，算法通过返回所有查询域点处的函数值的oracle访问输入函数。在许多现实情况下，由于隐私问题，或者当某些值被错误或对手删除时，oracle可能无法在某些域点上显示函数值。我们发起了一项研究的属性测试仪，是有弹性的存在adversarially擦除的功能值。属性P的α擦除弹性ε测试器被给定参数α，ε in（0，1），以及对函数f的oracle访问，使得至多函数值的α分数已经被擦除。测试仪不知道某个点是否被擦除，除非它查询该点。如果有一种方法可以将值分配给擦除点，使得所得函数满足P，则测试人员必须以高概率接受。如果对于擦除点的所有值分配，所得到的函数必须在非擦除畴点的至少ε分数中改变以满足P。弹性性能测试仪用于测试大类性能。对于某些属性，可以通过将标准测试程序用作黑盒来获得可恢复擦除的测试程序。但是，还有更多具有挑战性的属性，所有已知的测试人员都依赖于查询特定的点。如果这个点被擦除，所有这些测试器都坏了。我们给出了有效的擦除弹性测试几类这样的属性，包括单调性，Lipschitz属性，凸性。最后，我们描述了一个属性，可以在标准模型中使用O（1/2）查询进行ε测试，而在擦除弹性模型中测试它需要输入大小的查询多项式数。
2016-07-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Is submodularity testable?
本文首先研究了布尔超立方体上的子模性质。次模函数在组合优化中有着广泛的应用。对于大量的算法，假设子模函数的预言存在。但是如何检验这个预言是否真的代表了一个子模函数呢？考虑函数f：{0，1}^n \rightarrow R。到子模的距离是需要修改以使f子模化的$f$的值的最小分数。如果这个距离大于0，那么我们说f是ε-远不是次模的。其目的是有一个有效的过程，给定的输入f是ε-远不是次模，证明f不是次模。我们分析了这个问题的一个非常自然的测试程序，并证明它在次指数时间内运行。这给出了子模块性的第一个非平凡测试器。另一方面，我们证明了一个有趣的下限（不幸的是，距离上限很远），表明这个测试器在epsilon方面不可能非常有效。这涉及到一些非平凡的函数例子，这些函数远离子模，但没有表现出太多的局部违规。我们还提供了一些结构，表明在设计一个测试子模块的困难。我们构造了一个定义在指数级多个点上的部分函数，这些点不能扩展为子模函数，但这些值的任何严格子集都可以扩展为子模函数。
2010-08-04 cs.DM cs.DS
Approximating the Distance to Monotonicity of Boolean Functions
我们设计了一个非自适应算法，甲骨文访问的功能$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$，这是$α$ -远离单调，使聚$(n, 1/α)$查询，并返回一个估计，具有很高的概率，是一个$\widetilde{O}(\sqrt{n})$ -近似的距离$f$单调性。我们的算法的分析依赖于对Khot，Minzer和Safra（SIAM J. Comput.，2018年）。此外，我们排除了多$(n, 1/α)$查询非自适应算法，近似的距离单调性显着更好地表明，对于所有常数$κ> 0,$每个非自适应$n^{1/2 - κ}$ -近似算法这个问题需要$2^{n^κ}$查询。这回答了Seshadhri（Property Testing Review，2014）关于非自适应算法的问题。我们得到我们的下限证明了类似的边界擦除弹性（和宽容）的测试。我们的方法也产生了相同的下界unconstituted和作为一个$k$ -军。
2021-02-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Testing $k$-Monotonicity
Columbia University（哥伦比亚大学）；Purdue University（普渡大学）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Duquesne University（杜肯大学）
定义在有限偏序集整环${\cal D}$上的布尔$k$ -单调函数在${\cal D}$中的任何上升链上最多$k$次在值$0$和$1$之间交替。因此，$k$ -单调函数是经典单调函数$1$ -单调函数的自然推广.最近的兴趣在$k$ -单调函数的背景下，电路复杂性和学习理论的启发，以及单调性测试中发挥的核心作用，在属性测试的背景下，我们发起了一个系统的研究$k$ -单调函数，在属性测试模型。在此模型中，目标是区分$k$ -单调（或接近$k$ -单调）的函数和远离$k$ -单调的函数。我们的结果包括以下内容：-我们证明了测试$k$ -单调性和测试单调性之间的分离，在超立方体域$\{0,1\}^d$上，对于$k\geq 3$ ; -我们证明了测试和学习之间的分离，在$\{0,1\}^d$上，对于$k=ω(\log d)$：测试$k$ -单调性可以用$2^{O(\sqrt d \cdot \log d\cdot \log{1/\varepsilon})}$查询来执行，而学习$k$ -单调函数需要$2^{Ω(k\cdot \sqrt d\cdot{1/\varepsilon})}$查询（Blais等人（RANDOM 2015））。- 我们提出了一个容差测试的功能$f\colon[n]^d\to \{0,1\}$与$n$的复杂性无关，这使得由伯曼等人（STOC 2014）开放的问题的进展。我们…
2016-09-14 cs.DM cs.DS cs.LG
