Counterexamples to the $I^{(3)} \subset I^2$ containment
Marcin Dumnicki, Tomasz Szemberg, Halszka Tutaj-Gasinska
证明了复射影平面中点的根理想的第三次符号幂不包含在该理想的第二次通常幂中。这否定地回答了Huneke提出并由Harbourne概括的一个问题。
We show that in general the third symbolic power of a radical ideal of points in the complex projective plane is not contained in the second usual power of that ideal. This answers in negative a question asked by Huneke and generalized by Harbourne.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Containment Counterexamples for ideals of various configurations of points in ${\bf P}^N$
当$I$是域$K$上射影$N$ -空间中有限点集${\bf P}^N$的根齐性理想时，证明了对所有$r\geq 1$，$I^{(rN-N+1)}$都应包含在$I^r$中.最近的反例表明，当N=r=2时，这可能失败。我们研究由此产生的理想的性质。我们还表明，故障发生无穷多$r$在每个特性$p>2$时，N=2，我们发现额外的积极特征故障时，$N>2$。
A counterexample to the containment $I^{(3)}\subset I^2$ over the reals
本文的目的是给出实数上包含$I^{(3)}\subset I^2$的反例。
Ideal Containments under Flat Extensions
令$φ: S = k[y_0,..., y_n] \to R = k[y_0,...,y_n]$由$y_i \to f_i$给出，其中$f_0,...,f_n$是同阶齐次元素的$R$ -正则序列。最近的一篇论文证明了拟阵$Δ$的理想$I_Δ\subseteq S$，$I_Δ^{(m)} \subseteq I^r$当且仅当$φ_*(I_Δ)^{(m)} \subseteq φ_*(I_Δ)^r$，其中$φ_*(I_Δ)$是由$φ(I_Δ)$在$R$中生成的理想。我们证明了这一结果的饱和齐次理想$I$的配置点在$\mathbb{P}^n$和使用它来获得许多新的反例$I^{(rn - n + 1)} \subseteq I^r$从以前已知的反例。
On the containment $I^{(3)} \subseteq I^2$ and configurations of triple points in Böröczky line arrangements
我们研究集的三重点的Böröczky的安排线的背景下，由Harbourne和Huneke提出的遏制问题。我们表明，在类的这些安排，最小的反例的包容$I^{(3)} \subseteq I^2$时，得到的线的数量等于12。
A homological criterion for the containment between symbolic and ordinary powers for some ideals of points in $\mathbb{P}^2$
对于定义了$\mathbb{P}^2$中的约化点集的3-生成理想$I$，建立了包含$I^{(m)}\subset I^r$（失效）的一个判据.我们的标准来自于研究$I$的幂的最小自由分解，特别是$I^m$和$I^r$的最小自由分解。我们把这个判据应用于最近出现的作为B问题的反例的两点构型。Harbourne和C. Huneke：Fermat配置和Klein配置。
A stable version of Harbourne's Conjecture and the containment problem for space monomial curves
多项式环中的根理想$I$的符号幂$I^{(n)}$由直到由$I$定义的簇中的$n$阶为零的函数组成。这些并不一定与普通的代数幂$I^n$相一致，但比较这两个概念是很自然的。包含问题包括确定$n$和$m$的值，其中$I^{(n)} \subseteq I^m$成立。当$I$是一个理想的高度$2$在一个经常的环，$I^{(3)} \subseteq I^2$可能会失败，但我们表明，这种包容性并不成立的定义理想的空间单项式曲线$(t^a, t^b, t^c)$。更一般地，给定一个大高度$h$的根理想$I$，虽然Harbourne所证明的包容$I^{(hn-h+1)} \subseteq I^n$不一定对所有$n$成立，但我们给出了保证$n \gg 0$包容的充分条件.
Fermat-type configurations of lines in $\mathbb P^3$ and the containment problem
本说明的目的是显示一系列新的例子齐次理想$I$在${\mathbb K}[x,y,z,w]$的包容$I^{(3)}\subset I^2$失败。这些理想在${\mathbb P}^3$中的某些线的排列上得到支持，它类似于${\mathbb P}^2$中的费马点的配置，见\cite{NagSec16}。迄今为止，所有显示安全壳$I^{(3)}\subseteq I^2$失效的实例都是在点或锥上支撑的。除了提供新的反例之外，这些理想本身似乎很有趣。
Containments of symbolic powers of ideals of generic points in $\PP^3$
本文证明了Harbourne和Huneke的猜想：$I^{(Nr-(N-1))} \subset M^{(r-1)(N-1)}I^{r}$对$\PP^3$中的一般（单）点的理想成立.因此，对于这样的理想，我们证明了以下的界限，这可以被认为是Chudnovsky界限的推广：$α(I^{(3m-k)}) \geq mα(I)+2m-k$，对于任何$m \geq 1$和$k=0,1,2$。此外，我们还得到了这类理想的Waldshirt常数的下界。
Symbolic power containments in singular rings in positive characteristic
理想的符号幂和普通幂的包含问题要求我们有什么样的$a$和$b$值$I^{(a)} \subseteq I^b$。在正则环上，Ein-Lazarsfeld-Smith，Hochster-Huneke和Ma-Schwede的一个结果部分地回答了这个问题，但是它提供的包含并不总是最好的。特别是，哈伯恩提出的更严格的遏制已经被证明适用于有趣的理想类-尽管它一般不成立。本文建立了$F$ -有限Gorenstein环上有限投射维数理想的$F$ -纯性（强$F$ -正则性）的Fedder（Glassbrenner）型判别准则，并将Grifo-Huneke的素特征结果推广到奇异环境环上.对于理想的无限投射维数，我们证明了一个变化的包容仍然成立，在精神的工作Hochster-Huneke和高木。
An Elementary Approach to Containment Relations Between Symbolic and Ordinary Powers of Certain Monomial Ideals
本文的目的是对Ein-Lazarsfeld-Smith \cite{ELS}和Hochster-Huneke \cite{HH}关于简单情况下理想的符号幂和普通幂之间的包容性的一个令人惊讶的结果找到一个初步的解释。从那时起，这条研究路线就非常活跃，例如参见\cites{BC,HaH,DST}及其参考文献，到目前为止，关于这一主题的文献相当广泛。通过“初等”，我们指的是除其他外不使用奇点和乘数理想的解决方案，也不紧封闭方法的论点。让我们快速回忆一下陈述\cite{ELS}：令$X$是维数为$n$的光滑投射簇，$S \subseteq O_X$是具有零方案$Z\subseteq X$的根理想的非零层;如果$Z$的每个不可约分量至少有$e$的余维数，则对所有$m\geq 1$有\[ S^{(me)}_Z \subseteq S^m_Z \]。我们的目标是在射影空间中的点的情况下重新证明这一断言（如\cite{PAGII} *{例11.3.5}中所要求的），而不借助于代数几何的深层方法。而不是工作与子集的射影空间，我们将集中在仿射锥在他们身上，因此，我们的目标成为了解象征和普通权力的理想集线通过原点。最后，我们将把一般情况简化为对定义$Å^n_{k}$中坐标轴并集的理想\[ I_{2,n} =(x_ix_j\mid 1\leq i<j\leq n) \subseteq k[x_1,\dot…
A criterion of containment for tropical hypersurfaces
本文利用 Newton 多面体的位似与平移，给出热带 n 变量多项式对应热带超曲面之间包含关系的充要判据。
On codimension two flats in Fermat-type arrangements
本文研究了射影空间中余维$2$平坦的某些安排，我们称之为"Fermat安排".我们描述了他们的定义理想的代数性质。特别是，我们表明，他们提供了一个预期的包含关系之间的普通和象征性的权力齐次理想的反例。
A containment result in $\mathbb{P}^n$ and the Chudnovsky conjecture
本文证明了$\mathbb{P}^n$中$s$一般点的根理想$I$的包含性$I^{(nm)}\subset M^{(n-1)m}I^m$，其中$s\geq 2^n$ .作为推论，我们得到了Chudnovsky猜想对$\mathbb{P}^n$中至少由$2^n$点组成的非常一般的集合成立.
Steiner Configurations ideals: containment and colouring
给定一个齐次理想$I \subseteq k[x_0,\dots,x_n]$，包含问题研究$I$的符号幂和正则幂之间的关系，即它要求$m, r \in \mathbb{N}$，$I^{(m)} \subseteq I^r$中的哪一对成立.在过去几年中，就这一问题提出了若干建议，形成了一个当前感兴趣和正在进行调查的活跃领域。本文研究了稳定Harbourne猜想和稳定Harbourne-Huneke猜想，证明了它们对于$\mathbb{P}^{n}_{k}$中点的Steiner配置的补的定义理想成立.我们还可以证明点的Steiner配置的补理想具有期望的复活，即它的复活严格小于它的大高度，并且它也满足Chudnovsky和Demailly猜想.此外，我们还研究了超图$H$的可着色性与与$H$的覆盖理想的包含问题失败之间的关系。我们将这些结果应用于$H$是Steiner系统的情形。
Zariski-Nagata Theorems for Singularities and the Uniform Izumi-Rees Property
本文引入并探讨Noetherian环中的一致Izumi-Rees性质，应用于重数理论及理想符号幂的包含关系，并证明了域上有限型正规域中符号幂包含关系的常数存在性。
New phenomena in the containment problem for simplicial arrangements
本文考虑了两种直线的单纯形排列和这两种直线交点的理想$I$。在这两种情况下都存在$127$交点，并且恰好位于$i$构型线上的点（多重点$i$）的数量$t_i$一致。我们表明，在这些例子之一的遏制$I^{(3)} \subseteq I^2$举行，而在其他失败。我们还表明，遏制失败的subarrangement的$21$线。对$¶^2$中点的理想的$I^{(3)}$和$I^2$之间的包含关系的兴趣是由Huneke围绕$2000$发布的一个问题激发的。使用$I^{(3)} \not\subseteq I^2$的点的重叠非常罕见。我们的例子揭示了两个特殊的特点：所有的点都是在$\Q$上定义的，并且涉及到所有的线交点。在目前研究的例子中，只考虑了具有多重性$i\geq 3$的点。我们的安排的新颖性在于在$I^{(3)}$中的元素的几何形状，见证了非包含在$I^2$。在前面的所有例子中，这样的元素都是线性形式的乘积。现在，在这两种情况下，都涉及到一条高次不可约曲线。
On the algebraic properties of the Böröczky configuration
本文研究任意 $n$ 的 Böröczky 构型，计算其定义理想的 Waldschmidt 常数，并借助 $\mathbb{P}(1,2,3)$ 界定极小生成元次数，还构造了 $I^{(3)}\subseteq I^2$ 的新反例。
From Demailly's Inequality to Harbourne--Huneke Containments for General Points
利用Demailly不等式和一般Waldschmidt估计，将无限符号条件简化为单个有限插值条件，证明一般点配置在稠密Zariski开族上对所有r满足Harbourne-Huneke包含关系。
A counterexample to the Hodge conjecture for Kaehler varieties
总结：霍奇猜想是问光滑射影流形上的有理霍奇类是否由代数子集类生成，或者等价地由相干层的陈类生成。在紧致Kaehler流形上，若代数子集被解析子集取代，则Hodge猜想是不成立的。在这里，我们表明，它甚至是假的，对于Kaehler流形，霍奇类生成的陈类的相干层。我们还表明，有限自由分解一般不存在的凝聚层紧Kaehler流形。
Uniform Symbolic Topologies via Multinomial Expansions
什么时候诺特交换环$R$在素数上有一致的符号拓扑--读，什么时候存在整数$D>0$使得所有素理想$P \subseteq R$和所有$r >0$的符号幂$P^{(Dr)} \subseteq P^r$？开创性的工作艾因Lazarsfeld史密斯，延长Hochster和Huneke，并由马和Schwede反过来，提供了一个美丽的答案，在设置有限维优秀的正规环。然后自然地寻找类似物，其中环$R$是不规则的，或者其中上述理想包含可以使用增长速率较慢的线性函数来改进。这份手稿属于这些研究方向的重叠部分。工作与规定类型的素理想$Q$内的张量积的域的有限型在代数闭域$\mathbb{F}$，我们提出了二项式和多项式的扩展标准包含的类型$Q^{(E r)} \subseteq Q^r$，甚至更好，类型$Q^{(E (r-1)+1)} \subseteq Q^r$的所有$r>0$。最后一节综合了关于我们使用这些标准的频率的评论，并提供了一个例子。
Containment problem and combinatorics
在本说明中，我们考虑两种配置的12条线与19个三重点（即，三条线相交的地方）。两者具有相同的组合特征。在这两种配置中，十二条线中的九条有五个三重点和一个双焦点，其余三条线有四个三重点和三个二重点。考虑这些构型的三重点的理想，我们发现，相当令人惊讶的是，对于其中一种构型，包容$I^{(3)} \subset I^2$成立，而对于另一种构型，它不成立。因此，对于由线的配置所定义的点的理想，在普通幂中的符号幂的（非）包容性并不仅仅由该安排的组合特征来确定。此外，与非包容$I^{(3)} \nsubseteq I^2$的配置，我们检查它的参数空间，这原来是一个有理曲线，从而建立一个合理的非包容配置点的存在。这种理性的例子非常罕见。
Geometric interpretations of a counterexample to Hilbert's 14th problem, and rings of bounded polynomials on semialgebraic sets
本文解释了S.黑田东彦在几何上以两种方式：作为特征为0的任何域K上的光滑有理拟投射簇上的正则函数的环，以及在K是实数R的特殊情况下，作为R的正则半代数子集上的有界多项式的环^[3]。这样做的一个动机是找到一个实向量空间的正则半代数子集，使得其上的有界多项式环不会被生成为R-代数。在附录中，我们证明了正规R-簇的正则半代数子集上的有界多项式环的一些一般性质。
Ordinary and symbolic Rees algebras for ideals of Fermat point configurations
费马理想定义了平点构形，这些构形与特定曲线束的成员的相交轨迹密切相关。这些理想最近流行起来，作为某些提议的在象征性权力和普通权力之间进行包容的反例。本文系统地讨论了费马理想族，明确地描述了它的所有普通幂和许多符号幂的极小生成元和极小自由分解。我们用这些来研究普通的和符号的Rees代数的费马理想。具体地说，我们证明了符号里斯代数的费马理想是诺特。一路上，我们给公式的Castelnuovo-Mumford正则性的权力的费马理想，我们确定其减少理想。
Comparing powers and symbolic powers of ideals
我们开发工具来研究问题的包容性的符号权力$I^{(m)}$的权力$I^r$的齐次理想$I$在多项式环$k[{\bf P}^N]$在$N+1$变量在代数闭域$k$。我们得到的结果对$(r,m)$的集合的结构，使$I^{(m)}\subseteq I^r$。作为推论，我们表明，$I^2$包含$I^{(3)}$时$S$是一个有限的通用点集在${\bf P}^2$（从而给出了部分答案的问题Huneke），我们表明，包含定理的Ein Lazarsfeld史密斯和Hochster Huneke是最佳的每一个固定的尺寸和余维。
Containment problems for fat point schemes via asymptotic multiplier ideals
本研究通过渐近乘子理想方法探究射影空间中点的根基理想的包含问题，提出干净渐近乘子理想概念，推导相关不等式，验证双Hesse构形、线的星构形的干净性并提出线排列奇异点的干净性猜想。
Uniform Harbourne-Huneke Bounds via Flat Extensions
在任意域$\mathbb{F}$上，Harbourne证明了对$S = \mathbb{F} [\mathbb{P}^N] = \mathbb{F} [x_0, \ldots, x_N]$中的所有$r>0$和所有齐次理想$I$，$$I^{(N (r-1)+1)} \subseteq I^r$$都成立.对于$N \ge 2$的选择值，这个猜想已经被证明是不成立的：首先是Dumnicki，Szemberg和Tutaj-Gasienska在特征零，然后是Harbourne和Seceleanu在奇正特征。然而，当$I$是$S$中的单项理想时，上述理想包含确实成立。作为（arXiv：1510.02993）的续集，我们提出了一个巨大的正规环类中的所有$r>0$和某些理想类$I$的$I^{(N (r-1)+1)} \subseteq I^r$型包含的准则。特别感兴趣的是一个结果单项式素张量积的仿射半群环。事实上，我们解释了如何有效的乘数$N$在几种情况下，包括：$D$ -第韦罗内塞子环的任何多项式环$\mathbb{F} [x_1, \ldots, x_n]$ $(n \ge 1)$ ;和扩展环$\mathbb{F} [x_1, \ldots, x_n, z]/(z^D - x_1 \cdots x_n)$的$\mathbb{F}[x_1, \ldots, x_n]$。
Is a linear space contained in a variety? - On the number of derivatives needed to tell
令$X^n\subset C^{n+a}$或$X^n\subset P^{n+a}$是仿射或射影空间的解析子流形的一个补片，令$x\in X$是一般点，令L^k是在x处密切于阶m的k维线性空间。如果m足够大，我们期望L包含在X中，因此X包含一个通过几乎每个点的维数为k的线性空间。我们证明了$L\subset X$在下列情况下是：k=1和m=n+1; k=n-1，$a\geq 2$和m=2; $n\geq 4$，k=n-2和m=4。我们证明了这些结果，首先推导出一般意味着遏制密切的顺序，然后表明，在这些情况下，遏制必须发生。如果X是一个投射簇的补丁，我们解决的问题，X是否可以是一个光滑的品种。我们证明了，如果有一个P^k通过每个点和$codim(X)<\frac{k}{n-k}$，那么X不能是一个光滑簇。
Resurgences for ideals of special point configurations in ${\bf P}^N$ coming from hyperplane arrangements
理想的符号幂在交换代数和代数几何中引起了人们的兴趣，最近的研究重点是符号幂和普通幂之间的包含关系。在后一种情况下，已经引入和研究了几个不变量，包括复苏和渐近复苏。最近在这一领域出现了令人兴奋的新发展。几年来，人们一直期望$I^{Nr-N+1}\subseteq I^r$对于${\bf P}^N$中的任何有限点集的理想$I$对所有$r>0$都成立，但在过去的一年里，各种反例现在已经被构造出来，所有这些反例都涉及来自超平面安排的点集。在目前的工作中，我们计算他们的复苏，并获得特别是第一个例子的复苏和渐近复苏是不相等的。
Segre Class Computation and Practical Applications
设$X \subset Y$是光滑投射环面簇$T$的闭（可能奇异）子概型.我们展示了如何计算Segre类$s(X,Y)$作为一个类中的周组$T$。在此基础上，我们给出了有效的方法来计算投影簇的交集，确定代数重数而不工作在局部环，并测试成对包含的$T$的子簇。我们的方法可以在不使用Groebner基的情况下实现;特别是可以使用计算零维多项式系统的解的数目的任何算法。
Harder-Narasimhan Filtrations which are not split by the Frobenius maps
设$X$是特征为$p>0$的理想域$k$上的光滑射影簇，$V$是$X$上的向量丛.如果$X$是一条曲线，并且$V$不是强半稳定的，则某些Frobenius拉回$(F^t)^*V$是强半稳定丛的直和.一个自然的问题是，这是否仍然适用于更高的维度。尤吉什岛，因德拉尼尔·比斯瓦斯Holla，A.J. Parameswaran，and S. Subramanian表明，总是有一个反例，这对任何代数封闭领域的积极特征是不可数的。然而，我们将产生一个光滑的投射簇$\mathbb Z$和秩2向量丛，其中，限制到每个素数$p$在一个非空的开子集的$\spec\mathbb Z$，构成一个反例$p$。事实上，给定任何分裂半单单连通代数群$G$的半单秩$>1$在$\mathbb Z$上，我们将证明，存在一个光滑的射影齐次空间$X_Z$在$\mathbb Z$上和一个向量丛$V$在$X_Z$的秩2，使得对于每个素数$p$在一个非空的开子集的$\spec\mathbb Z$，限制$V\otimes\mathbb F_p$作为一个向量丛在$X_Z\otimes\mathbb F_p$是一个反例。我们只在特征0中使用Borel-Weil-Bott定理，在特征$p$中使用$G/B$的Frobenius分裂。
Bronowski's conjecture and the identifiability of projective varieties
本文通过构造反例否定Bronowski猜想，并基于反例思路证明该猜想的修正版本，将射影簇的可辨识性问题归结为割线缺陷性问题。
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