高维线性系统的交替最小能量方法. 第一部分: SPD 系统
Alternating minimal energy methods for linear systems in higher dimensions. Part I: SPD systems
AI总结：
针对高维线性系统，提出一种基于张量列格式的秩自适应交替方向算法，通过类似最速下降的向量选择扩展张量子空间，并分析其几何收敛率。
摘要：
我们引入了一系列数值算法，用于求解给定矩阵和右端项的高维线性系统，解以张量列格式寻求。所提出的方法是秩自适应的，并遵循交替方向框架，但与ALS方法不同，在每次迭代中，张量子空间通过一组类似于最速下降算法选择的向量进行扩展。在存在近似误差的情况下分析了收敛性，估计了几何收敛率，并将其与最速下降法的收敛率相关联。所提出算法的复杂度在模式大小和维度上是线性的，数值实验中展示的收敛性与DMRG型算法相当。
英文摘要：
We introduce a family of numerical algorithms for the solution of linear system in higher dimensions with the matrix and right hand side given and the solution sought in the tensor train format. The proposed methods are rank--adaptive and follow the alternating directions framework, but in contrast to ALS methods, in each iteration a tensor subspace is enlarged by a set of vectors chosen similarly to the steepest descent algorithm. The convergence is analyzed in the presence of approximation errors and the geometrical convergence rate is estimated and related to the one of the steepest descent. The complexity of the presented algorithms is linear in the mode size and dimension and the convergence demonstrated in the numerical experiments is comparable to the one of the DMRG--type algorithm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
