正交投影算子的平均
Averaging orthogonal projectors
AI总结：
本文针对单一降维方法只能发现特定数据结构的问题，推广 Crone–Crosby 距离为可融合不同维度子空间的加权距离，并据此提出子空间平均框架以结合多种降维方法，模拟验证了其性能。
摘要：
维度是分析大型数据集时的一个主要关注点。一些著名的降维方法包括主成分分析（PCA）、不变坐标选择（ICS）、切片逆回归（SIR）、切片平均方差估计（SAVE）、主 Hessian 方向（PHD）和逆回归估计量（IRE）。然而，这些方法通常只能充分发现数据中某些特定类型的结构或依赖关系。因此，有必要结合来自若干不同降维方法的信息。我们提出了 Crone 和 Crosby 距离的一种推广，即一种能够结合不同维度子空间的加权距离。文中详细考虑了一些自然的权重选择。基于该加权距离度量，我们还讨论了子空间平均的概念，以结合各种降维方法。加权距离和该结合方法的性能通过模拟得到了说明。
英文摘要：
Dimensionality is a major concern in analyzing large data sets. Some well known dimension reduction methods are for example principal component analysis (PCA), invariant coordinate selection (ICS), sliced inverse regression (SIR), sliced average variance estimate (SAVE), principal hessian directions (PHD) and inverse regression estimator (IRE). However, these methods are usually adequate of finding only certain types of structures or dependencies within the data. This calls the need to combine information coming from several different dimension reduction methods. We propose a generalization of the Crone and Crosby distance, a weighted distance that allows to combine subspaces of different dimensions. Some natural choices of weights are considered in detail. Based on the weighted distance metric we discuss the concept of averages of subspaces as well to combine various dimension reduction methods. The performance of the weighted distances and the combining approach is illustrated via simulations.
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