关于Marcel Riesz的一个函数

广义黎曼假设的Hardy-Littlewood-Riesz型等价准则

Hardy-Littlewood-Riesz type equivalent criteria for the Generalized Riemann hypothesis

本文证明了Dirichlet $L$ -函数$L(s,χ)$的广义黎曼假设等价于如下界：设$k \geq 1$和$\ell$为正实数.对于任何$ε>0$，我们有\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{χ(n) μ(n)}{n^{k}} \exp \left(- \frac{ x}{n^{\ell}}\right) = O_{ε,k,\ell} \bigg(x^{-\frac{k}{\ell}+\frac{1}{2 \ell} + ε}\bigg), \quad \mathrm{as}\,\, x \rightarrow \infty, \end{align*}，其中$χ$是模$q$的原始狄利克雷特征标，$μ(n)$表示莫比乌斯函数。这个界推广了Riesz和Hardy-Littlewood给出的上界。