How regularization affects the geometry of loss functions
本文研究了不同正则化器（如权重衰减）如何改变非线性深度神经网络损失函数的几何性质，重点探讨了哪些正则化器能使通常非 Morse 的未正则化损失函数 $L$ 变为 Morse 函数。
2023-07-28 cs.LG math.DG math.OC
The Morse Index Theorem in semi-Riemannian Geometry
我们证明了半黎曼版本的著名的莫尔斯指标定理测地线在半黎曼流形，我们认为一般情况下的两个端点变量的两个子流形。半黎曼测地线的{ \em Maslov指标}的概念是这一理论的核心，它是一个同调不变量，取代了黎曼几何中的几何指标概念。在一般情况下，测地线的Maslov指数被计算为沿着测地线的共轭点的{ \em代数计数}。对于非正定度量，指数形式的指数总是无穷大的，本文证明了给定测地线的所有变分空间都有一个{ \em natural}分裂为两个无穷维子空间，Maslov指数由指数形式对这两个子空间的限制的指数与余指数之差给出.在可变端点的情况下，两个合适的修正项，定义在endmanifold，被添加到等式。通过适当的变量变换，将理论完全推广到更一般的{ \em辛微分系统}的情形，它可以作为哈密顿方程的线性化而得到。
2000-11-14 math.DG
Sublinearly Morseness in Higher Rank Symmetric Spaces
本文在非紧型高阶对称空间中发展了“次线性Morse边界”理论，并证明了相应的次线性Morse引理。
2025-04-29 math.DG math.DS math.GR
The geometric complex of a Morse-Bott-Smale pair and an extension of a theorem by Bismut-Zhang
我们定义与Morse-Bott-Smale向量场相关的几何复形，参见。[Austin-Braam，1995]，及其相关的谱序列。证明了Bismut-Zhang定理在Morse-Bott-Smale函数上的推广。证明是基于Morse-Smale函数的Bismut-Zhang定理，见[Bismut-Zhang，1992]。
2004-09-09 math.DG math.GT
Dynamics, Laplace transform and Spectral geometry
本文考虑闭流形上的向量场$X$，其中该流形具有李雅普诺夫1型。我们假设$X$具有Morse型零点，满足Morse-Smale横截性条件，并且只有非退化的闭轨线.对于一个封闭的单形$η$，把它看作是平凡线丛上的平坦联络，形式上与$X$和$η$相联系的Morse复形的微分由无穷级数给出.我们引入指数增长性条件，并表明，它保证这些系列绝对收敛的一个非平凡的$η$。此外，指数增长性条件保证了我们有一个积分同态从deRham复形的莫尔斯复形。我们发现，整合诱导同构的上同调通用$η$。此外，我们定义了积分同态的复值Ray-Singer型挠率，并根据$X$闭轨线的zeta函数来计算它。最后，我们证明了满足指数增长性条件的向量场集是$C^0$ -稠密的。
2005-08-12 math.DG math.DS
Spectral Kernels and Holomorphic Morse Inequalities for Sequence of Line Bundles
本文推广缩放方法研究非紧复流形上线丛序列的 Bergman 核与谱核渐近行为，导出其主项并将全纯 Morse 不等式推广至紧复流形情形。
2024-04-28 math.CV math.DG
Analytic approach to $S^1$-equivariant Morse inequalities
众所周知，闭流形$M$的上同调群可以利用Morse-Smale函数$f\colon M\to \R$的梯度动力学来重构。这种结构的直接结果是Morse不等式，该不等式根据$M$的贝蒂数为$f$的临界点的数目提供下界。这些不等式可以通过研究变形拉普拉斯算子的渐近性态，用纯分析的方法导出。该方法是由E.在过去的几十年里，他在几何学和拓扑学方面取得了许多伟大的成就。本文采用Witten方法，给出了李群$G=S^1$作用于基础流形，且Morse函数$f$对该作用不变时的等变Morse不等式的一个解析证明.
2018-09-11 math.DG
Witten deformation for noncompact manifolds with bounded geometry
受Landau-Ginzburg模型的启发，我们研究了具有有界几何的非紧流形上的Witten形变，以及Morse函数$f$在无穷远处增长的一些驯服条件.证明了作用在光滑$L^2$型复形上的Witten变形$d_{Tf}$的上同调同构于$f$的E-Smale复形的上同调，以及当$T$足够大时，某对$(M, U)$的相对上同调.我们建立了一个Agmon估计的特征形式的威滕拉普拉斯算子，其中起着至关重要的作用，在确定这些上同调通过威滕的瞬子复杂，定义在特征空间的威滕拉普拉斯算子的小特征值。作为应用，我们得到了在这种情形下的强Morse不等式.
2020-05-10 math-ph math.AP math.DG
Dynamical Morse entropy
本文针对可平铺顺从群作用下的拓扑空间连续函数，定义了同调可检测临界点数量的熵，证明其下界为贝蒂数熵之和，推广了微分几何中的标准莫尔斯不等式。
2024-06-20 math.DG math.DS
Conformal symplectic geometry of cotangent bundles
本文证明了共形辛流形的拉格朗日子流形的Arnol'd猜想的一个版本：一个Lagrange $L$，如果它对Lee形式的限制具有非零Morse-Novikov同调，则它不能被一个$β$-小Hamilton合痕从自身分离出来.此外，对于一般的这种同位素，交点的数目至少等于$β$的Morse-Novikov同调的自由贝蒂数之和。我们也给一个简短的共形辛几何的论述，针对读者谁是熟悉（标准）辛几何或接触几何。
2017-05-31 math.DG math.GT math.SG
Conley pairs in geometry - Lusternik-Schnirelmann theory and more
首先，我们希望激发通过Salamon的定义实现的Conley对[17]是几何中相当有用的构建块：最初我们在试图构建自由闭路空间的Morse过滤时遇到了Conley对[21]。从这很自然地脱落，首先，另一种证明[20]的细胞附着定理在莫尔斯理论[13]，其次，一些想法[12]如何试图组织的封闭非稳定流形的莫尔斯-斯梅尔梯度流作为CW分解的基础流形。放松非退化的临界点孤立，我们使用这些康利对实现梯度流证明的Lusternik-Schnirelmann定理[10]中提出的Bott的调查[3]。其次，我们将利用这个机会提供一个阐述Lusternik-Schnirelmann（LS）理论的基础上增厚的非稳定流形通过康利对。我们将涵盖Lusternik-Schnirelmann定理[10]，杯长，从属，LS精化极小化极大原理，以及LS范畴的一个变体称为环境范畴。
2017-09-14 math.DG math.DS math.GT
Virtually small spectral package of a Riemannian manifold
对于闭可定向黎曼流形上的Morse函数，我们引入了{ \it虚拟小谱包}，这是一个由有限个解析量组成的解析对象，这些解析量是从一对{ \it黎曼度量，Morse函数\}导出的，原则上可以计算。一个表明，他们确定{ \it挠}的基础空间，一个平行的结果，即空间的尺寸的调和形式计算{ \it欧拉-庞加莱特征}的基础空间和扩展的{ \it庞加莱对偶}之间的调和形式和贝蒂数之间的一个封闭的定向黎曼流形。
2020-05-10 math.DG math.SP
Geometry of complete minimal surfaces at infinity and the Willmore index of their inversions
本文研究有限全曲率完备极小曲面经反演后的 Willmore 能量驻定性，证明余维数一下反演极小球面或实射影平面的 Morse 指标等于端点数减三，并探讨渐近平面共点等几何性质与指标的关系。
2024-07-01 math.AP math.DG
Morse theory on moduli of curves
本文从Teichmüller理论视角在稳定曲线模空间引入一族显式Morse函数，利用其良好性质与Weil-Petersson梯度流构建Morse理论，并给出适用于所有亏格与标记点数的首个自然胞腔分解示例。
2025-05-01 math.DG math.GT
The $\overline\partial$-cohomology groups, holomorphic Morse inequalities, and finite type conditions
研究了复流形中退化边界光滑有界区域上全纯线丛的$k^{\text{th}}$张量幂形式上复Laplacian的谱行为.特别地，我们证明了在二维情形下，伪凸域是有限型的当且仅当对任意正常数$C$，当$k$趋于无穷大时，小于或等于$Ck$的$\overline\partial$ -NeumannLaplacian的特征值的个数多项式增长.
2007-12-07 math.CV math.DG
A Morse complex for the homology of vanishing cycles
本文为光滑复代数簇上的正则函数构造 Morse 同调群，通过横截紧化的大扰动生成，与消失循环同调典范同构，并推广至非紧流形的 Morse 同调。
2025-09-25 math.AG math.DG math.GT
Witten deformation of the analytic torsion and the spectral sequence of a filtration
设F是紧致黎曼流形M上的平坦向量丛，f是Morse函数.设g是F上的光滑欧氏度量，g_t=e^{-2tf}g，ρ（t）是F的Ray-Singer解析挠率.假设向量场grad（f）满足Morse-Smale横截性条件，我们给出了\log（ρ（t））对于t \to + \infty的形式为a_0+ a_1 t + bPDMATHABMM \left（\frac tπ \right）+o（1）的渐近展开式，其中系数b是只依赖于F的Betti数的半整数.在f的所有临界值都是有理数的情况下，我们根据与Morse函数相关联的滤波的谱序列来明确地计算系数a_0和a_1。这些结果是Bismut和Zhang的一个定理的应用。
1995-06-05 dg-ga hep-th math.DG
Instability of semi-Riemannian closed geodesics
Poincaré的一个著名结果证明了定向黎曼曲面上的闭非退化测地线$γ$是双曲的。从这个经典定理出发，我们的第一个主要结果是（非）定向流形上类时和类空闭半黎曼测地线的一般不稳定性判据。一个关键的作用是由谱指数，一个新的拓扑不变量，我们定义通过谱流（莫尔斯指数真正无限）的道路自伴弗雷德霍姆算子。证明这一结果的一个重要步骤是一个新的谱流公式。作者在1956年提出的Bott迭代公式，将迭代闭黎曼测地线的Morse指标与所谓的$ω$ -Morse指标明确地联系起来。我们的第二个结果是著名的Bott型迭代公式的半黎曼推广，在封闭的情况下（分别）。类时闭）黎曼（resp.洛伦兹）测地线。我们的最后一个结果是通过控制测地线的Morse指数及其所有迭代得到的强不稳定性结果。
2019-05-13 math.DG math.DS
Eventual Morse Minimality of Heat Flow on Lens Spaces
Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad EAFIT（埃阿菲蒂大学数学科学系）；Grupo GIFES, Facultad de Ingeniería, Universidad de la Guajira（瓜希拉大学工程学院GIFES小组）；Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学数学系）
研究透镜空间上热流能否产生莫尔斯极小函数，通过分析热流的渐近谱展开，证明对于特定透镜空间存在初始数据子集，使热演化在足够大\(t\)时成为有四个特定指数临界点的莫尔斯函数，给出相关现象严格解释。
2026-07-14 math.AP math.DG
Spectral estimates for free boundary minimal surfaces via Montiel-Ros partitioning methods
本研究推广Montiel-Ros方法至带边界紧流形，结合有限群作用与扭同态，得到自由边界极小曲面Morse指标增长率的拓扑定量界，并通过两族对称例子推导出去等变约束后的显式双侧线性界。
2024-07-21 math.AP math.DG
The Fried Conjecture for Morse-Smale Flows: A Survey on Ray-Singer and Milnor Metrics
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理前沿研究所）
综述紧致黎曼流形上莫尔斯 - 斯梅尔流的广义弗里德猜想，通过构建框架、刻画向量场等建立相关不变量，最终证明射线 - 辛格度量与米尔诺度量一致，解析挠率有特定等式关系。
2026-10-19 math.DG
On the exotic De-Rham cohomology. Perturbation theory as a spectral sequence
本文主要研究微分形式和向量场的Morse型不等式所对应的一些新的奇异同调结构。它还包含调查的想法，本作者在1986年制定了这一目标。
2002-02-26 hep-th math-ph math.AT
Asymptotics of Spectral Functions of Lower Energy Forms on Weakly 1-Complete Manifolds
本文在弱1-完备流形上证明了最优基本估计，并据此建立低能量形式的弱Morse不等式，同时将研究拓展至q-凸流形。
2024-07-04 math.CV math.DG
On the Metric Independent Exotic Homology
本文以微分形式的各种子复形为基础，讨论了不同类型的非标准同调群，这是作者近期工作的继续。其中一些结果反映了紧致流形上动力系统的一些有趣的性质。为了研究它们，我们发展了一种特殊的扰动理论，即谱序列。在某些情况下，一个方便的费米子形式主义处理微分形式使用起源于工作的威滕在莫尔斯理论（1982年）和作者的工作，其中一些非标准的模拟莫尔斯不等式的向量场被发现（1986年）。
2004-03-25 math.DG
Laplace transform, dynamics and spectral geometry
本文研究了具有Morse型静止点的闭流形$M$上的向量场$X$.对于这样的向量场，我们定义了指数增长性。上同调类$ξ\in H^1(M;\mathbb R)$是$X$的李雅普诺夫定义了孤立瞬子和闭合轨线的计数函数。如果$X$具有指数增长性的属性，我们显示，在一个温和的假设一般满足，如何这些计数函数可以恢复从频谱几何相关的$(M,g,ω)$其中$g$是一个黎曼度量和$ω$是一个封闭的形式代表$ξ$。这是通过狄利克雷级数及其拉普拉斯变换来完成的。
2005-01-17 math.DG math.DS
An Introduction to Potential Theory in Calibrated Geometry
在校准几何中引入并研究了多重次调和函数的概念。这些函数是复几何中经典多重次调和函数的推广，具有重要的性质。此外，它们大量存在，而相应的多谐波通常相当稀少。将复分析中通过多重次调和函数建立的一些结果推广到标定流形上。特别地，引入并研究了标定流形（X，X）的伪凸性概念。全实子流形的类似物也被引入并用于构造具有莫尔斯理论所允许的每一种拓扑型的严格凸空间的巨大族。具体的校准在全文中用作示例。
2009-01-11 math.CV math.DG
