Groebner Bases Applied to Systems of Linear Difference Equations
在本文中，我们考虑系统的部分（多维）线性差分方程。具体地说，这种系统出现在线性偏微分方程离散化下的科学计算中，以及计算高能物理学中作为多回路费曼积分的递归关系。研究线性差分系统的最通用的算法工具是将其变换为等价的Groebner基形式。我们提出了一个算法，这种转换在Maple中实现。该算法及其实现可用于线性偏微分方程差分格式的自动生成和Feynman积分的约化。给出了一些说明性的例子。
2006-11-09 cs.SC
Groebner bases of reaction networks with intermediate species
在这项工作中，我们考虑的Groebner基地的稳态理想的反应网络配备了质量作用动力学的计算。具体来说，我们专注于中间物种的作用和扩展网络（中间物种）和核心网络（没有中间物种）之间的关系。我们表明，Groebner基础的稳定状态理想的核心网络总是升降机的Groebner基础的稳定状态理想的扩展网络通过线性代数，与一个适当的选择单项式的顺序。如示例所示，这有助于大幅减少计算时间，主要是由于变量和多项式的数量减少。我们进一步表明，如果核心网络的稳态理想是二项式的，那么扩展网络的情况下，只要满足一个额外的条件。对于标准网络，这个额外的条件可以单独从网络结构中直观地探索。
2018-03-21 cs.SC math.AG q-bio.MN
Groebner Bases for Everyone with CoCoA-5 and CoCoALib
我们提出了一个调查有关Groebner基地的发展，并显示明确的例子，在CoCoA。CoCoA项目可以追溯到1987年：其目的是创建一个"数学家"友好的计算实验室，用于研究交换代数，特别是Groebner基地。一直保持着这种"友好"的传统，项目不断发展壮大，软件也被完全重写。CoCoA为所有级别的兴趣提供Groebner基础：从交互式系统CoCoA-5中的基本显式调用，到特定问题的优化实现，再到与开源C++软件库CoCoALib或基于OpenMath的原型服务器的计算机通信。CoCoALib和CoCoA-5的开放性和简洁的设计旨在提供不同级别的使用，并鼓励外部贡献。
2017-04-18 cs.SC math.AC
Criteria for Finite Difference Groebner Bases of Normal Binomial Difference Ideals
本文给出了一元差分多项式环F{y}中正规二项差分多项式理想具有有限差分Groebner基的判定准则，以及在满足这些判定准则时计算有限差分Groebner基的算法.这些准则的新颖之处在于将差多项式理想的复杂性质归结为Z[x]中一元多项式的基本性质。
2017-01-23 cs.SC
Computing strong regular characteristic pairs with Groebner bases
多项式理想的W-特征集是包含在理想的约化字典序Groebner基中的极小三角集。一个多项式集对（G，C）是强正则特征对，如果G是一个既约字典序Groebner基，C是理想的W-特征集<G>，C的饱和理想sat（C）等于<G>，且C是正则的.本文证明了对任意给定生成元的多项式理想I，可以检测到I是单位的，或者通过计算Groebner基构造强正则特征对（G，C），使得I $\subseteq$ sat（C）= <G>and sat（C）整除I，从而理想I可以分裂为饱和理想sat（C）和商理想I：sat（C）.基于这种商分裂策略，利用Groebner基和理想计算，我们设计了一个简单的算法，将任意多项式集F分解为100多个强正则特征对，由此得到F的零点的两种表示：一种表示为强正则Groebner基，另一种表示为正则三角集.给出了强正则特征对和特征分解的一些性质，并通过实例和实验结果说明了该算法及其性能。
2020-07-01 cs.SC
Groebner.jl: Fast Gröbner Tracing in Julia
Laboratoire d’informatique de l’École polytechnique, LIX, UMR 7161, CNRS（巴黎综合理工学院计算机实验室，LIX，UMR 7161，CNRS）
研究如何加速格罗贝纳基计算中的重复运算，核心方法是用 Julia 实现 F4 算法并通过公共接口展示特拉弗索追踪法，支持 SIMD 友好系数类型，主要贡献是让 Julia 软件在相关应用中加速。
2026-08-04 cs.SC math.AC
On lexicographic Groebner bases of radical ideals in dimension zero: interpolation and structure
由于字典序单项式序的消去性质，相应的Groebner基具有很强的结构性质，从中可以很容易地提取出有意义的信息.我们研究这些性质的根理想（共）维零。证明依赖于一个组合分解的有限集的点，从而迭代拉格朗日插值公式允许重建一个最小的Groebner基础。这是第一个完全显式的插值公式多项式形成一个字典式Groebner基，从结构性质可以很容易地读出。归纳性质的证明也产生作为副产品的三角分解算法从Groebner基础。
2021-09-29 cs.SC
Macaulay bases of modules
我们定义了模的Macaulay基，它是Groebner基和Macaulay $H$ -基到交换分次$\mathbf{k}$ -代数上的适当分次模的一般推广，其中两个分次的指标集可以不同.这包括Groebner基地的模块作为一个特殊的情况下，在以前的工作麦考利基地的模块。我们证明了关于Groebner基和Macaulay $H$ -基的标准结果在任意特征域上推广到Macaulay基，包括约化算法和Buchberger准则及算法.一个关键的结果是，麦考利基地，在Groebner基地，尊重对称性时，有一个组$G$均匀作用于一个分次模，在这种情况下，减少算法是$G$ -等变和$\mathbf{k}$ -跨度的麦考利基础是$G$ -不变。我们还表明，Groebner基地的一些标准应用程序可以推广到麦考利基地，包括消除和计算的合冲模块，这需要推广到模块，这是不存在于以前的工作。
2021-08-08 cs.SC math.AC math.RA
Structure of lexicographic Groebner bases in three variables of ideals of dimension zero
我们推广了Lazard在1985年提出的结构定理，从2个变量推广到3个变量.我们使用Gianni-Kalkbrener结果来做这件事，这意味着一些限制，其中存在一个激进的理想的情况。
2011-10-14 cs.SC
Decomposition of polynomial sets into characteristic pairs
一个特征对是一对（G，C）多项式集，其中G是一个简化的字典序Groebner基，C是包含在G中的最小三角集，并且C是正规的。在本文中，我们证明了任何有限的多项式集P可以分解成算法与相关的零关系，这提供了表示的Groebner基地和三角集的零集的P的许多特征对。我们提出的分解算法利用Ritt特征集和字典式Groebner基地之间的内在联系，基本上是基于字典式Groebner基地的结构特性和计算。几个很好的性质的分解和由此产生的特征对，特别是Groebner基础和三角集之间的关系，在每对，建立。最后给出了具体的例子来说明算法和一些性质。
2017-02-28 cs.SC
Lexicographic Groebner bases of bivariate polynomials modulo a univariate one
设T（x）在k[x]中是一个单调的非常数多项式，记R=k[x] /（T）为商环.考虑R[y]中的两个二元多项式a（x，y），b（x，y）。在第一部分中，T = p^e被假定为是一个不可约多项式p的幂。一个新的算法，计算理想（a，b，p^e）的最小字典Groebner基，介绍。第二部分扩展此算法时，T是一般的通过“本地/全球”的原则实现的“动态评价”的泛化，限制到目前为止，多项式T是squarefree。该算法根据“可逆/幂零”的情况区分产生分裂，扩展了经典动态求值中通常的“可逆/零”。该算法属于欧几里德族，其核心是a和b模T的子结式序列。特别是没有因式分解或Groebner基础计算是必要的。理论背景依赖于Lazard的结构定理的字典Groebner基地在两个变量。在Magma中实现了一个实现。基准测试清楚地显示了这种方法与Groebner方法相比的好处，有时是重要的。
2021-09-29 cs.SC math.AC
On modular computation of Groebner bases with integer coefficients
针对整数系数多项式环中递增理想并集的 Gröbner 基计算问题，论文提出利用有理化理想及模 $m$ 理想的已知 Gröbner 基进行模计算的算法。
2013-12-22 cs.SC math.AC
An efficient reduction strategy for signature-based algorithms to compute Groebner basis
本文介绍了一种基于签名的算法计算Groebner基的策略。基于签名的算法生成S-对而不是S-多项式，并使用S-约简而不是Buchberger算法中使用的通常约简。s-约化有两种策略：一种是唯顶约化策略，即只对首单项式进行s-约化。另一种是全约化策略，即所有单项式都是s-约化的。本文提出了一种新的S-对的S-约简策略，我们称之为选择-满策略。在实验中，这种策略是有效的计算约化Groebner基。对于计算签名Groebner基，它是三种策略中最有效的，但不是最差的。
2018-11-30 cs.SC math.AC
Signature-based algorithms to compute Groebner bases
本文描述了一个Buchberg风格的算法来计算一个多项式理想的Groebner基础，允许基于“签名”的选择策略。我们解释了如何最近的三个算法可以被看作是不同的策略，新的算法，以及如何制定其他的选择策略。我们描述第四个作为一个例子。我们从理论和实证两个方面对这些策略进行了分析，得出了一些令人惊讶的结果。
2011-06-11 cs.SC math.AC
An Elimination Method to Solve Interval Polynomial Systems
在区间计算的背景下，有几种有效的方法来求解线性区间多项式系统，然而，区间多项式系统的一般情况还没有被覆盖。本文介绍一种新的消元法，用于一般情况下区间多项式方程组的求解和分析。这种方法是基于计算代数几何概念，如多项式理想和Groebner基础计算。特别地，我们使用综合Groebner系统的概念来保持区间系数之间的依赖性。在文章的最后，我们将陈述我们的方法来评估其性能的一些应用。
2015-06-08 cs.SC
Computation of unirational fields
其中一个主要的贡献，沃尔克Weispfenning提出的数学是有关Groebner基地理论。在本文中，我们提出了一个算法，计算所有代数中间子域在一个可分离生成的单有理域扩展（特别是包括零特征的情况下）。其中一个主要工具是Groebner基理论。我们的算法还需要计算原始元素和代数扩展的因式分解。此外，该方法还可以推广到非线性生成的K-代数。
2008-04-10 cs.SC math.AC
A Maple Package for Computing Groebner Bases for Linear Recurrence Relations
本文描述了一个计算线性差分理想的Groebner基的Maple软件包。底层算法是基于Janet和Janet样单项式划分与有限差分算子。该软件包可用于，例如，自动生成差分格式的线性偏微分方程和减少多圈费曼积分。这两个可能的应用程序说明了简单的例子拉普拉斯方程和一个单圈标量积分的传播型
2005-11-10 cs.MS cs.SC
Groebner basis structure of ideal interpolation
本文研究理想插值中零维理想Groebner基与插值条件泛函的关系，提出逆向完全约化基概念，并给出任意相容序下快速计算理想投影算子核的约化Groebner基的算法。
2024-01-15 cs.NA cs.SC math.NA
Using Machine Learning to Decide When to Precondition Cylindrical Algebraic Decomposition With Groebner Bases
University of Cambridge（剑桥大学）；Coventry University（考文垂大学）；University of Bath（巴斯大学）
柱形代数分解（CAD）是计算代数几何中的一个重要工具，特别是实闭域上的量词消去。然而，它可能是昂贵的，最坏情况下的复杂度是输入大小的两倍指数。因此，重要的是以CAD算法的最佳方式制定问题。一种可能性是使用Groebner基（GB）理论对输入多项式进行预处理。以前的实验表明，虽然这通常对CAD算法非常有益，但对于某些问题，它可能会显着恶化CAD性能。在本文中，我们调查是否机器学习，特别是一个支持向量机（SVM），可用于识别这些CAD问题，受益于GB预处理。我们对超过1000个问题（比以前的研究大很多倍）进行了实验，发现机器学习的选择比人类的启发式更好。
2016-08-15 cs.LG cs.SC
Solving sparse polynomial systems using Groebner bases and resultants
多项式方程组的求解是非线性代数和计算代数的核心问题。自60年代Buchberger提出计算格罗布纳基的算法以来，这一领域取得了很大的进展。此外，这些方程已被用于建模和解决来自不同学科的问题，如生物学，密码学和机器人技术。目前，我们对如何从理论和算法的角度解决通用系统有了很好的理解。然而，在实际中遇到的多项式方程通常是结构化的，因此许多关于一般系统的性质和结果并不适用于它们。由于这个原因，在过去的几十年中，一个共同的趋势是开发数学和算法框架，以利用多项式系统的特定结构。可以说，最常见的结构是稀疏性;也就是说，系统的多项式只涉及几个单项式。自从伯恩斯坦、霍凡斯基和库什尼连科对稀疏系统解的期望数的研究以来，复曲面几何一直是采用稀疏性的默认数学框架。特别是，它是经典工具扩展到系统背后的关键问题，例如结果计算，同伦延拓方法，以及最近的格罗布纳基。在这项工作中，我们将回顾这些经典的工具，他们的扩展，并利用稀疏性解决多项式系统的最新进展。这份手稿补充了在ISSAC 2022会议上提出的入门教程。
2022-05-19 cs.SC math.AG
Reading Rational Univariate Representations on lexicographic Groebner bases
本文提出从二元消元理想的字典序Gröbner基中直接读取有理单变量表示（RUR）的闭式方法，无需理想处于形状位置，并基于FGLM核心给出简单算法，实验表明其与不认证参数化的先进实现竞争。
2025-05-23 cs.SC math.AC
Comprehensive Involutive Systems
本文考虑了参数理想，引入了综合对合系的概念。这个概念在对合基理论中起着与Groebner基理论中的综合Groebner系概念相同的作用。给定一个参数理想，参数空间被分解成一个有限的细胞集。每个胞元产生该胞元中参数值的理想的相应对合基。利用计算对合基的Gerdt-Blinkov算法和计算综合Groebner系统的Montes算法，给出了构造综合对合系统的一个算法.所提出的算法已在Maple中实现，我们提供了一个说明性的例子，显示了一步一步的综合对合系统的建设，我们的算法。
2012-06-15 cs.SC math.AC math.RA
Connecting Gröbner Bases Programs with Coq to do Proofs in Algebra, Geometry and Arithmetics
我们描述了我们如何连接三个程序，计算Groebner基地Coq，做自动证明代数，几何和算术表达式。其结果是一套Coq策略和证书机制（可在http：//www-sop.inria.fr/marelle/Loic.Pottier/gb-keappa.tgz下载）。这些程序是：F4、GB \和gbcoq。F4和GB是计算Groebner基的最快的（据我们所知）可用程序。Gbcoq通常很慢，但被证明是正确的（在Coq中），我们将其应用于我们的特定问题以提高效率。自动化证明涉及系数和不定式在R或Z中的多项式的等式和非等式，并且通过希尔伯特的零点变换（Nullstellenetron）减少到Groebner计算来完成。我们也适应哈里森的结果，允许证明一些定理的模算术。Coq和计算Groebner基的程序之间的连接是使用Coq的“外部”策略完成的，该策略允许调用接受xml输入和输出的任意程序。我们还制作证书，以使证明脚本独立于外部程序。
2010-07-21 cs.LO cs.SC
List Decoding Algorithm based on Voting in Groebner Bases for General One-Point AG Codes
我们将Lee，Bras-Amorós和O 'Sullivan（2012）提出的Miura-Kamiya Cab曲线上的单点AG码的唯一译码算法推广到一般的单点AG码，没有任何假设。我们还将他们独特的译码算法扩展到列表译码，对其进行修改，使其可以与Feng-Rao改进码构造一起使用，证明其纠错能力与Andersen和Geil（2008）的最小距离下界的一半相等，这在原始提案中除了一点Hermitian码之外没有做到，去除不必要的计算步骤，使其可以更快地运行，并从有限域上的乘法和除法的角度分析了它的计算复杂性。作为一种独特的译码算法，该算法在理论上和实验上与单点Hermitian码的BMS算法一样快。作为一个列表解码算法，大量的实验表明，它可以比Beelen和Brander（2010）的算法更快地处理许多中等大小/常见的输入。应该注意的是，作为列表解码算法，所提出的方法似乎具有指数最坏情况的计算复杂性，而先前的提议（Beelen和Brander，2010; Guruswami和Sudan，1999）具有多项式复杂性，并且对于非常大/特殊的输入，所提出的方法预计比先前的提议慢。
2016-02-18 cs.IT cs.SC math.AC
An Efficient Algorithm for Factoring Polynomials over Algebraic Extension Field
提出了代数扩张域上多项式因式分解的一个新的有效算法。扩张域由模极大理想的多项式环定义。如果极大理想由它的Groebner基给出，则不需要额外的Groebner基计算来分解这个扩张域上的多项式。利用线性代数技巧，通过一般的线性映射，得到基场上的多项式。然后这个多项式在基场上被因式分解。利用这些因子，得到了扩张域上多项式的因子分解。新算法已被实现，计算机实验表明，新算法是非常有效的，特别是在复杂的例子。
2010-10-01 cs.SC
Normalization of Quaternionic Polynomials in Coordinate-Free Quaternionic Variables in Conjugate-Alternating Order
本文首次给出四元数多项式代数定义理想在共轭交替序下猜想Groebner基的可读认证，通过自由结合代数中的新归约技术提高效率并减少所需S-多项式数量。
2025-04-21 cs.SC
A lattice formulation of the F4 completion procedure
我们写了一个程序构造非交换Groebner基地。约简是由特定的线性投影器完成的，称为约简算子。该算子使我们能够使用一个格结构同时减少每个S-多项式到一个唯一的范式。我们编写了一个实现以及一个例子来说明我们的过程。此外，格的构造是通过高斯消去法完成的，这将我们的过程与构造交换Groebner基的F4算法联系起来。
2018-01-30 cs.SC
List Decoding Algorithms based on Groebner Bases for General One-Point AG Codes
在比Beelen和Brander弱的假设下，将Lee和O 'Sullivan基于格罗布纳基提出的Hermitian码的列表译码算法推广到一般的单点AG码.利用同样的原理，我们还将Lee，Bras-Amorós和O 'Sullivan提出的Miura-Kamiya $C_{ab}$曲线上的单点AG码的唯一译码算法推广到一般的单点AG码，而不作任何假设.最后，将后一种唯一译码算法推广到列表译码，并对其进行修改，使之能与Feng-Rao改进码结构一起使用，证明了其纠错能力与Andersen和Geil提出的最小距离下界的一半相等，从而避免了原方案中的不足，并去掉了不必要的计算步骤，使其运行速度更快。
2012-04-23 cs.IT cs.SC math.AC
Computation of unirational fields (extended abstract)
在本文中，我们提出了一个算法，计算所有代数中间子域在一个可分离生成的单有理域扩展（特别是包括零特征的情况下）。其中一个主要工具是Groebner基理论。我们的算法还需要计算计算原始元素和分解代数扩张。此外，该方法还可以推广到非线性生成的K-代数。
2008-04-10 cs.SC math.AC
An Algebraic Model For Quorum Systems
仲裁系统是分布式容错计算中用于捕获信任假设的关键数学抽象。quorum系统是所有进程的子集的集合，称为quorums，具有每对quorums具有非空交集的属性。它们可以在许多可靠的分布式系统的核心中找到，例如云计算平台，分布式存储系统和区块链。在本文中，我们给出了一个新的解释的法定人数系统，从经典的多数为基础的法定人数系统，并将其扩展到拜占庭法定人数系统。我们提出了一个代数表示的理论基础的法定人数系统利用多元多项式理想，将这些系统的属性，并研究其代数品种。为了实现这个目标，我们将利用布尔Groebner基地的性质。布尔Groebner基的良好性质使我们能够避免检查quorum系统的一致性和可用性所需的部分组合计算。我们的研究结果提供了一种新的方法来测试从代数和算法的角度来看，仲裁系统的属性。
2020-06-02 cs.DC cs.SC
Minimizing polynomial functions on quantum computers
本文回顾了计算代数几何在经典和量子优化中的一些最新应用。本文假设了代数几何和绝热量子计算（AQC）的基本背景，并集中介绍了应用代数几何构造的具体示例（在量子计算机上测试的Python代码）：解决二进制优化，因子分解和编译。相反的方向，我们还简要描述了一种新的使用量子计算机计算Groebner基地复曲面理想。我们还展示了如何Groebner基地发挥作用，在研究AQC在一个基本的水平内莫尔斯理论框架。最后，我们将我们的工作放在正确的角度，将这段旅程定位为4000多年前从我们的古人开始的一次奇妙的智力探险的一部分。
2019-03-19 cs.SC math-ph math.AG
A Novel Algebraic Geometry Compiling Framework for Adiabatic Quantum Computations
绝热量子计算（AQC）是求解困难整数多项式优化问题的一种有吸引力的方法。可用的硬件限制的哈密顿量的结构，只允许成对的相互作用。这就要求首先将原始优化问题从其多项式形式转换为二次无约束二元优化（QUBO）问题，我们将其视为代数几何中的问题。此外，需要嵌入这种QUBO-哈密顿算子的硬件图-将问题的变量分配给物理优化器的量子位-不是一个完整的图，而是一个具有有限连通性的图。这种“问题图到硬件图”的嵌入也可以被构造为计算特定多项式理想的Groebner基的问题。我们开发了一个系统的计算方法来准备一个给定的多项式优化问题的AQC在三个步骤。第一步通过计算从输入目标函数的单项式生成的复曲面理想的Groebner基，将输入多项式优化问题简化为QUBO。第二步计算可行嵌入。第三步计算与给定嵌入相关联的绝热哈密顿量的谱隙。这些步骤适用于整数多项式优化问题之外的其他问题。我们的论文提供了第一个通用的计算程序，可以直接作为一个$translator$解决多项式整数优化。或者，它可以作为一个测试平台（小规模的问题），以帮助设计有效的启发式量子编译器，通过研究各种选择的减少和嵌入在一个系统和全面的方式。我们的框架的一个额外的好处是通过研究$\mathcal Y-$次要通用图来设计伊辛架构。
2018-10-02 cs.IT cs.SC math.AG
Implementing Gröbner bases for operads
我们提出了一个实现的算法计算Groebner基的运算由于第一作者和A。霍罗什金我们讨论了实际的算法，选择的实施平台和数据表示，我们的方法的优点和缺点。
2010-08-26 cs.MS cs.SC math.QA
A Polynomial-time Algorithm to Compute Generalized Hermite Normal Form of Matrices over Z[x]
本文给出了计算Z[x]上矩阵F的广义Hermite范式的一个多项式时间算法，即计算由F的列向量生成的Z[x]-模的约化Groebner基.该算法也被证明是实际上更有效的比现有的算法。该算法基于三个关键要素。首先，采用F4风格的算法来计算Groebner基，其中设计了一种新的延拓，使得所考虑的系数矩阵具有多项式大小。第二，使用快速算法计算Z上矩阵的Hermite范式。第三，通过对广义Hermite范式中多项式的次数和高度界的精确估计，保证了算法的复杂度。
2016-07-21 cs.CC cs.SC
