Converting non-periodic tilings with Tile(1, 1) into tilings with three types of pentagons, I
本文提出一种转换方法，将 Smith 等人利用替换法构造的 Tile(1, 1) 非周期铺砌转化为三种五边形铺砌，并指出排除任意替换后仅有两种图案，且转换中不细分菱形。
2025-05-15 math.MG
Spherical tilings by congruent quadrangles over pseudo-double wheels (III) - the essential uniqueness in case of convex tiles
在[B.Gruenbaum，G.C. Shephard，Spherical tilings with transitivity properties，in：The geometric vein，Springer，New York，1981，pp. 65-98]，他们证明了“对于由全等瓦片拼接的每个球面法线瓦片，如果它是同构的，则该图是柏拉图立体、阿基米德对偶、n-π双金字塔（n>2）或n-π多面体（即，2n个面的伪双轮）"。在球面单面镶嵌的分类中，人们自然会问他们的结果的一个“逆问题”：对于上述拓扑的球面单面镶嵌，什么时候镶嵌是等面的？证明了对于任意球面单面四边形镶嵌拓扑上为正六面体，若面数为6或8，若镶嵌面为风筝形、飞镖形或菱形，或镶嵌面为凸形，则镶嵌面为等面体.
2013-12-11 math.MG
Tilings of convex sets by mutually incongruent equilateral triangles contain arbitrarily small tiles
我们证明了欧氏平面$\mathbb{R}^2$上的凸集由大小不同的等边三角形拼接而成的每一个拼接都包含任意小的拼接块。的证明是纯粹的小学的讨论一个家庭的平铺的全平面$\mathbb{R}^2$，这是基于一个令人惊讶的连接到一个随机游动的有向图。
2017-11-24 math.MG
Triangle Tiling I: The tile is similar to ABC or has a right angle
三角形T对三角形ABC的N -平铺是将ABC写成N个全等于T的三角形的并集的一种方式，仅在它们的边界处重叠。三角形T是“瓦片”。瓷砖可能与ABC相似，也可能不相似。本文是几篇论文中的第一篇，这几篇论文一起寻求三元组（ABC，N，T）的完整特征，使得ABC可以被T N -平铺。在本文中，我们考虑的情况下，瓷砖是类似的ABC，瓷砖是一个直角三角形的情况下，当ABC是等边的。我们使用（仅）技术从线性代数和初等域论，以及初等几何和三角。我们的结果（在本文中）如下：当瓷砖是类似于ABC，我们总是有“二次瓷砖”时，N是一个平方。如果瓦片类似于ABC，并且不是直角三角形，则N是正方形。如果N是两个平方的和，N = e^2 + f^2，那么一个有e和f两条边的直角三角形可以用类似于ABC的瓷砖进行N -瓷砖化;这些瓷砖被称为“双二次”。如果瓷砖和ABC是30-60-90个三角形，那么N也可以是一个正方形的三倍。如果T与ABC相似，则这些是所有可能的三元组（ABC，T，N）。如果瓷砖是直角三角形，当然它可以瓷砖一个特定的等腰三角形当N是平方的两倍，在某些情况下当N是平方的六倍。等边三角形可以是3-平铺的和6-平铺的，因此对于任何n，它们也可以是3n^2和6n^2平铺的。我们还发现了一个当N是一个正方形的3倍时的镶嵌族，我们称之为“六边形镶嵌”。“如果T是一个直角三角形或类似于ABC，则这些平铺将穷尽…
2012-06-05 math.MG
An aperiodic tiling of variable geometry made of two tiles, a triangle and a rhombus of any angle
非周期镶嵌是一个众所周知的研究领域。最初是由数学家开发的，因为它们代表了数学上的挑战，以及它们所产生的图案的美丽，当它们的实际用途开始出现时，它们成为一个日益增长的兴趣领域。这主要是在80年代建立了与准周期材料的联系。人们发现了几种由两块瓷砖组成的非周期性瓷砖，第一种是彭罗斯在70年代发现的。从那时起，科学家们发现了其他非周期性的瓷砖，包括正方形三角形的瓷砖，这种瓷砖对研究十二方准晶和软物质特别有用。在此基础上，我们发现了无限多个由两块瓷砖组成的非周期性瓷砖，一个三角形和一个任意角度的菱形。因此，提出了一种可变几何形状，即连续可变换的非周期性镶嵌，其底层结构是十二边形的。我们讨论这个极限情况下，菱形是如此之薄，它变得不可见。在这个无限镶嵌空间的边界是两个周期性的;这代表了周期性和非周期性镶嵌的统一观点。
2021-10-17 math.MG
On multiple translative tiling in the plane
本文证明了平面上的多重平移瓦片必定是多重格瓦片。
2019-09-30 math.MG
Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings
允许平面倾斜的凸五边形的分类问题是一个长期未解决的问题。在这篇文章之前，有14种已知的不同类型的凸五边形承认平面的倾斜。其中五种类型允许瓦片传递镶嵌（即关于镶嵌的对称群存在单个传递性类）。其余9种类型不允许瓦片传递镶嵌，但允许2-块传递镶嵌或3-块传递镶嵌;这些镶嵌是由2或3个五边形的簇组成的镶嵌，使得这些簇形成瓦片-2-传递或瓦片-3-传递镶嵌。在这篇文章中，我们提出了一些组合的结果，五边形，承认$i$ -块传递平铺$i \in \mathbb{N}$。这些结果形成了一个自动化的方法来寻找所有的五边形，承认$i$块传递平铺每个$i \in \mathbb{N}$的基础。我们将介绍这个算法的方法和计算机搜索的结果，到目前为止，其中包括一个完整的分类的所有五边形承认1-，2-，和3-块传递镶嵌，其中是一个新的第15类型的凸五边形，承认一个瓷砖-3-传递镶嵌。
2015-10-05 math.MG
Triangle Tiling II: Nonexistence theorems
三角形T对三角形ABC的N -平铺是将ABC写成N个全等于T的三角形的并集的一种方式，仅在它们的边界处重叠。三角形T是“瓦片”。瓷砖可能与ABC相似，也可能不相似。我们希望通过完全表征三元组（ABC，T，N）来理解可能的平铺，使得ABC可以被T N -平铺。特别地，这种理解应该使我们能够指定对于哪个N存在瓦片T和由T进行N-瓦片化的三角形ABC;或者给定N，确定哪些瓦片和三角形可以用于N-瓦片化;或者给定ABC，确定哪些瓦片和N可以用于N-瓦片ABC。这是关于这个问题的四篇论文中的第二篇。在第一篇文章中，我们讨论了ABC与T相似的情况，以及T是直角三角形的情况。本文假设ABC与T不相似，T也不是直角三角形，并且如果T有120度角，则T是等腰三角形。在这些假设下，只有两族平铺。有一个等边三角形ABC由一个等腰瓷砖与底角30度的平铺，并有新发现的“三次平铺”，这是在本系列的第三篇文章中处理。在3α+ 2β= π或3β+ 2α= π且α不是π的有理数倍数的特殊情况下会出现这些问题，其中α和β是瓦片的两个最小角，瓦片的边有有理数比。当瓷砖有一个120度角，而不是等腰的情况下，采取了在随后的文件。我们使用线性代数和初等域论的技巧，在一种情况下，我们使用一些代数数论。我们使用一些计数参数和一些初等几何和三角学。
2012-06-05 math.MG
Twofold Translative Tilings with Convex Bodies
设$K$为凸体。已知的是，一般而言，如果$K$是$k$倍翻译瓦片（对于某个正整数$k$），则$K$可能不是（单倍）翻译瓦片.然而，在本文中，我将证明，对于每个凸体$K$，$K$是一个双重平移瓦片当且仅当$K$是一个平移瓦片。
2016-01-17 math.MG
Substitution tilings with statistical circular symmetry
引入了两个新的替代平铺系列，其中的瓷砖出现在无限多个方向。它示出的几个属性的著名的风车平铺也持有这些新的例子，事实上，所有的替代平铺显示瓷砖在无限多个方向。
2007-04-19 math.MG
Cyclotomic Aperiodic Substitution Tilings with Dense Tile Orientations
将顶点由$2n$阶分圆域$\mathbb{Q}\left(ζ_{2n}\right)$支持的分圆非周期置换镶嵌类（CAST）推广到具有密集瓦片定向（DTO）的情形.证明了每个具有DTO的CAST都有一个带无理宗量的膨胀乘子$η$，使得$\frac{kπ}{2n}\neq\arg\left(η\right)\notin\mathbb{πQ}$ .讨论了$n\geqq2$的最小膨胀乘子$η_{min.irr.}$。对$n\in\left\{ 2,3,4,5,6,7\right\} $给出了具有DTO、最小膨胀乘子$η_{min.irr.}$和个体二面角对称$D_{2n}$的CAST的例子。$n\in\left\{ 2,3,4,5,6\right\} $的示例也产生有限局部复杂度（FLC）。
2019-01-22 math.MG
Tiling of Hyperbolic Surface by Multiple Tiles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究双曲面负欧拉特征数情况下用n边形(n≥7)铺砌的有限问题，提出固定瓷砖数的算法，并计算小亏格表面用两个瓷砖的铺砌数，讨论多瓷砖铺砌中不同边长的数量。
2026-04-28 math.CO math.MG
Generalization of Non-periodic Rhomb Substitution Tilings
非周期菱形镶嵌的一般替代规则。根据所有替代瓦片都由离散数量的原瓦片组成的要求，可以得出具有角度s*pi/n的替代瓦片必须由具有角度（s+t）*pi/n和（s-t）*pi/n的原瓦片对构建，除非t=0。此外，我们要求在替换瓦片边缘的开始和结束之间必须有离散数量的原型边缘。通过比较构成替代瓦片的离散数目的原瓦片的总面积和从假定的边缘形状导出的总面积，导出一组替代规则。一般化涉及引入具有负面积或减法瓦片的原型。
2015-09-07 math.MG
Tilings of an Isosceles Triangle
San José State University（圣何塞州立大学）
本文研究等腰三角形ABC用三角形T铺砌的问题，探讨了直角、角倍数关系及120度角三种瓷砖形式，证明了直角瓷砖N必须为偶数，其他两种情况需满足边长比例有理数及N的必要条件。
2026-10-28 math.MG
Irregular tilings of regular polygons with similar triangles
我们说三角形$T$平铺多边形$A$，如果$A$可以被分割成许多与$T$相似的不重叠三角形。证明了如果$N>42$，则至多存在三个非相似三角形$T$，使得$T$的角是$π$的有理数倍数，并且$T$平铺正则$N$ -边形.如果块有两个角，即$\al$和$\be$，使得在块的每个顶点处，角$\al$的数量与角$\be$的数量相同，则将块平铺成相似三角形称为规则的。否则，瓷砖是不规则的。众所周知，对于每个正多边形$A$，有无穷多个三角形规则地平铺$A$。我们证明了，如果$N>10$，则三角形$T$不规则地平铺正则$N$ -边形，仅当$T$的角是$π$的有理数倍数.因此，对于每个$N>42$，不规则地平铺规则$N$ -gon的三角形的数量最多为三个。
2020-02-27 math.MG
Characterization of the Two-Dimensional Five-Fold Lattice Tiles
在1885年，Fedorov发现一个凸区域可以形成欧几里得平面的格子镶嵌当且仅当它是一个中心对称的六边形。已知在欧氏平面中没有其他凸区域可以形成二重、三重或四重格块，但是存在中心对称的凸十边形可以形成五重格块。本文刻画了所有能构成欧氏平面五重格点镶嵌的凸区域。
2018-03-17 math.MG
6-Fold Quasiperiodic Tilings With Two Diamond Shapes
用于覆盖表面的一组瓦片由两种类型的瓦片组成。它们中的每一个的基本形状都是菱形或菱形，都有60度和120度的角度。它们通过将一个标记为具有60度的底角的锐角钻石，另一个标记为具有120度的底角的钝角钻石来区分。这两种类型的瓷砖可以用箭头、凹口或彩色线条标记，以保持它们的区别。凹口可以用作匹配规则，使得锐角菱形可以在其他匹配中形成具有6重旋转对称性的星形。类似地，三个钝角菱形可以与3重旋转对称匹配以形成六边形以及其他可能性。公开了非周期性膨胀方案的两种变型，以将九个瓦片匹配成两个较大的瓦片。第二代的这两个较大的图块是遵循与原始图块相同的匹配规则的新基础形状。因此，暴胀可以无限重复，产生一个任意大的表面，覆盖着一个6倍的准周期瓷砖，只包括两个钻石形状。瓷砖的缺口可以创造性地变形，使土方工程式的数字。
2015-03-10 math.MG
Characterization of the Two-Dimensional Five-Fold Translative Tiles
在1885年，Fedorov发现一个凸区域可以形成欧几里得平面的格子镶嵌当且仅当它是一个中心对称的六边形。已知在欧氏平面上不存在其它凸区域可以形成二重、三重或四重平移镶嵌，但存在中心对称的凸八边形和凸十边形可以形成五重平移镶嵌。本文刻画了所有能构成欧氏平面五重平移拼接的凸区域。
2018-03-17 math.MG
Tiling of regular polygons with similar right triangles
我们证明了对于每个$N\ne 4$，只有一个直角三角形，瓷砖定期$N$边形。
2021-09-16 math.MG
Tilings of convex polygons by equilateral triangles of many different sizes
一个等边三角形不能被分割成许多互不全等的等边三角形[Tutte 1948]。因此，Tuza [Tuza 1991]要求最大数量的$s=s(n)$，使得存在由$s(n)$不同大小的$n$等边三角形平铺的等边三角形。我们完全解决了这个问题，并考虑了类似的问题，剖分凸$k$ -三角形成等边三角形，$k=4,5,6$。此外，我们讨论了所有这些问题的子类平铺，使没有两个瓷砖是相互翻译。
2019-03-25 math.MG
Optimal monohedral tilings of hyperbolic surfaces
六边形是欧几里得平面上任何给定面积的最小周长瓦片。在双曲曲面上，这个“等周”问题对于每个给定的区域都不同，因为解不成比例。Cox证明了一个规则的120度角的$k$ -平行四边形是等周的。对于区域$π/3$，正七边形具有120度角，因此平铺许多双曲曲面。对于其他领域，我们展示了许多瓷砖的存在，但没有提供约束最优。在封闭的双曲曲面上，我们通过使用剪切和粘贴变换和凸包的简化论证来验证正则$7$ -边形是$3\leq n \leq 10$的最优$n$ -面积为$π/3$的边形.然而，对于$n>10$，很难排除不规则平铺的非凸$n$ -片。
2019-11-11 math.MG
No Prime Tiling of an Isosceles Triangle
研究等腰三角形的分割问题，发现其不能切成大于三个的全等素数三角形，只有等边三角形能切成三个全等三角形。
2026-09-28 math.MG
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons III: Edge Combination $a^5$
全等等边五边形正好有八个边到边的球体镶嵌：三个五边形细分镶嵌有12、24、60个瓦片;四个地球地图镶嵌有16、20、24、24个瓦片;一个翻转修改的地球地图镶嵌有20个瓦片。
2021-06-28 math.CO math.MG
A self-ruling monotile for aperiodic tiling
整个平面可以用一个瓷砖来铺设吗？这被称为ein Stein问题（在德语中，ein Stein的意思是一块瓷砖）。本文提出了一种单片，提供非周期性平铺的设计。它是基于泰勒和索科拉尔开发的monotile（其非周期性是通过主要是六边形的非连接瓷砖来实现的）和基于图案的六边形瓷砖。在这里，一个单一的替代规则使其形状，并在应用它时，强制平铺是非周期性的。被提议的monotile，称为HexSeed，是自治的。它由16个相同的六边形组成，称为子图，所有的边缘都代表相同的二进制标记。没有主题是需要对subtiles使它的工作。额外的图案可以添加到单体，以提供一些见解。非周期性的证明与使用这样的图案。
2022-01-09 math.MG
NP-completeness of Tiling Finite Simply Connected Regions with a Fixed Set of Wang Tiles
该研究证明用23个Wang瓦片的固定集平铺有限单连通区域是NP完全问题，还推导出111个矩形的对应问题为NP完全，减少了所需瓦片数，改进了前人结果。
2024-09-18 cs.CC math.CO math.MG
Tiling a circular disc with congruent pieces
本文证明了以$k \leq 3$拓扑圆盘为瓦片的封闭圆单位圆盘的任何单面瓦片都具有$k$ -fold旋转对称性。这一结果产生的第一个非平凡的估计有关的最小数量的瓷砖在一个单面瓷砖的圆盘中，不是所有的瓷砖包含的中心，和第一步回答问题的斯坦出现在问题书的克罗夫特，法尔科纳和盖伊在1994年。
2019-10-09 math.GT math.MG
Icosahedral Tiling with Dodecahedral Structures
二十面体和十二面体可以被分解成从Delone多面体的3D面投影的四面体瓦片，Delone多面体代表根晶格D_6的深孔和浅孔。边长为1和τ的四面体的六个基本瓦片被组装成四个复合瓦片，其面垂直于二十面体群的五重轴。3D欧几里得空间由具有由膨胀矩阵生成的膨胀因子τ的复合瓦片面对面地平铺。非周期镶嵌是Tubingen三角形镶嵌在二维空间中的推广，因为瓷砖的面由Robinson三角形组成。瓦片的某些组合构成边长为1的十二面体，黄金比例τ=（1+ \sqrt（5））/2。
2020-08-08 math-ph math.MG math.MP
Hexagonal parquet tilings: k-isohedral monotiles with arbitrarily large k
本文讨论的问题是，是否一个单一的瓷砖与最近邻匹配规则可以强制平铺中的瓷砖落入大量的等面体类。一个单一的瓷砖展示，可以填补欧几里德平面只有一个瓷砖，其中包含k个不同的isohedral集的瓷砖，其中k可以任意大。结果表明，该结构不能工作的一个简单连接的2D瓷砖与相邻的瓷砖形状单独执行的匹配规则。它还表明，任何以下修改允许的建设工作：（1）着色的瓷砖的边缘和强加的规则，颜色可以接触;（2）允许瓷砖是多连接;（3）需要最大的密度，而不是空间填充;（4）允许瓷砖有一个厚度在第三维。
2007-08-20 cond-mat.other math.GM math.MG
Forcing nonperiodic tilings with one tile using a seed
本文探讨“爱因斯坦问题”的弱化形式，通过使用种子瓦片强制非周期平铺，并列举与讨论匹配规则的类型。
2021-10-19 math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the Plane with Four Tiles
本文研究平面平移平铺的不可判定性，将所需多联骨牌数量从5个降至4个，证明了用4个不连通多联骨牌进行平面平移平铺不可判定。
2025-06-24 cs.CG math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the Plane with Orthogonally Convex Polyominoes
针对仅由几何形状决定的平面平移铺砌问题，本文摆脱以往极凹铺砌块构造，证明用一组 7 个正交凸多联骨牌铺砌平面仍不可判定。
2025-06-15 cs.CG math.CO math.MG
An aperiodic tile with edge-to-edge orientational matching rules
我们提出了一个单一的，连接的瓷砖，可以瓷砖的平面，但只有非周期性的。瓷砖是六边形的，边缘有标记，这对相邻瓷砖如何在边缘相遇施加了简单的规则。这些规则中的第一个是标准匹配规则，即某些装饰在边缘之间匹配。第二个条件是一种新型的匹配规则，仅当特定方向的某些装饰被赋予相反的电荷时，该规则才允许瓷砖满足。这迫使瓷砖形成三角形的层次结构，遵循Socolar-Taylor瓷砖的中心思想。然而，新的边到边定向匹配规则以一种非常不同的方式强制这种结构，这使得非周期性的证明令人惊讶地简单。我们表明，船体的所有平铺满足我们的规则是唯一遍历，几乎所有的平铺在船体属于一个最小的核心所产生的替代平铺。识别平铺是彼此的电荷翻转，这些平铺被证明具有纯点动力学谱和一个规则的模型集结构。
2021-10-18 math.CO math.DS math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the 3-dimensional Space with a Set of 6 Polycubes
本文证明了用6个多立方体集合对三维整数格进行平移平铺的不可判定性，扩展了已知的二维结果，并推进了该领域的研究。
2024-08-05 cs.CC math.CO math.MG
Tiling a triangle into a prime number of congruent triangles
San José State University（圣何塞州立大学）；UCSC（加州大学圣克鲁兹分校）
研究三角形分割成全等三角形时\(N\)的质数性，证明除特定例外，\(N\)非质数，例外包括等腰、等边、特定直角三角形的特殊分割情况，核心方法未提及，主要贡献是明确了三角形分割与\(N\)质数性的关系。
2026-10-22 math.MG math.NT
A Local Characterization of Combinatorial Multihedrality in Tilings
欧氏d-空间上局部有限的由凸多胞体拼接而成的曲面称为组合多面体，如果其组合自同构群在曲面上的轨道数只有1/2。本文描述了一个局部特征的组合多面体镶嵌的中心冠。这推广了在早期的论文中建立的单型拼接的局部定理，该定理描述了组合瓦片传递性的情况。
2008-09-12 math.CO math.MG
Undecidability of tiling the plane with a fixed number of Wang bars
Government Data Management Center of Fengxian District（奉贤区政府数据管理中心）
本文证明了使用29个Wang条铺满平面的问题是不可判定的，并进一步推导出颜色缺失25的Wang瓷砖集的铺砌问题同样不可判定。
2024-04-06 cs.CC math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling with Three Tiles
本文证明用三个连通平铺块对4维空间进行平移平铺是不可判定的，为固定维度下单调平铺不可判定猜想提供了新证据。
2024-12-14 cs.CC cs.CG math.CO
Tiling of regular polygon with similar right triangles
平铺是将一个多边形分解为许多不重叠的三角形。我们证明了，如果一个正n边形，$n \geq 5$，$n \neq 28$，可以平铺相似的直角三角形，那么这些三角形的角之一是在$\left\{\fracπ{n},\frac{2π}{n}, \fracπ {6}+\frac{2π}{3n}\right\}$。Laczkovich和B.塞格迪
2021-02-22 math.CO math.MG
Hexagon tilings of the plane that are not edge-to-edge
多边形平铺中的不规则顶点是一个平铺的顶点，属于另一个平铺的边的内部。本文证明了对任意整数$k\geq 3$，存在单位面积的凸六边形对欧氏平面的正规镶嵌，凸六边形的顶点恰好是$k$的不规则顶点.用同样的方法，我们证明了有正常的边到边平铺的平面由六边形的单位面积和正是$k$许多$n$ -矩阵（$n>6$）的单位面积。Akopyan的结果产生取决于瓦片的最大直径和最小面积的$k$的上界。我们的结果补充了这一点与极端情况下的下界，从而表明，Akopyan的界是渐近紧的。
2019-11-28 math.CO math.MG
Tilings of the plane with unit area triangles of bounded diameter
平面上存在两个不等的等面积有界三角形的平铺。类似地，存在具有相等周长的三角形的平铺，其面积由正常数从下面限定。这解决了Nandakumar的一个问题。
2018-02-06 cs.DM math.CO math.MG
Periodic structure of translational multi-tilings in the plane
假设$f\in L^1(\mathbb{R}^d)$，$Λ\subset\mathbb{R}^d$是平移格的有限并集，使得$f+Λ$以权重平铺。我们证明了存在一个格$L\subset{\mathbb{R}}^d$，使$f+L$也瓷砖，可能不同的权重。作为一个推论，连同Kolountzakis的结果，它意味着任何凸多边形，多瓷砖的平面平移承认一个晶格多瓷砖，可能不同的多重性。我们的第二个结果是一个新的凸多边形，多瓷砖的平面平移的特点。它也提供了一个非常有效的标准来判断一个凸多边形是否允许平移多重拼接。作为一个应用，可以很容易地为任何$m\geq 4$构造对称的$(2m)$ -矩阵，这些$m\geq 4$不通过平移进行多瓦片化。最后证明了非凸的凸多边形只允许周期重镶嵌。
2019-10-22 math.CA math.CO math.MG
Tilings of the Sphere by Congruent Quadrilaterals or Triangles
本文完整分类了球面上由全等四边形的边对边铺砌，并给出三角形铺砌的现代分类，连同五边形分类，完成了球面全等多边形铺砌的完整分类。
2024-02-08 math.CO math.MG
Quasi-periodic tiling with multiplicity: a lattice enumeration approach
凸多面体$P$的$k$平铺问题是使用平移向量的离散多集$Λ$用$P$的平移覆盖$\mathbb R^d$的问题，使得$\mathbb R^d$中的每个点被精确覆盖$k$次，除了可能的$P$的边界及其平移。在镶嵌问题研究中的一个经典结果是McMullen的一个定理，即一个凸多面体$P$，它用一个离散的多集$Λ$ 1-tile $\mathbb R^d$，实际上可以用一个格$\mathcal L$ 1-tile $\mathbb R^d$。Gravin、Robins和Shiryaev对$k$ -平铺的McMullen定理进行了推广，指出如果$P$ $k$ -用离散多集$Λ$平铺$\mathbb R^d$，则$P$ $m$ -对某些$m$用格$\mathcal L$平铺$\mathbb R^d$。在本文中，我们考虑的情况下，当$P$ $k$ -瓷砖$\mathbb R^d$与一个离散的多集$Λ$，使$Λ$的每个元素包含在一个准周期集$\mathcal Q$（即有限联盟的翻译格）。这是由Gravin、Kolountzakis、Robins和Shiryaev的结果所激发的，该结果表明对于$d \in \{2,3\}$，如果多面体$P$ $k$ -用离散多集$Λ$平铺$\mathbb R^d$，则$P$ $m$ -对于某些$m$用准周期集$\mathcal Q$平铺$\mathbb R^d$。…
2015-06-06 math.CO math.MG
Side-to-side Tiling of the Sphere by Congruent Curvilinear Triangles
Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；East China Normal University（华东师范大学）；Jinhua No.4 Middle School（金华市第四中学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
该研究分类了球面侧向等边曲边三角形镶嵌，发现其本质是直线三角形镶嵌的变形。
2026-01-13 math.CO math.MG
Some Generalizations of the Pinwheel Tiling
我们引入了一个新的家庭的非周期性平铺，根据替代规则，推广了风车平铺康威和雷丁。在每个平铺中，瓦片类似于单个三角形原型。在可数的情况下，瓦片以有限数量的大小和无限数量的方向出现。这些平铺通常不满足全边到全边，但可以通过本地匹配规则强制。在可数的情况下，瓦片出现在有限数量的方向上，但大小的数量是无限的，都在一个设定的范围内，而在不可数的情况下，大小的数量和方向的数量都是无限的。
1997-12-24 math.CO math.GR math.MG
An aperiodic monotile that forces nonperiodicity through dendrites
我们介绍了一种新类型的非周期性六边形monotile，一个prototile承认无限多tilings的平面，但任何这样的瓷砖缺乏任何平移对称性。将monotile的副本添加到一片瓷砖中必须满足两个仅适用于相邻瓷砖的规则。第一个灵感来自Socolar-Taylor monotile，但可以通过形状来实现。第二个是局部生长规则;我们的monotile的直接等距可以添加到任何一片瓷砖上，只要monotile上的树与相邻瓷砖上的树连续连接。这种情况迫使平铺沿着枝晶生长，这最终导致非周期性平铺。我们的局部生长法则开创了一种新的平面拼接方法。
2020-05-22 math.CO math.DS math.MG
Tilings with noncongruent triangles
我们解决了一个R的问题。Nandakumar通过证明没有平铺的平面与成对的非全等三角形的面积和周长相等。我们还表明，没有凸多边形超过三个可以平铺与许多三角形，使他们没有对共享一个完整的边。
2018-04-11 cs.DM math.CO math.MG
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals I: edge combination $a^2bc$
由$a^2bc$类型的全等四边形对球体进行边到边的镶嵌，分类为$3$类：具有$2n$ $(n\ge3)$瓦片的$2$层地球地图瓦片的双参数族的序列，具有$24$瓦片的八面体的四边形细分的单参数族以及用于特殊参数的翻转修改，以及具有$8n$ $(n\ge2)$瓦片以及用于奇数$n$的两个翻转修改的$3$层地球地图瓦片的序列。我们还描述了模量和计算的几何数据。
2022-07-24 math.CO math.DG math.MG
On the Undecidability of Tiling the $3$-dimensional Space with a Set of $3$ Polycubes
本文针对单块平移平铺不可判定性的相关猜想，证明了用3个多立方体集合对3维空间进行平移平铺是不可判定的，为该猜想的证明提供了低维少瓦片的支撑结果。
2025-07-31 cs.CG math.CO math.MG
Homological aperiodic tilings of 3-dimensional geometries
我们构造了两个顺从的三维李群的第一个非周期瓦片：Sol和Heisenberg群。我们的建设依赖于使用高维一致有限的同源性。特别地，我们完全解决了几何化猜想中出现的所有三维流形的非紧几何的非周期瓦片的存在性。
2012-05-16 math.DS math.GR math.GT
Periodic double tilings of the plane
针对由两个不同面积重复瓷砖组成的平面周期性铺砌，分类固定与任意晶格下的等周构型，依据面积比发现三种含不同圆形边缘数量且对应不同最优晶格的构型，计算等周轮廓并提出开放问题。
2025-08-23 math.AP math.DG math.MG
A Game of Life on Penrose tilings
我们定义规则的元胞自动机发挥准周期平铺的平面所产生的多重网格方法的方式，这些元胞自动机是同构的康威的游戏的生活。虽然这些瓦片是非周期性的，但确定每个瓦片的下一个状态是局部计算，只需要知道瓦片的局部结构和许多附近瓦片的状态。作为一个例子，我们展示了一个版本的“滑翔机”移动通过彭罗斯瓷砖的区域。这构成了一个潜在的理论框架，在非周期性结构的基板，如准晶体的执行计算的方法。
2017-08-29 cs.IT math.DS math.IT
