Relative commutator calculus in Chevalley groups
我们重新定位和修补方法的设置Chevalley组。通过引入相对初等Chevalley群的某些子群，我们发展了Chevalley群中共轭演算和换位子演算的相对形式$G(Φ,R)$，$\rk(Φ)\geq 2$，它们都比文献中的更一般，也更容易.对于典型群，这种相对换位子演算最近由作者在\cite{RZ,RNZ}中发展出来。作为应用，我们证明了两个理想$\ma,\mb\unlhd R$的混合换位子公式\[ \big [E(Φ,R,\ma),C(Φ,R,\mb)\big ]=\big [E(Φ,R,\ma),E(Φ,R,\mb)\big], \].这回答了Alexei Stepanov和第二作者在一篇论文中提出的问题。
2012-11-30 math.RA
Commutators of relative and unrelative elementary subgroups in Chevalley groups
本文是我们与Rooseveh Hazrat共同发表的论文[10，11，35]的直接续篇，我们进一步得到Chevalley群中相对基本子群的消去子的生成集的显着约化.即，设$Φ$是秩为$\ge 2$的既约不可约根系，$R$是交换环，$A,B$是$R$的两个理想。我们考虑Chevalley群$G(Φ,R)$的$Φ$型的子群。水平$A$的非相关初等子群$E(Φ,A)$由水平$A$的初等幂等$x_α(a)$、$α\inΦ$、$a\in A$生成（作为一个群）。它在绝对初等子群$E(Φ,R)$中的正规闭包记为$E(Φ,R,A)$，称为水平$A$的相对初等子群。文[11，35]的主要结果是构造了互换位子群$[E(Φ,R,A),E(Φ,R,B)]$的经济发电机组，其中$A$和$B$是$R$的两个理想.结果证明，可以取$E(Φ,R,AB)$的Stein-Tits-Vaserstein生成元，加上$y_α(a,b)=[x_α(a),x_{-α}(b)]$形式的初等生成元，其中$a\in A$，$b\in B$。在这里，我们甚至进一步改进这些结果，通过表明，事实上，它足以从事只有基本对应于{ \it一\/}长的根，和模$E(Φ,R,AB)$的符号$y_α(a,b)$的行为。我们还讨论了这些结果的一些进一步的变化和应用。
2020-03-13 math.RA
Structure of Chevalley groups over rings via universal localization
本文研究交换环$R$上Chevalley群$G(R)$的结构.推广和改进了下列结果：（1）标准、相对和多相对交换子公式;（2）[相对] $K_1$的幂零结构;（3）交换子的有界字长.为此，我们扩大了初等群，构造了一个通用元素的扩展初等群，并在通用环中使用本地化。关键的一步是构造对应于主理想的主同余子群的类元。
2015-11-23 math.RA
Generation of relative commutator subgroups in Chevalley groups
设$Φ$是秩为$\ge 2$的既约不可约根系，$R$是交换环，$I,J$是$R$的两个理想。本文将相对初等子群$\big[E(Φ,R,I),E(Φ,R,J)\big]$的换位子群的生成元既刻画为初等Chevalley群$E(Φ,R)$的正规子群，又刻画为群。即，设$x_{\a}(ξ)$、$\a\inΦ$、$ξ\in R$是$E(Φ,R)$的初等生成元。相对初等子群作为绝对初等群$E(Φ,R)$的正规子群，由$x_{\a}(ξ)$，$\a\inΦ$，$ξ\in I$生成. Michael Stein、Jacques Tits和Leonid Vaserstein的经典结果断言，作为一个群，$E(Φ,R,I)$由$z_{\a}(ξ,η)$生成，其中$\a\inΦ$、$ξ\in I$、$η\in R$。在本文中，我们证明了这些结果的下列双相对类似。作为$E(Φ,R)$的正规子群，相对换位子群$\big[E(Φ,R,I),E(Φ,R,J)\big]$由以下三种类型的生成器生成：i）$\big[x_α(ξ),z_α(ζ,η)\big]$，ii）$\big[x_α(ξ),x_{-α}(ζ)\big]$，和iii）$x_α(ξζ)$，其中$α\inΦ$，$ξ\in I$，$ζ\in J$，$η\in R$。作为一个组，发生剂基本相同，只是类型iii）应扩大为iv）$z_α(ξζ,η)$。对于经典群…
2012-12-21 math.RA
Generation of relative commutator subgroups in Chevalley groups. II
本文是我们与Rooseveh Hazrat共同发表的文章[12]的直接续篇，我们在Chevalley群的背景下证明了标准换位子公式的非相对化形式。即，设$Φ$是秩为$\ge 2$的既约不可约根系，$R$是交换环，$I,J$是$R$的两个理想。我们考虑Chevalley群$G(Φ,R)$的$Φ$型的子群。水平$I$的非相对化初等子群$E(Φ,I)$由水平$I$的初等幂等$x_α(ξ)$、$α\inΦ$、$ξ\in I$生成（作为一个群）。显然，一般情况下$E(Φ,I)$在$E(Φ,R)$中是正规的，它在绝对初等子群$E(Φ,R)$中的正规闭包记为$E(Φ,R,I)$。文献[12]的主要结果表明，换位子$\big[E(Φ,I),E(Φ,J)]$在$E(Φ,R)$中实际上是正常的。在本文中，我们证明了一个意想不到的结果，事实上$\big[E(Φ,I),E(Φ,J)]=\big[E(Φ,R,I),E(Φ,R,J)\big]$。因此，标准换位子公式在非相对化形式下也成立，即$\big[E(Φ,I),C(Φ,R,J)]=\big[E(Φ,I),E(Φ,J)\big]$，其中$C(Φ,R,I)$是水平$I$的全同余子群。特别地，$E(Φ,I)$在$C(Φ,R,I)$中是正常的。
2018-11-22 math.GR math.RA
Multiple commutators of elementary subgroups: end of the line
在我们之前与Roozbeh Hazrat和Alexei Stepanov的联合论文中，我们为$GL(n,R)$、$n\ge 3$和其他类似群（例如Bak的酉群或Chevalley群）中的相对基本子群建立了换位子式。特别是，有它表明，多个基本子群的分解子可以减少到两倍这样的分解子。然而，由于这些结果的证明依赖于标准的交换子公式，它被假定为基环$R$是拟有限的。在这里，我们提出了一种不同的方法，允许解除任何这样的假设，并建立几乎确定的结果。特别地，我们证明了{ \it arbitrary}结合环$R$上的$GL(n,R)$的多个交换子公式及其它相关事实.
2019-10-30 math.RA
