The Evolution of Extortion in Iterated Prisoner's Dilemma Games
迭代博弈是经济学和演化博弈论的基本组成部分。它们描述了两个参与者反复互动的情况，并且有可能使用依赖于先前互动结果的条件策略。在合作演化的背景下，重复博弈代表了互惠机制。最近提出了一类新的策略，称为“零决定性策略”。这些策略在一方的收益和另一方的收益之间形成了固定的线性关系。这些策略的一个子集是“勒索者”，它确保自己的收益增加超过另一个玩家的收益增加一个固定的百分比。在这里，我们分析了这类新策略的进化性能。我们表明，在相当大的人口，他们可以作为催化剂的合作，类似于以牙还牙的进化，但他们不是自然选择的稳定结果。然而，在非常小的群体中，两个参与者在比赛中的相对收益差异很重要，勒索者会坚持自己的立场。勒索策略在两个不同种群之间的共同进化军备竞赛中表现得特别好：值得注意的是，它们使进化速度较慢的种群受益--这就是所谓的红王效应。这可能会影响宿主物种和它们的内共生体之间的相互作用的进化。
2012-12-05 math.DS q-bio.PE
On weakly hyperbolic iterated functions systems
我们研究弱双曲迭代函数系统的紧空间，定义的Edalat，但在更一般的设置一个紧凑的参数空间。从拓扑和测度理论的角度证明了吸引子的存在性，并证明了测度理论吸引子是遍历的。在完备空间和紧参数空间中定义了弱双曲迭代函数系，并证明了该定义推广了Edalat的定义.此外，我们还研究了在这种情况下吸引子的存在性问题。最后，我们证明了一个版本的巴恩斯利和文斯有关吸引子（也称为混沌游戏）的情况下，紧凑的参数空间的结果。
2016-09-30 math.DS
A non-logarithmic approach to the rate of convergence of the deterministic chaos game
Institute of Mathematics, University of Gdańsk（格但斯克大学数学研究所）
本文从新角度探讨混沌游戏算法收敛到迭代函数系统的吸引子的速率，证明了典型驱动器的恢复速率与函数ψ的极限行为一致，并扩展了Leśniak等人2024年的主要定理。
2026-05-15 math.DS
Cluster formation in iterated Mean Field Games
该研究构建一维迭代平均场博弈模型刻画意见谱系上的联盟形成过程，证明当最终耦合为特定紧支集光滑偶函数形式时，种群随迭代次数增加会聚集成离散群体，并探讨了其对意见动力学与政治系统的意义。
2023-11-06 math.DS math.OC
About Stable Periodic Helixes, L-iteration and Chaos Generated by Unbounded Functions
我们认为稳定的周期螺旋作为一个推广的稳定的周期轨道。我们看到，在所研究的迭代函数类中，混沌总是突然出现。因此，我们将研究从混沌到有序的路径，而不是从有序到混沌的路径。我们表明，自相矛盾的是，真正的混沌可能看起来很像秩序，并在尽可能多的迭代步骤，因为一个人可能希望。然后，我们将提出一个广义的映射迭代的想法，并不意味着周期轨道的存在。我们将表明，在严格确定性的背景下，不可预测性，非周期性秩序，敏感的依赖性和混乱是完全不同的概念，我们将试图表明这种差异是由什么。我们还将提出一个非混沌非周期序的例子。
2008-05-31 math.DS
How long is the Chaos Game?
在1988年的教科书“分形无处不在”M。巴恩斯利介绍了一种算法生成分形通过随机程序，他称之为“混沌游戏”。利用马尔可夫链的覆盖时间的经典理论的思想，我们证明了一个渐近公式的预期时间由这个过程产生一个$δ$稠密子集的给定的自相似分形满足开集条件。
2020-07-22 math.DS math.MG
Chaos Game Representation
混沌博弈表示（CGR）是一种有趣的方法来可视化一维序列。在本文中，我们展示了如何构建一个混沌游戏表示。这里提到的应用是生物学的，其中CGR能够发现以前未知的DNA或蛋白质模式。我们还展示了如何CGR可能会被引入课堂，无论是在建模过程中，或在动力系统课程。测试的一些序列取自在线序列百科全书，其他的则取自主要来自实验数学课程的序列。
2020-12-15 math.DS math.HO
Extensions of the Shannon Entropy and the Chaos Game Algorithm to Hyperbolic Numbers Plane
本文将经典的混沌博弈算法和Shannon熵推广到双曲数平面。这两个概念都与D. Alpay等\cite{eluna}。在这方面，特别注意已支付的双曲值概率和双曲扩展熵的解释。
2020-09-01 math.CV math.DS
Chaotic dynamics in the presence of medical malpractice litigation: a topological proof via linked twist maps for two evolutionary game theoretic contexts
在目前的工作中，我们重新考虑了Antoci等人（2016年，2018年）的进化博弈论模型，该模型描述了患者和医生之间互动产生的动态结果，他们的行为受到临床和法律风险的影响。特别是，Antoci et al.（2016）分析了积极防御性医学的案例，而Antoci et al.（2018）处理了消极防御性医学的案例。我们表明，当模型允许一个非等距中心，它是可能的，以证明存在的庞加莱映射与这些系统通过链接扭曲映射（LTM）的方法。为了实现这一目标，我们利用在这两个框架中，使用类似的原理，周期性依赖于时间的模型参数影响的中心的位置，并描述一些风险与某些医疗干预措施，其季节性变化是经验接地。我们还提供了同一模型的生态学解释，提出了哈维等人。（2007）和种内竞争和环境承载力的捕食者-猎物设置。在这种情况下，合理的假设是，两个种群的承载能力和内在增长率都存在季节性变化。虽然这样的参数影响的轨道的形状，但不影响中心位置，我们表明，它仍然是可能的，以证明存在的混沌动力学相关的庞加莱映射通过LTM技术处理不同的几何配置的轨道在相平面上。
2020-12-27 math.DS
Vortices Instead of Equilibria in MinMax Optimization: Chaos and Butterfly Effects of Online Learning in Zero-Sum Games
我们建立了零和游戏中的算法实验“惨败”，以确认最大最小均衡的独特，尖锐的预测。近一个世纪以来，人们一直把零和博弈视为经济稳定的典型象征，但我们证明，在零和博弈中，在线学习动态的日常行为无法做出有意义的预测。具体地说，具有常数步长的乘性权值更新（MWU）在对偶（支付）空间中是李雅普诺夫混沌。简单地说，让我们假设一个观察者问玩配对便士游戏的代理人他们是喜欢正面还是反面（以及到目前为止的总收益是多少）。在收益空间中，与任意一组小的初始条件相一致的可能答案的范围随时间呈指数增长。这个结果在算法上和博弈理论上都是鲁棒的：1）算法鲁棒性：混沌对使用FTRL算法的任何一般子族的代理都是鲁棒的，众所周知的后悔最小化动态，即使当代理混合和匹配动态时，使用不同或缓慢减小的步长。2)博弈论鲁棒性：混沌对零和游戏（严格竞争游戏）的所有仿射变体，具有任意大量代理的网络变体，甚至对超越这些的竞争设置都是鲁棒的。我们的结果与在线学习的时间平均收敛到（近似）纳什均衡形成鲜明对比，这一结果被广泛报道为“（弱）收敛到均衡”。
2019-05-29 cs.GT math.DS
Dominance, Sharing, and Assessment in an Iterated Hawk--Dove Game
动物使用各种各样的策略来减少或避免在资源冲突中的侵略。这些策略包括分享资源而没有外在冲突的迹象，以及发展统治等级制度，在这种制度中，最初的战斗是由下属的屈服所引起的。虽然已经开发了模型来分析解决资源冲突的具体策略，但很少有工作集中在试图理解为什么特定的策略更有可能在某些情况下出现。在本文中，我们使用一个模型的基础上迭代鹰-鸽博弈分析资源持有潜力（RHP）和其他因素如何影响是否共享，优势关系，或其他行为是进化稳定的。我们发现，通过大量的数值模拟，共享是稳定的，只有当战斗成本低，在比赛中的动物有类似的RHP，而优势关系是稳定的，在大多数其他情况下。我们还探讨了当动物无法在不打架的情况下评估彼此的RHP时会发生什么，并且我们使用模拟比较了一系列解决这个问题的策略。我们发现：（1）最成功的策略包括有限的评估期，然后是避免争斗的稳定关系;（2）评估的持续时间取决于争斗的代价和动物RHP之间的差异。除了直接进行建模和仿真工作外，我们还开发了大量软件，以方便进一步的测试;这些软件可在\url{https://bitbucket.org/CameronLHall/dominancesharingassessmentmatlab/}上获得。
2019-10-31 math.DS nlin.AO physics.soc-ph
Natural Invariant Measures for Chaotic Game Dynamics: Finding Order in Chaos
Krakow University of Economics（克拉科夫经济大学）；Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）；Indiana University Indianapolis（印第安纳大学印第安纳波利斯分校）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）
研究乘法权重更新算法在博弈中呈现李 - 约克混沌时的长期行为，利用自然不变测度提供框架，以双策略拥塞博弈为例，能对动态全面统计表征，涵盖多种行为谱，实现统计可预测性。
2026-07-27 cs.LG econ.TH math.DS
Follow-the-Regularized-Leader Routes to Chaos in Routing Games
Cracow University of Economics（克拉科夫经济大学）；Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）；Indiana University-Purdue University Indianapolis（印第安纳大学-普渡大学印第安纳波利斯分校）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
我们研究了在博弈中跟随规则化领导者（FoReL）动力学的混沌行为的出现。我们专注于增加人口规模或规模的拥塞游戏的成本的影响，并推广最近的结果不稳定，混沌行为的乘法权重更新动力学更大的一类FoReL动力学。我们建立，即使在简单的线性非原子拥塞游戏与两个平行的链接和任何固定的学习率，除非游戏是完全对称的，增加人口规模或规模的成本导致学习动力学变得不稳定，并最终混乱，在这个意义上的李约克和正拓扑熵。此外，我们发现了新的非标准现象的存在，如稳定的纳什均衡和混沌在同一个游戏中的共存。我们还观察到一个混沌吸引子的同时创建另一个混沌吸引子被摧毁。最后，虽然FoReL动态可以是奇怪的和非平衡的，我们证明了时间平均仍然收敛到一个精确的平衡，任何选择的学习率和任何规模的成本。
2021-02-17 cs.GT cs.LG math.DS
Generalized Hamiltonian Dynamics and Chaos in Evolutionary Games on Networks
研究了$2 \times 2$对称对策的网络复制子方程，刻画了它在任意图结构上的不动点。我们展示了网络复制子的渐近行为和图中独立顶点集的存在之间的关系，并表明在$2 \times 2$游戏中不会出现复杂的行为。这将动力系统的性质与组合图形性质联系起来。我们对比这表明，普通的石头剪刀布（RPS）表现出混沌的3圈和一般的图与$\geq 3$顶点的网络复制与RPS是一个广义的哈密顿系统。这与RPS在标准复制子动力学或双矩阵复制子动力学中不表现出混沌的既定事实形成鲜明对比，双矩阵复制子动力学等价于具有一条边和两个顶点的图（$K_2$）上的网络复制子。
2020-05-31 cs.GT math.DS nlin.CD
On the convergence rate of the chaos game
本文研究了在一个严格收缩迭代函数系统的吸引子内，混沌博弈的轨道达到一定密度所需的时间，其中我们只假设它的低维是正的。我们发现，这个覆盖时间的增长率是由闵可夫斯基维数的推动向前的移动不变测度与指数衰减的相关性驱动的混沌游戏。此外，我们从上方和下方的覆盖时间的期望值与乘法对数校正项绑定。作为一个应用，对于Bedford-McMullen地毯，我们完全证明了使Bernoulli测度的Minkowski维数最小化的概率向量族。有趣的是，这些载体以前没有出现在贝德福德-麦克马伦地毯的任何其他方面。
2021-12-04 math.CA math.DS math.MG
The emergence of chaos in population game dynamics induced by comparisons
该研究证明在离散时间下，通过构造修正协议并选择时间步长，可使$2\ imes2$反协调博弈动力学呈现Li-Yorke混沌，导致系统不可预测，且该特性内嵌于任何模仿性修正协议中。
2025-04-21 cs.GT econ.TH math.DS
Spatial Iterated Prisoner's Dilemma as a Transformation Semigroup
囚徒困境（英语：Prisoner's Dilemma，简称PD）是一个博弈论模型，被广泛应用于研究理性自利主体之间的合作。在这项工作中，我们制定了一个空间迭代PD作为一个离散事件动力系统，代理人在每个时间步玩游戏，并分析它代数使用Krohn-Rhodes代数自动机理论，使用计算实现的完整分解的变换半群。在每一次迭代中，所有参与者都采取了他们附近最有利可图的策略。重新设定给定参与者策略的扰动为动态提供了额外的生成事件。我们的初步研究表明，代数结构，包括如何自然子系统包括置换群的空间分布的战略，出现在某些参数制度的支付矩阵，并不存在其他参数制度。在整体分解（一个上界的Krohn-Rhodes复杂性）的组水平的数量的差异被揭示为更多的池的可逆性出现时，诱惑缺陷是在一个中间水平。通过这种分析发现的代数结构可以解释为阐明空间迭代PD的动力学。
2020-07-27 econ.TH math.DS math.GR
Chaos, Extremism and Optimism: Volume Analysis of Learning in Games
Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
我们目前的体积分析乘法权重更新（MWU）和乐观乘法权重更新（OMWU）在零和以及协调游戏。此类分析为这些游戏动力系统提供了新的见解，这似乎很难通过计算机科学和机器学习中的经典技术实现。第一步是不是在原来的空间（行动的单纯形），而是在一个对偶空间（行动的总回报空间）检查这些动态。第二步是探索一组初始条件的体积在根据算法向前推进时如何随时间演变。这让人想起进化博弈论中的方法，其中复制动力学，MWU的连续时间模拟，被称为在所有游戏中始终保持体积。有趣的是，当我们研究离散时间动态时，博弈的选择和算法的选择都起着关键作用。因此，而MWU扩大体积在零和游戏，因此是李雅普诺夫混沌，我们表明，OMWU合同体积，提供了一个替代的理解其已知的收敛行为。然而，我们也证明了一个没有免费午餐类型的定理，在这个意义上说，当检查协调游戏的角色是颠倒的：OMWU膨胀体积指数快速，而MWU合同。使用这些工具，我们证明了两个新的，而负面的性质MWU在零和游戏：（1）极端主义：即使在唯一的完全混合纳什均衡的游戏，系统经常陷入附近的纯策略配置文件，尽管他们显然是不稳定的从博弈论的角度来看。(2)不可避免性：给定任何一组好的点（用你自己对“好”的解释），系统不能无限期地避免坏的点。
2020-05-28 cs.GT cs.LG math.DS
Fourier transforms and iterated function systems
本文探讨迭代函数系统平稳测度傅里叶变换的界定问题，综述了源于算术、代数及几何伪随机性的影响，并概述了热力学形式、加性组合、随机游走及双曲动力学等方法，同时提及开放问题与量子混沌关联。
2025-02-27 math.CA math.DS math.GR
Unpredictable dynamics in congestion games: memory loss can prevent chaos
我们研究了两个资源的简单拥塞游戏的动态连续体的代理行为根据一个版本的经验加权吸引力（EWA）算法。动态的特点是由两个参数：（人口）的选择强度$a>0$捕捉经济合理性的总人口的代理和折扣因子$σ\in [0,1]$捕捉一种类型的记忆丧失，过去的结果比最近的重要指数。最后，我们的系统添加了第三个参数$b \in (0,1)$，它捕获了两个资源的成本函数的不对称性。它是在纳什均衡时使用第一资源的代理的比例，其中$b=1/2$捕获对称网络。在这个简单的框架内，我们展示了大量的分岔现象，其中行为动力学不稳定，从全局收敛到平衡，极限环，甚至（正式证明）作为参数$a$，$b$和$σ$的函数的混乱。具体而言，我们表明，对于任何折扣因子$σ$系统将不稳定的选择$a$一个足够大的强度。尽管对于折扣因子$σ=0$几乎总是（即，$b \neq 1/2$），系统将变得混沌，随着$σ$的增加，混沌状态将让位于周期2的吸引周期轨道。因此，内存丢失可以简化游戏动态并使系统可预测。我们用模拟和几个分叉图来补充我们的理论分析，这些图展示了种群动态的不屈的复杂性（例如，吸引不同长度的周期轨道），即使在最简单的可能的势博弈中。
2022-01-28 cs.GT econ.TH math.DS
The route to chaos in routing games: When is Price of Anarchy too optimistic?
路由游戏是研究最多的游戏类别之一。它们的两个最著名的性质是学习动态收敛到均衡，并且所有均衡都是近似最优的。在这项工作中，我们通过研究无处不在的动态，乘法权重更新，在不同类别的拥塞游戏，揭示复杂的非平衡现象，这些经典的结果进行压力测试。随着系统需求的增加，学习动态经历倍周期分叉，导致不稳定，混乱和大的低效率，即使在最简单的情况下，非原子路由游戏的两条路径的线性成本的无政府代价等于一。从这个简单的类开始，我们证明了每个系统都有一个承载能力，超过这个承载能力，系统就会变得不稳定。如果平衡流是对称的$50-50\%$分裂，系统表现出一个倍周期分岔。一个周期为2的周期吸引子取代了吸引不动点。虽然无政府状态的无政府代价等于1，但在大人口限制下，除了零测度初始条件集之外，所有初始条件的时间平均社会成本收敛于其最坏可能值。对于非对称平衡流，增加需求最终迫使系统进入具有正拓扑熵和所有可能周期的周期轨道的Li-Yorke混沌。值得注意的是，在所有非平衡状态下，路径上的时间平均流量都精确地收敛到平衡流量，这一特性类似于零和游戏中的无悔学习。这些结果是稳健的。我们将其扩展到路由游戏与任意多个战略，多项式成本函数，非原子以及原子路由游戏和异质用户。我们的结果也适用于任何序列的收缩学习率，例如，$1/\sqrt{T}$，通过允许动态增加种群大小。
2019-11-24 cs.GT econ.GN math.DS
