Peakon b-族方程的分析解与奇点形成
Analytic solutions and Singularity formation for the Peakon b--Family equations
AI总结：
利用抽象柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理证明b-族方程局部时间存在唯一解析解，并针对b≥1的情况，在初始数据实解析且动量密度不变号时证明解全局解析；通过伪谱数值方法和奇点追踪方法研究奇点形成。
摘要：
利用抽象柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理，我们证明了b-族方程在时间局部上存在唯一的解析解。此外，如果初始数据是实解析的且属于$H^s$（$s > 3/2$），并且动量密度$u_0 - u_{0,xx}$不变号，我们证明对于$b\geq 1$，解在时间全局上保持解析。我们还利用伪谱数值方法和奇点追踪方法研究了b-族方程的奇点形成。该方法使我们能够追踪奇点在复平面中接近实轴时的形成过程，并估计傅里叶谱的衰减速率。
英文摘要：
Using the Abstract Cauchy-Kowalewski Theorem we prove that the $b$-family equation admits, locally in time, a unique analytic solution. Moreover, if the initial data is real analytic and it belongs to $H^s$ with $s > 3/2$, and the momentum density $u_0 - u_{0,{xx}}$ does not change sign, we prove that the solution stays analytic globally in time, for $b\geq 1$. Using pseudospectral numerical methods, we study, also, the singularity formation for the $b$-family equations with the singularity tracking method. This method allows us to follow the process of the singularity formation in the complex plane as the singularity approaches the real axis, estimating the rate of decay of the Fourier spectrum.
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