Upper and lower bounds for eigenvalues of the clamped plate problem
Qing-Ming Cheng, Guoxin Wei
本文研究固支板问题特征值的估计。给出了特征值的一个精确的上界，改进了文献[10]中特征值的下界.
In this paper, we study estimates for eigenvalues of the clamped plate problem. A sharp upper bound for eigenvalues is given and the lower bound for eigenvalues in [10] is improved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Estimates for lower order eigenvalues of a clamped plate problem
对于完备黎曼流形$M^n$中的有界区域$Ω$，研究了固支板问题低阶特征值的估计。得到了低阶特征值的一般不等式。我们要指出，我们的结果是尖锐的。
Lower bounds for eigenvalues of Laplacian operator and the clamped plate problem
本文给出了几个特征值的下界。首先，我们研究了Laplace算子的特征值$λ_i$，并证明了一个尖锐的下界。此外，我们将这种估计的特征值的一般情况下。其次，研究了固支板问题的特征值$Γ_i$，给出了任意维固支板问题的一个精确界。
A lower bound for eigenvalues of a clamped plate problem
本文研究固支板问题的特征值问题。我们得到了特征值的一个下界，它给出了Levine和Protter结果的一个重要改进.
Eigenvalues for the Clamped Plate Problem of $\mathfrak{L}^{2}_ν$ Operator on Complete Riemannian manifolds
$\mathfrak{L}_ν$算子是一类重要的发散型外生微分算子，具有深刻的几何背景.本文考虑了完备黎曼流形有界域上$\mathfrak{L}^{2}_ν$算子的固定板问题。建立了$\mathfrak{L}^{2}_ν$算子特征值的一般公式。应用这个一般公式，我们得到了完备黎曼流形上高阶特征值的一些估计。作为几个有趣的应用，我们讨论了完全平移孤子、欧几里得空间上的极小子流形、单位球面上的子流形和射影空间上的本征值问题。特别地，我们得到了关于平移孤子的$\mathcal{L}_{II}$算子的一个普遍不等式。通常，在完备黎曼流形上得到加权Laplacian不等式甚至Laplacian不等式是非常困难的。因此，这项工作可以被视为对普遍不平等的新贡献。
A gap for eigenvalues of a clamped plate problem
本文研究了$n$维欧几里得空间中有界区域上固支板问题的特征值。对于任意正整数$k$，我们给出了$\sqrt {Γ_{k+1}-Γ_{1}}$和$\sqrt {Γ_{k}-Γ_{1}}$之间的间隔的估计.由Agmon和Pleijel的渐近公式可知，$\sqrt {Γ_{k+1}-Γ_{1}}$和$\sqrt {Γ_{k}-Γ_{1}}$之间的间隙是由一个低阶$k^{\frac1n}$项所限定的，其中$Γ_j$表示固支板问题的$j^{^{\text{th}}}$本征值.
Lord Rayleigh's Conjecture for Vibrating Clamped Plates in Positively Curved Spaces
我们肯定地解决了类似的Lord Rayleigh猜想的黎曼流形与积极的里奇曲率的任何固支板在2和3维，并为足够大的固支板的尺寸超过3。这些结果补充了单位（M.阿什博河Benguria，1995和N. Nadirashvili，1995）和负弯曲（A. Kristály，2020）的情况下，是有效的，只有在2和3维，并在同一时间也提供了第一个肯定的答案，瑞利勋爵的猜想在更高的维度。证明依赖于一个Ashbaugh-Benguria-Nadirashvili-Talenti矩阵分解参数，Lévy-Gromov等周不等式，高斯超几何函数的优良性质和尖锐的频谱间隙估计的基本色调的小型和大型的夹紧球冠。我们的研究结果表明，正曲率增强了低维和高维设置之间的真正差异，这是振动固支板理论中一个被默认的范例。在极限情况下-当里奇曲率非负时-我们建立了一个涉及非紧完备黎曼流形的渐近体积比的Lord Rayleigh型等周不等式;而且，该不等式在2维和3维上是强刚性的，即，如果对于给定的固支板相等，则流形与欧几里得空间等距。
The Buckling and Clamped Plate Problems on Differential Forms
本文研究了微分形式上的屈曲与夹紧板问题，推导了其最小特征值并推广了Hodge拉普拉斯算子的估计。
Eigenvalue Inequalities for the Clamped Plate Problem of $\mathfrak{L}^{2}_ν$ Operator
$\mathfrak{L}_{II}$算子是Y.- L. Xin（\emph{Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2015, \textbf{54}(2):1995-2016)}）是一类重要的散度型外赋椭圆微分算子，具有深刻的几何意义.本文将$\mathfrak{L}_{II}$算子推广到更一般的椭圆型微分算子$\mathfrak{L}_ν$，并研究了完备黎曼流形上双$\mathfrak{L}_ν$算子（记作$\mathfrak{L}_ν^{2}$）的固板问题.建立了$\mathfrak{L}_ν^{2}$算子本征值的一般公式。应用这个公式，我们估计了黎曼流形上的低阶特征值。作为进一步的应用，我们建立了该算子在平移孤子上关于欧几里得空间、单位球面和射影空间的中曲率流、子流形的特征值不等式.特别地，对于平移孤子，所有的本征值不等式都是普适的。
Fundamental tones of clamped plates in nonpositively curved spaces
本文研究了任意$n$ -维$(n\geq 2)$ Cartan-Hadamard流形$(M,g)$上固支板的Lord Rayleigh问题.对于某些$\textbf{K}\leq -κ^2$，本文首先证明了一个McKean型谱间隙估计，即当PDMATHABM-Cartan-Hadamard猜想在$(M,g)$上成立时，$(M,g)$中任意区域的基音从下到上都由$\frac{(n-1)^4}{16}κ^4$有界，例如Bol（1941）和Kleiner（1992）分别提出的二维和三维模型。在2-和3-维，我们证明了尖锐的等周不等式足够小的固支板，即在$(M,g)$体积$v>0$的任何域的基调不小于相应的基调的测地球的相同体积$v$在常曲率$-κ^2$的空间，提供$v\leq c_n/κ^n$与$c_2\approx 21.031$和$c_3\approx 1.721$，分别。特别地，Nadirashvili（1992）和Ashbaugh and Benguria（1995）解决的欧氏空间中的瑞利问题在我们的环境中（即$\textbf{K}\equivκ=0$）作为极限情况出现。我们的结果的清晰度需要$κ$ -Cartan-Hadamard猜想的有效性（即$(M,g)$上的尖锐等周不等式）和高斯超几何函数的特殊性质，两者都只在2维和3维中有效;然而，在高维中也提供了任意固定板的基音的一些…
Principal frequency of clamped plates on RCD(0,N) spaces: sharpness, rigidity and stability
本文研究了满足 RCD(0,N) 条件的度量测度空间中夹紧板主频率的精细性质，在 N 接近 2 或 3 时提出了包含渐近体积比的新等周不等式，并证明了其锐度、基于锥结构的刚性及稳定性，结果对黎曼流形亦属全新。
Some inequalities and asymptotic formulas for eigenvalues on Riemannian manifolds
本文建立了黎曼流形有界区域上四类经典特征值的尖锐不等式。我们还建立了屈曲和固支板问题特征值的渐近公式。此外，我们还对一维情形的Payne猜想给出了否定的回答。
Deep estimates for higher eigenvalues of the poly-Laplacian
该研究针对有界区域上多重拉普拉斯算子的高阶特征值下界问题，推导低维情形的深度特征值不等式，建立带约束与无约束的任意维数改进下界，同时优化了Stokes特征值问题与广义Pólya猜想的相关下界。
Inequalities for eigenvalues of fourth-order elliptic operators in divergence form on complete Riemannian manifolds
证明了完备黎曼流形上加权散度型四阶椭圆算子特征值的Payne-Pólya-Weinberger-Yang型不等式，推广了固支板问题的相应结果.我们还证明了估计低阶特征值，其中包含一些文献中的估计。作为应用，我们得到了双漂移Cheng-Yau算子的特征值估计。
Estimates for sums of eigenvalues of the free plate with nonzero Poisson's ratio
利用傅里叶变换，我们成功地给出了自由板（受拉且泊松比非零）特征值和关于周围空间维数、区域体积、张力参数和泊松比的Kröger型估计.
Sharp spectral gap estimates for higher-order operators on Cartan-Hadamard manifolds
本文利用两个初等泛函不等式，在 Cartan-Hadamard 流形上建立了高阶算子（含 clamped 板和 buckling 板问题）的尖锐谱间隙估计，解决了 Cheng-Yang 的渐近问题并回答了 Kristály 的提问，同时得到 Rellich 不等式。
A Resolution of the Poisson Problem for Elastic Plates
Poisson问题包括找到一个浸入表面$Σ\subset\mathbb{R}^m$最小化Germain的弹性能量（在几何学中称为Willmore能量）与规定的边界，边界高斯映射和区域，构成了一个非线性模型的平衡态的薄，夹紧弹性板起源于工作的S。Germain和S.D.泊松或十九世纪初。我们提出了一个解决这个问题的方法，包括在最小化的总曲率能量$E(Σ)=\int_Σ|\operatorname{I\!I}_Σ|^2_{g_Σ}\,\mathrm{d}vol_Σ$（$\operatorname{I\!I}_Σ$是第二个基本形式的$Σ$），这是变分等效的弹性能量，在边界数据的情况下，类$C^{1,1}$和边界曲线时，是简单和封闭的。最小值是实现了一个浸没的磁盘，可能有一个有限数量的分支点在其内部，这是类$C^{1,α}$的边界上的一些$0<α<1$，其高斯映射扩展到一个映射类$C^{0,α}$的边界。
Sharp Spectral Bounds for the $p$-Laplacian and Polyharmonic Operators on Asymptotically Hyperbolic Manifolds
本文研究了渐近双曲流形上 $p$-Laplacian 和多项式调和算子的谱界，推导了三种特征值问题的精确上界和下界，揭示了渐近曲率、无穷处的角度及平均曲率范数与第一特征值的关系。
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