On a variational approach to truncated problems of moments
Calin-Grigore Ambrozie
利用凹拉格朗日函数极大值的存在性，刻画了无界支撑上多实变量截断矩问题的$L^1$解的存在性.需要对支撑进行自然规律性假设。
We characterize the existence of the $L^1$ solutions of the truncated moments problem in several real variables on unbounded supports by the existence of the maximum of certain concave Lagrangian functions. A natural regularity assumption on the support is required.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The operator approach to the truncated multidimensional moment problem
研究了具有一般截断类型的截断多维矩问题。提出了矩量问题的算子方法。指出了构造矩问题原子解的一种方法。
On the truncated operator trigonometric moment problem
本文研究截断算子三角矩问题。矩问题的所有解都用Nevanlinna型参数化描述。在作用于可分希尔伯特空间的矩的情况下，Nevanlinna型公式中的算子系数矩阵由规定的矩计算。给出了矩问题的确定性条件。
The truncated matrix trigonometric moment problem: the operator approach
本文研究截断矩阵三角矩问题。我们得到了一个双射参数化的所有解决方案的时刻问题（无论是在非退化和退化的情况下），通过一个运营商的方法。我们使用M.E.~的重要结果Chumakin关于等距算子的广义预解式。
Almost sharp variational estimates for discrete truncated operators of Stein-Wainger type
本文研究了Stein-Wainger型离散截断算子在ℓ^p空间上的r-变分估计，改进了已有结果并消除了尺度相关的对数损失。
Multivariate truncated moments problems and maximum entropy
本文利用某些最大熵-型表示密度的存在性，刻画了无界支撑上多元截断矩问题的Lebesgue可积解的存在性，并讨论了在二元四阶矩情形下它们的逼近问题.
Truncated moment problems for $J$-self-adjoint, $J$-skew-self-adjoint and $J$-unitary operators
本文研究了$J$ -自伴、$J$ -斜自伴和$J$ -酉算子的截断矩问题。给出了可解的条件。构造了矩量问题的一些正则解。作为副产品，得到了$J$ -反对称算子和$J$ -等距算子的一些推广结果.
Further results on the real cubic truncated moment problem
本文针对实三次截断矩问题开展研究，提出了借助极小表示测度得到问题完整解的相关结果，并通过数值示例验证了所提方法的简便性。
The Nevanlinna-type formula for the truncated matrix trigonometric moment problem
本文是我们在乌克兰数学杂志上对截断矩阵三角矩问题的研究的继续，2011，63，no.6，786-797.在本文中，我们得到了一个Nevanlinna型公式在一般情况下，这一时刻的问题。我们只假设我们有多个矩，矩问题是可解的，问题有多个解。相应的矩阵线性分式变换的系数由指定的矩显式表示。给出了矩量问题确定性的简单条件。
The multidimensional truncated Moment Problem: Atoms, Determinacy, and Core Variety
本文研究连续函数在有限维向量空间上的矩问题。我们研究了凸锥的矩泛函（支撑超平面、暴露面、内点）的结构，并讨论了矩泛函的各种重要的特殊问题（确定性、表示测度的原子集、核簇）。
A Riesz-Haviland type result for truncated moment problems with solutions in $L^1$
我们给出了截断矩问题的Riesz-Haviland定理的一个版本，刻画了关于勒贝格测度绝对连续的表示测度的存在性。这种表示密度的存在描述了具有非负Borel表示测度的所有数据的凸锥的稠密内部。需要对支撑进行自然规律性假设。
On the truncated matrix power moment problem with an open gap
本文研究了具有奇数矩的截断幂矩问题。一个Nevanlinna型公式推导出这一时刻的问题的情况下，当时刻的问题有一个以上的解决方案（不确定的情况下）。相应的线性分式变换的系数显式地表示在给定的时刻。在确定的情况下，也构造了力矩问题的解。这些解决方案的时刻问题，满足以下条件：$M(Δ)=0$，其中$Δ$是一个规定的开子集的$\mathbb{R}$，和$M$是矩阵测量产生的时刻问题的解决方案，进行了说明。
Truncated moment problems in the class of generalized Nevanlinna functions
研究了广义Nevanlinna函数类中的截断矩问题。将建立一般的可解性标准，包括偶数和奇数问题，包括完整的参数化的解决方案。主要的新结果关注的情况下，相应的汉克尔矩矩阵退化。在不确定情况下揭示的新效应之一是退化矩问题可能有无限多个解。然而，仔细应用一个不确定的模拟一步一步舒尔算法的一套完整的描述的解决方案将获得。
On a minimal solution for the indefinite truncated multidimensional moment problem
我们将考虑不定截断多维矩问题。给出了一个给定的截断多重序列有符号表示测度$μ$且${\rm card}\,{\rm supp}\, μ$尽可能小的充要条件，即存在一个多元Hankel矩阵的保秩扩张（由给定的截断多重序列建立），使得相应的相关多项式理想是实根.这个结果是一个特殊的情况下，截断多序列的一个最小的复杂表示措施，其支持是对称的复共轭（我们将呼吁{ \it准复杂}）的更一般的特征。我们的结果的动机之一是，半正定截断多重序列不需要有一个积极的表示措施。因此，我们的主要结果给出了潜在的计算有符号的代表措施$μ= μ_+ - μ_-$，其中${\rm card} \,μ_-$是小的。我们用具体的例子来说明这一点。
The truncated matrix trigonometric moment problem with an open gap
本文是我们以前在乌克兰数学杂志上对截断矩阵三角矩问题的研究的继续，2011，\textbf{63}，no. 6，786 - 797，和Ukrainian Math.J.，2013，\textbf{64}，第8期，1199 - 1214。在本文中，我们将研究截断矩阵三角矩问题与一个额外的约束上的矩阵测度$M_{\mathbb{T}}(δ)$，$δ\in \mathfrak{B}(\mathbb{T})$，所产生的寻找功能$M(x)$：$M_{\mathbb{T}}(Δ) = 0$，其中$Δ$是一个给定的开子集$\mathbb{T}$（称为间隙）。给出了带间隙矩问题可解的充要条件。带间隙的矩问题的所有解都可以由Nevanlinna型公式构造。
The truncated Hamburger moment problems with gaps in the index set
在这篇文章中，我们解决了四个特殊情况下的截断汉堡矩问题（THMP）的程度$2k$与一个或两个失踪的时刻序列。作为推论，通过适当的替换，我们得到了二元截断矩问题的解的次数为$2k$的特殊曲线。也就是说，对于曲线$y=x^3$（首先由Fialkow求解）、$y^2=x^3$、$y=x^4$，其中已知某个阶矩$2k+1$，并且给出具有某个阶矩的$y^3=x^4$。其主要技术是完成部分正半定矩阵（ppsd），使Curto和Fialkow的THMP的解决方案的条件得到满足。主要工具是使用的性质的半正定汉克尔矩阵和一个结果的PPSD矩阵与一个未知的条目，证明了使用舒尔补充$2\times 2$和$3\times 3$块矩阵的所有完成。
The strong truncated Hamburger moment problem with and without gaps
强截断汉堡矩问题（STHMP）的程度$(-2k_1,2k_2)$要求找到一个正的Borel测度存在的必要和充分条件，支持$\mathbb{R}\setminus \{0\}$，使$β_i=\int x^idμ\; (-2k_1\leq i\leq 2k_2)$ .利用截断Hamburger矩问题的解和Hankel矩阵的性质，我们求解了STHMP。然后，利用STHMP与$(-2k,2k)$的等价性，得到了Curto和Fialkow首次求解的二维$2k$阶截断矩问题（TMP）的解，该问题具有$xy=1$簇.我们除了他们的结果是以前只知道$k=2$的事实，即存在的措施是等价的存在一个平坦的扩展的时刻矩阵。进一步地，我们解决了序列中缺少一个时刻的次数为$(-2k_1,2k_2)$的STHMP，即，$β_{-2k_1+1}$或$β_{2k_2-1}$，它也给出了TMP的解决方案与品种$x^2y=1$作为一个特殊的情况下，首先由Fialkow研究。
On the truncated multidimensional moment problems in $\mathbb{C}^n$
我们考虑的问题，找到一个（非负）措施$μ$ $\mathfrak{B}(\mathbb{C}^n)$，使$\int_{\mathbb{C}^n} \mathbf{z}^{\mathbf{k}} dμ(\mathbf{z}) = s_{\mathbf{k}}$，$\forall \mathbf{k}\in\mathcal{K}$。这里$\mathcal{K}$是$\mathbb{Z}^n_+$的任意有限子集，它包含$(0,...,0)$，而$s_{\mathbf{k}}$是规定的复数（我们使用多索引的常用符号）。对这个问题有两种可能的解释。首先，我们可以把这个问题看作是$\mathbb{R}^n$上的截断多维矩问题的一个推广，其中允许测度$μ$的支集位于$\mathbb{C}^n$中。其次，矩问题是$\mathbb{C}^n$中截断矩问题的一个特殊情况，具有特殊的截断。我们给出了上述矩问题可解的简单条件。作为推论，我们得到了多项式的某些线性子空间上的线性泛函的非负测度的积分表示。
A Semidefinite Approach for Truncated K-Moment Problems
一个d阶截断矩序列（TMS）是一个向量，它由次数不超过d的单项式索引。设K是一个半代数集，截断K-矩问题（TKMP）是：当一个tms y允许一个正的Borel测度支集时？提出了一种求解TKMP问题的半定规划方法。当K是紧的时，我们得到了如下结果：d次的t_y是否允许K-测度可以通过求解一系列SDP问题来检验;当y不允许K-测度时，给出了一个证明;当y允许K-测度时，在一定的必要条件和充分条件下，通过求解SDP可以得到y的一个表示测度.此外，我们还提出了一个实用的SDP方法来寻找平坦的扩张，在我们的数值实验中，总是找到一个双原子表示措施时，它承认一个。
Bivariate Truncated Moment Sequences with the Column Relation $XY=X^m + q(X)$, with $q$ of degree $m-1$
本文研究特定有理平面曲线上的截断矩问题，将一般次数曲线情形转化为 Hankel 半正定完备化问题，对三次曲线给出显式解，并将四次情形简化为三变量不等式组的可行性判定。
Positivity of Riesz Functionals and Solutions of Quadratic and Quartic Moment Problems
我们利用Riesz泛函的正性来建立截断多元矩序列的表示测度（或近似表示测度）。对于截断矩序列$y$，我们表明，$y$在于关闭截断矩序列承认代表措施支持在一个规定的封闭集$K \subseteq \re^n$当且仅当相关的Riesz功能$L_y$是$K$ -积极的。对于一个确定集$K$，我们证明了如果$L_y$是严格$K$ -正的，则$y$允许一个支持于$K$的表示测度.因此，我们能够解决截断$K$ -矩问题的程度$k$的情况下：（i）$(n,k)=(2,4)$和$K=\re^2$ ;（ii）$n\geq 1$，$k=2$，和$K$是由一个二次等式或不等式定义。特别是，这些结果解决了截断矩问题的希尔伯特定理平方和的其余开放的情况下。
On the truncated two-dimensional moment problem
本文研究截断二维矩问题（矩形数据）：寻找一个非负测度$μ(δ)$，$δ\in\mathfrak{B}(\mathbb{R}^2)$，使得$\int_{\mathbb{R}^2} x_1^m x_2^n dμ= s_{m,n}$，$0\leq m\leq M,\quad 0\leq n\leq N$，其中$\{ s_{m,n} \}_{0\leq m\leq M,\ 0\leq n\leq N}$是一个给定的实数序列; $M,N\in\mathbb{Z}_+$ .对于$M=N=1$和$M=1, N=2$情形，给出了矩量问题可解的显式数值充要条件.在$M=N=2$、$M=2, N=3$、$M=3, N=2$、$M=3, N=3$的情形下，得到了方程可解的一些显式数值充分条件.在所有的情况下，都可以构造出矩问题的一些解（不一定是原子解）。
The Matricial Univariate Rational Truncated Moment Problem
本文解决实轴与半实轴上的矩阵值单变量有理截断矩问题，给出正矩阵值表示测度的充要条件，通过构造性证明得到相关极小表示测度，其成果可应用于矩阵值矩问题领域。
The Truncated Moment Problem for Unital Commutative R-Algebras
该研究针对含单位元交换实代数的截断矩问题，给出了配备次可乘半范数时线性泛函积分表示的存在准则，并推广至无拓扑情形，拓展了经典截断矩问题的相关结果。
The core variety and representing measures in the truncated moment problem
经典的截断矩问题要求的必要和充分条件，使一个线性泛函$L$上$\mathcal{P}_{d}$，向量空间的真正$n$ -变量多项式的次数最多$d$，可以写为积分关于一个积极的Borel措施$μ$上$\mathbb{R}^n$。我们的工作在一个更一般的设置，其中$L$是一个线性功能作用于有限维向量空间$V$的Borel-可测功能定义在一个$T_{1}$拓扑空间$S$。使用迭代几何构造，我们将$L$与称为\textit{core variety}、$\mathcal{CV}(L)$的$S$的子集相关联。我们的主要结果是$L$有一个表示测度$μ$当且仅当$\mathcal{CV}(L)$非空.在这种情况下，$L$有一个非原子的表示测度，并且这些测度的支集的并集正好是$\mathcal{CV}(L)$。我们还使用核簇来描述具有代表性测度的对偶空间$V^{*}$中泛函锥的面分解。我们证明了Curto-Fialkow的截断Riesz-Haviland定理的推广，它允许我们解决广义截断矩问题的$L$的正扩展。这些结果适用于导出一个广义全矩问题的Riesz-Haviland定理，并获得后者的问题的核心品种定理。
A constructive approach to the truncated moment problem on cubic curves in Weierstrass form
本文针对Weierstrass形式立方曲线的纯截断动量问题，提出构造性解法，证明存在一个原子测度，其原子数等于关联动量矩阵的秩。并给出一个数值例子，展示最小表示测度需原子数为rank M(3)+1。
Recursively determined representing measures for bivariate truncated moment sequences
Bayer和Teichmann的一个定理表明，如果有限实多重序列β= β^（2d）有一个表示测度，则其相应的矩矩阵M_d有正的递归生成的矩矩阵扩张M_（d+1），M_（d+2），.对于二元递归确定的M_d，我们证明了正的递归生成扩张M_（d+1），. M_（2d-1）对于一个测度是充分的。例子表明，所有这些扩展都可能需要证明β有测度。我们详细描述了一个建设性的程序，以确定是否存在这样的扩展。在适当的附加假设下，我们证明了M_d允许一个扩张M_（d+1），它具有正的递归生成扩张的许多性质。
The Role of Gröbner Bases in the Study of Extremal Truncated Moment Problems
本文通过格罗布纳基理论推广了2014年关于极值截断动量问题的结果，证明了动量矩阵列关系与表示测度存在的等价条件。
The truncated moment problem on the union of parallel lines
本文研究了平行线并上的二元$2k$截断矩问题。首先，我们提出了一个替代的证明Fialkow的解决方案\cite{Fia15}的TMP在两条平行线的联合（TMP-2 pl）使用截断汉堡矩问题（THMP）的解决方案。我们增加了一个新的等价可解性条件，然后将它与THMP一起用于求解三条平行线并上的TMP（TMP-3 pl），这是我们的第二个主要结果。最后，我们建立了纯$n$平行线并上的TMP解存在的充分条件，即当矩矩阵$M_k$具有最高可能秩时，或者等价地，仅有的列关系来自$n$行的并集。该条件是基于一定的线性矩阵不等式的可行性，相应的扩展$M_k$通过添加的行和列索引的一些程度$k+1$。证明是通过归纳$n$，其中$n\geq 2$和为基础的归纳$n=2$，我们使用的解决方案TMP-2 pl。
Constructive approach to the truncated moment problem on reducible cubic curves: Hyperbolic type relations
本文构造性地解决了可约三次曲线上双曲型截断矩问题，涵盖无自交点、简单自交点和二重自交点三种情况，并给出了最小表示测度的原子数界限。
Extending positive definiteness
本文的主要结果给出了定义在 *-半群的对称子集上的半双线性型值映射可扩到正定半群的判别准则。通过指定这一点，我们得到新的解决方案：* 截断复矩问题，* 截断多维三角矩问题，* 截断双边复矩问题，以及无界次正规性的特征和酉幂膨胀存在的准则。
Cubic column relations in truncated moment problems
对于与复序列$γ^{(2n)}=\{γ_{ij}\}_{i,j\in Z_{+},i+j \leq 2n}$相关联的截断矩问题，需要有一个表示测度$μ$，矩矩阵$M(n)$必须是半正定的，代数簇$\mathcal{V}_γ$必须满足$\operatorname{rank}\;M(n) \leq \;$卡$\;\mathcal{V}_γ$以及一个相容性条件：Riesz泛函在至多$2n$在$\mathcal{V}_γ$上为零的每个多项式上为零。在以前的工作与L。Fialkow和M.穆勒，第一命名的作者证明，对于极端情况下（排名$\;M(n)=$卡$\;\mathcal{V}_γ$），积极性和一致性是足够的存在一个代表措施。在本文中，我们解决了截断矩的问题，在$M(3)$的形式$Z^{3}=itZ+u\bar{Z}$（$u,t \in \mathbb{R}$）的立方列关系，我们这样做的一致性检查。对于由$0 < \left|u\right| < t < 2 \left|u\right|$确定的开锥中的$(u,t)$，我们首先证明了代数簇恰有$7$点和$\operatorname{rank}\;M(3)=7$，然后应用上述结果得到了一个具体的、可计算的表示测度存在的充分必要条件.
On the Matricial Truncated Moment Problem. II
本文继续研究截断矩阵值矩问题，利用正性刻画矩泛函，推广平坦扩张定理和极标量积，并研究表示测度的质量集合及交换矩阵矩泛函类。
Solution of the truncated hyperbolic moment problem
设Q（x，y）=0是平面上的一条双曲线。给定实数$β\equivβ^{2n)}=\{β_{ij}\}_{i,j\geq0,i+j\leq2n}$，用$β_{00}>0$，β的截断Q-双曲矩问题需要找到存在正Borel测度μ的充要条件，在Q（x，y）=0中支持，使得$β_{ij}=\int y^{i}x^{j} dμ(0\leq i+j\leq2n)$。我们证明了β允许Q-表示测度μ（如上）当且仅当伴随矩矩阵$\mathcal{M}(n)(β)$是半正定的，递归生成的，具有列关系Q（X，Y）=0，并且与β相关联的代数簇$\mathcal{V}(β)$满足$card\mathcal{V}(β)\geq\rank\mathcal{M}(n)(β)$。在本例中，为$rank\mathcal{M}(n)\leq2n+1$ ;如果$rank\mathcal{M}(n)\leq2n$，则β允许一个$rank\mathcal{M}(n)$ -原子（最小）Q-表示测度;如果$rank\mathcal{M}(n)=2n+1$，则β允许一个满足$2n+1\leqcard suppμ\leq2n+2$的Q-表示测度μ。
The A-truncated K-moment problem
设A是N^n的有限子集，K是R^n中的紧半代数集. A-tms是由A中的元素索引的向量y。A-截断K-矩问题（A-TKMP）研究给定的A-矩y是否允许K-测度.本文提出了一种求解A-TKMP的数值算法。它是基于通过求解一个半定松弛族{（SDR）_k}来找到y的平坦延拓的时刻最优化问题，其目标R是以某种随机方式生成的。若y不允许K-测度，且R[x]_A是K-满的，则（SDR）_k对所有足够大的K都是不可行的，从而证明了表示测度的不存在性。如果y允许一个K-测度，则对几乎所有生成的R，我们证明了：i）通过解族{（SDR）_k\}，我们可以渐近地得到y的平坦扩张; ii）在几乎充分必要的一般条件下，对于某个k，我们可以通过解（SDR）_k得到y的平坦扩张，这在我们所有的数值实验中都出现过; iii）获得的平坦扩展允许r原子K测度，其中r <= |A|。完全正矩阵的分解问题、实线性型的偶次幂和问题以及标准的截断K-矩问题都是A-TKMP算法的特例，因此可以用该算法进行数值求解。
The truncated univariate rational moment problem
本文研究了有理$K$-截断矩问题，通过补充严格正条件下的缺失论证及原子数界定，完善了紧集情形的解，并进一步求解了无界集合及单位圆上的相关矩问题。
Ten Lectures on the Moment Problem
这是作者于2019年3月在河内越南高等数学研究所发表的关于矩问题的十次演讲。前三堂课是关于一维全矩和截断矩问题。接下来的4堂课将讨论多维全矩问题，特别强调与实代数几何和多项式优化的相互作用。最后3个讲座致力于截断多维矩问题和一些最近的发展，在这方面。
Explicit relation between two resolvent matrices of the truncated Hausdorff matrix moment problem
本文研究了截断Hausdorff矩阵矩量问题（THMM）中两个预解矩阵之间的显式关系。利用有限区间$[a,b]$上的四类正交矩阵多项式及其相关的第二类多项式描述了这种关系。
The truncated tracial moment problem
我们提出的tracial类似的经典结果Curto和Fialkow矩矩阵。一个由非交换变量中的字索引的实数序列，其值在索引的轮换下不变，称为迹序列。我们证明了这样一个序列可以用矩阵的迹矩表示，如果它对应的矩矩阵是半正定的，且是有限秩的。截断迹序列允许这样的表示，当且仅当它的一个扩展允许平坦扩展。最后，我们应用对偶理论研究了非对易变量的迹正多项式。
The truncated moment problem on reducible cubic curves I: Parabolic and Circular type relations
本文研究可约三次曲线上的二元截断矩问题，通过仿射变换归为典范形式，并具体刻画直线与圆、直线与抛物线并集情形下解的存在条件及极小表示测度的原子数。
Truncated Moment Problems and the Extension Property on Monomial Curves
本文确定了由两个单项式间关系定义的平面曲线满足截断矩问题扩张性质的情形，给出了扩张次数界等相关结果。
Toeplitz, Hankel, de Branges and two truncated matrix moment problems
本文借助de Branges型向量值整函数再生核希尔伯特空间及对应开单位圆盘的同类空间，分别研究截断矩阵Hamburger矩与三角矩问题，用再生核计算投影以简化推导、得到简洁公式。
The realizability problem as a special case of the infinite-dimensional truncated moment problem
本文将可实现性问题建模为无限维截断矩问题，通过应用一般交换代数上线性泛函矩问题的最新进展，为已有结果提供了替代证明与扩展，并将其统一嵌入无限维截断矩问题的框架中。
The multidimensional truncated Moment Problem: Carathéodory Numbers
设$\mathcal{A}$是$C(\mathcal{X};\mathbb{R})$的有限维子空间，其中$\mathcal{X}$是局部紧Hausdorff空间，$\mathsf{A}=\{f_1,\dots,f_m\}$是$\mathcal{A}$的基.一个序列$s=(s_j)_{j=1}^m$称为矩序列，如果对于某个正氡测度$μ$在$\mathcal{X}$上，有$s_j=\int f_j(x) \, dμ(x)$，$j=1,\dots,m$。每个矩序列$s$具有一个表示测度$μ$的原子。最小的原子数称为Carathéodory数$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}(s)$。所有矩序列$s$中的最大数$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}(s)$是Carathéodory数$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}$。本文研究了Carathéodory数$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}(s)$和$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}$.在可微函数的情况下，使用微分几何的方法。重点是实多项式。对于一个大类的空间多项式在一个变量的数量$\mathcal{C}_{\mathsf{A}}$确定。在多变量的情况下，我们得到一些下界，我们使用的正多项式的零上的结果推导出Carathéodory数的上界。
The multidimensional truncated Moment Problem: Carathéodory Numbers from Hilbert Functions
在本文中，我们改进了Carathéodory数的界，特别是在代数簇和小间隙（不是所有单项式都存在）。我们提供了明确的下限和上限的代数簇，$\mathbb{R}^n$，和$[0,1]^n$。我们也处理有小间隙的矩问题。我们发现对于每个$\varepsilon>0$和$d\in\mathbb{N}$都存在一个$n\in\mathbb{N}$，使得我们可以构造一个矩泛函$L:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq d}\rightarrow\mathbb{R}$，它至少需要$(1-\varepsilon)\cdot\left(\begin{smallmatrix} n+d\\ n\end{smallmatrix}\right)$原子$l_{x_i}$ .给出了Hankel矩阵和平坦扩张的结论和结果。我们发现，有时刻泛函$L:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq 2d}\rightarrow\mathbb{R}$需要扩展到最坏情况下的程度$4d$，$\tilde{L}:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq 4d}\rightarrow\mathbb{R}$，为了有一个平坦的扩展。
The Tracial Moment Problem on Quadratic Varieties
截断矩问题要求刻画Rn上正Borel测度的矩的实数的有限序列。它的迹模拟是通过对对称矩阵的迹进行积分而获得的，这是本文的主要主题。Burgdorf和Klep建立了非奇异（7 × 7）矩矩阵M（2）的二次迹矩问题的解，而我们在以前的工作中完全解决了M（2）秩不超过5的所有情况，并根据满足的列关系将秩为6的M（2）分成四种可能的情况，解决了其中两种情况。本文的第一个主要结果是M（2）的解满足第三种可能的列关系，即，Y^2 = 1 + X^2。也就是说，表示测度的存在性等价于某些线性矩阵不等式的可行性问题。第二个主要结果是对M（2）满足Y^2 = 1（最苛刻的列关系）的测度中的原子进行了彻底的分析。我们证明，大小为3的原子是不需要在代表措施，事实证明是真实的，在所有其他情况下。第三个主要结果将秩为5的M（2）的解推广到一般的M（n），n>1，具有两个二次列关系。主要的技术是减少经典的单变量截断矩问题的问题，也适用于在经典的截断矩问题的方法。最后，我们的最后一个主要结果，这表明了这种方法，是一个简化的证明退化截断双曲矩问题的解决方案，首先获得Curto和Fialkow。
Relation between Exponential Moment problem and Classical Moment problem
本文揭示了在半直线或紧区间上截断指数矩问题与截断经典矩问题解之间的内在联系，为两类矩问题的研究提供了统一视角。
The extremal truncated moment problem
对于一个2n次实d维多重序列β^（2n）要有一个表示测度，其相关矩矩阵M（n）必须是半正定的，并且与β相关的代数簇V = V（β）必须满足秩M（n）<=卡V以及以下相容性条件：如果多项式p在V上为零，则p（β）= 0。我们证明了对于极值情形（秩M（n）=卡V），M（n）的正性和相容性是存在（唯一的，秩M（n）-原子）表示测度的充分条件.我们还证明了在前面的结果中，一致性不能总是被M（n）的递归性所取代。
The multidimensional truncated Moment Problem: The Moment Cone
设$\mathsf{A}=\{a_1,\dots,a_m\}$，$m\in\mathbb{N}$是可测空间$(\mathcal{X},\mathfrak{A})$上的可测函数.如果$μ$是$(\mathcal{X},\mathfrak{A})$上的正测度，使得$\int a_i dμ<\infty$对于所有$i$，则序列$(\int a_1 dμ,\dots,\int a_m dμ)$称为矩序列。根据Richter定理，每个矩序列都有一个以$k\leq m$表示的$k$ -原子测度.所有矩序列的集合$\mathcal{S}_\mathsf{A}$是矩锥。本文的目的是分析力矩锥的各种结构。主要结果涉及凸锥$\mathcal{S}_{\mathcal{A}}$的面部结构（暴露的面部、面部尺寸）以及Carathéodory数（即满足所有矩序列的最小原子数）的下限和上限。在$\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^n$和$a_i\in C^1(\mathcal{X},\mathbb{R})$的情况下，分析了矩映射的微分结构和矩序列的正则性/奇异性.最大质量问题被认为是和其他问题的一些应用勾勒。
On the Truncated Matricial Moment Problem. I
针对有限维矩阵值可测映射空间上的截断矩量问题，证明矩阵版 Richter–Tchakaloff 定理并刻画原子集与核心集的等价性。
The multidimensional truncated Moment Problem: Shape and Gaussian Mixture Reconstruction from Derivatives of Moments
本文介绍了矩的导数和矩泛函的理论，用高斯混合函数、多面体的特征函数和多面体的单函数来表示矩泛函。除其他措施外，我们研究高斯混合、它们的矩重建，特别是代表矩泛函所需的高斯数。我们发现存在矩泛函$L:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq 2d}\to\mathbb{R}$，它可以表示为$\binom{n+2d}{n} - n\cdot \binom{n+d}{n} + \binom{n}{2}$高斯之和，但不能小于高斯之和.因此，对于任何$d\in\mathbb{N}$和$\varepsilon>0$，我们找到一个$n\in\mathbb{N}$，使得$L$可以表示为$(1-\varepsilon)\cdot\binom{n+2d}{n}$高斯之和，但不能小于高斯之和.一个上界是$\binom{n+2d}{n}-1$ .
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