We present applications of tropical geometry to some integrable piecewise-linear maps, based on the lecture given by one of the authors (R. I.) at the workshop "Tropical Geometry and Integrable Systems" (University of Glasgow, July 2011), and on some new results obtained afterward. After a brief review on tropical curve theory, we study the spectral curves and the isolevel sets of the tropical periodic Toda lattice and the periodic Box-ball system.
Piecewise integrability of the discrete Hasimoto map for analytic prediction and design of helical peptides
College of Mathematics and System Science, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）；Xinjiang Key Laboratory of Biological Resources and Genetic Engineering, College of Life Science and Technology, Xinjiang University（新疆大学生命科学与技术学院）；Shenzhen X-Institute（深圳X研究院）
Some integrable maps and their Hirota bilinear forms
我们引入了一个双参数族的双有理映射，这减少到一个家庭以前发现Demskoi，Tran，van der Kamp和Quispel（DTKQ）时，其中一个参数设置为零。研究这些映射的奇异约束模式，引入了满足齐次递归的τ函数，该函数具有Laurent性质，（或超离散）模拟这种齐次复发证实了二次度增长经验发现Demskoi等人。我们证明，tau函数也满足两个不同的双线性方程，其中每一个都是Hirota-Miwa方程（也称为离散KP方程或八面体递归）的简化。此外，这些双线性方程涉及到减少特定的二维可积晶格方程，离散KdV或离散户田型。这些连接，以及集群代数结构的双线性方程，允许直接建设的泊松括号，拉克斯对和第一次积分的双有理映射。由于后者的结果，我们展示了如何家庭的每个成员可以被提升到一个系统，是在刘维尔意义上可积的，澄清以前在原来的DTKQ情况下的意见。
