Global well-posedness for the k-dispersion generalized Benjamin-Ono equation
考虑超临界情形下的$k$ -色散广义Benjamin-Ono方程.我们建立了尖锐的条件上的数据，以显示整体适定性在能量空间为这个家庭的非线性色散方程。对于广义Benjamin-Ono方程，我们也证明了类似的结果。
2012-12-18 math.AP
Nonlinear smoothing and unconditional uniqueness for the Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
本文研究了加权索伯列夫空间中实数上的Benjamin-Ono方程。应用规范变换后，流被证明是Lipschitz连续的，并提出了一个非线性平滑效果。结果证明了Benjamin-Ono方程的无条件唯一性。
2020-08-12 math.AP
Local and global well-posedness of dispersion generalized Benjamin-Ono equations on the circle
证明了环面上色散广义Benjamin-Ono方程的新的局部适定性结果。所考虑的方程族将Benjamin-Ono方程和Korteweg-de Vries方程联系起来。对于足够高的色散的全球适定性在$L^2(\mathbb{T})$推导。
2019-06-05 math.AP
On smoothing properties and Tao's gauge transform of the Benjamin-Ono equation on the torus
证明了索伯列夫空间$H^{s}(\mathbb{T},\mathbb{R})$中Benjamin-Ono方程解的光滑性质，其中对任意$s\ge 0$ .为此，我们表明，陶的规范变换是一个高频近似的非线性傅里叶变换$Φ$的Benjamin Ono方程，在我们以前的工作中构建。本文的结果是Benjamin-Ono方程的拟线性性质的表现。
2021-09-01 math.AP
Local well-posedness for dispersion generalized Benjamin-Ono equations
本文研究了一类色散方程在能量空间中的局部适定性，这类方程可以看作是KdV方程和Benjamin-Ono方程之间的色散"插值“.
2002-10-21 math.AP
A note on the inviscid limit of the Benjamin-Ono-Burgers equation in the energy space
本文研究能量空间$ H^{1/2} (\R) $或$ H^{1/2}(\T) $中Benjamin-Ono-Burgers方程的无粘极限.我们证明了该方程的解在能量空间中对Benjamin-Ono方程的解的强收敛性，因为耗散系数收敛到$ 0 $。
2011-10-11 math.AP
Rough solutions of a Schroedinger - Benjamin - Ono system
本文证明了耦合Schroedinger和Benjamin-Ono系统的Cauchy问题对于一类没有有限能量的数据是整体适定的。证明使用Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和Tao介绍的I方法。
2005-11-02 math.AP
Global well-posedness in the Energy space for the Benjamin-Ono equation on the circle
证明了Benjamin-Ono方程在$ H^{1/2}(\T) $中是适定的.由于能量节约，这导致了$ H^{1/2}(\T) $中的全局适定性结果。
2005-07-28 math.AP
Stability in $H^{1/2}$ of the sum of $K$ solitons for the Benjamin-Ono equation
本文证明了Benjamin-Ono方程的宽间距1-孤子之和在能量空间$H^{1/2}$中的轨道稳定性，其速度安排为避免碰撞。
2008-03-26 math.AP
On the Benjamin-Ono equation on $\mathbb{T}$ and its periodic and quasiperiodic solutions
本文综述了我们最近关于环面上Benjamin-Ono方程的一些结果。作为一个应用程序的方法开发，我们构建大家庭的周期或拟周期的解决方案，这是不$C^\infty$光滑。
2021-03-16 math.AP
Operator splitting for the Benjamin-Ono equation
本文研究Benjamin-Ono方程u_t = uu_x + Hu_xx的算子分裂，其中H表示希尔伯特变换.如果初始数据是足够的规则，我们显示的收敛Goddom和Strang分裂。
2016-04-26 math.AP
Solitary waves of the rotation-generalized Benjamin-Ono equation
本文研究了由弱非线性深水长表面波和内波理论导出的旋转广义Benjamin-Ono方程。结果表明，孤立波解是轨道稳定的某些波速。
2011-05-26 math.AP
The IVP for the Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov equation in low regularity Sobolev spaces
本文研究了Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程的初值问题.当横向效应通过Zakharov-Kuznetsov型的弱色散被包括时，这样的方程表现为Benjamin-Ono方程的二维推广。本文证明了初值问题在通常的基于$L^2(\R^2)$的索伯列夫空间$H^{s}(\R^2)$，$s>11/8$和某些加权的索伯列夫空间中是局部适定性的.为了得到我们的结果，大部分的参数都是考虑到Benjamin-Ono方程的参数而完成的。
2016-01-12 math.AP
On the integrability of the Benjamin-Ono equation on the torus
本文证明了Benjamin-Ono方程在环面上是最强意义下的可积（伪）微分方程：它在空间$L^2(\T)$上具有整体Birkhoff坐标.这些是允许通过正交对其积分的坐标，因此也被称为非线性傅里叶系数。因此，Benjamin-Ono方程的所有$L^2(\T)$解都是时间变量的殆周期函数。这种坐标的建设依赖于光谱研究的拉克斯运营商在拉克斯对制定的本杰明-小野方程和使用的生成功能，它编码的整个本杰明-小野层次。
2019-11-04 math.AP
Uniqueness Properties of Solutions to the Benjamin-Ono equation and related models
证明了若$u_1,\,u_2$是定义在$ (x,t)\in\R \times [0,T]$中的Benjamin-Ono方程的解且满足于开集$Ω\subset \R \times [0,T]$，则$u_1\equiv u_2$ .我们将这个唯一性结果推广到Benjamin-Ono型方程的初值问题和初始周期边值问题。这类一维非局部模型包括中长波方程。最后，我们提出了一个稍微强大的版本，我们的唯一性结果的Benjamin-Ono方程。
2019-01-31 math.AP
On the Cauchy problem for higher dimensional Benjamin-Ono and Zakharov-Kuznetsov equations
本文考虑一类色散方程，它将高维Benjamin-Ono方程和Zakharov-Kuznetsov方程联系起来。对于这些分数阶Zakharov-Kuznetsov方程，利用时间的横截性和局部化性证明了新的适定性结果。
2019-03-05 math.AP
Gaussian measures associated to the higher order conservation laws of the Benjamin-Ono equation
受Zhidkov关于KdV方程的工作的启发，我们构造了与Benjamin-Ono方程的高阶守恒律相关的加权高斯测度。由此产生的措施是支持索伯列夫空间的增加规律。我们还证明了这些措施的支持上的一个属性导致的猜想，他们确实是不变的流动的Benjamin-Ono方程。
2012-07-04 math.AP
Low regularity conservation laws for the Benjamin-Ono equation
得到了直线上和圆上Benjamin-Ono方程的负正则守恒律。这些守恒量控制了$-\frac{1}{2} < s < 0$的解的$H^s$范数。守恒律是从与方程的Lax对相关的扰动行列式的研究中获得的。
2019-05-13 math.AP
The Lax pair structure for the spin Benjamin--Ono equation
我们证明，最近推出的自旋本杰明-小野方程承认一个Lax对，我们推导出一个家庭的守恒律，允许证明全球适定性在所有索伯列夫空间$H^k$的每一个整数$k\geq 2$。我们还推出了另外一族矩阵值守恒律，而前一族守恒律只是它的迹。
2022-02-16 math.AP
Well-posedness in energy space for the periodic modified Benjamin-Ono equation
我们证明了周期修正的Benjamin-Ono方程在能量空间$H^{1/2}$中是局部适定的.这确保了在散焦情况下的全局适定性。证明是基于规范变换后系统的$X^{s,b}$分析。
2013-07-10 math.AP
Asymptotic behavior of solutions of the dispersive generalized Benjamin-Ono equation
证明了对于色散广义Benjamin-Ono方程的任意时间上一致有界的$H^1\cap L^1$解，当时间$t$趋于无穷大时，极限下确界在$t/\log t$阶空间的时间递增区域内局部收敛于零.这一结果与Muñoz和Ponce \cite{MP1}为求解Benjamin-Ono方程而建立的结果一致。类似于Benjamin-Ono方程的解，对于色散广义Benjamin-Ono方程的解，随着时间的缓慢$L^1$ -范数增长，其极限下确界必须收敛到零，当时间趋于无穷大时，局部地在阶空间的时间增长区域中，取决于其$L^1$ -范数的增长率。因此，呼吸子的存在性或任何其他的色散广义Benjamin-Ono方程的速度“慢”比孤子运动的解决方案被丢弃。在我们的分析中，使用扩张器是必不可少的。
2019-06-04 math.AP
Local well-posedness for third order Benjamin-Ono type equations on the torus
考虑环面上三阶Benjamin-Ono型方程的Cauchy问题。非线性项可能会产生导数损失，这使我们无法使用经典的能量方法。为了克服这个困难，我们在能量中加入了一个修正项。我们还使用Bona-Smith型参数来证明连续依赖性。
2018-12-09 math.AP
The IVP for the dispersion generalized Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
研究了色散广义Benjamin-Ono方程的初值问题.我们的目的是建立加权索伯列夫空间中的适定性结果，并从中推导出该方程解的一些尖锐的唯一连续性质。特别地，我们将建立该模型的解的最优衰减率。
2012-11-10 math.AP
The Cauchy problem for the Benjamin-Ono equation in $L^2$ revisited
在最近的工作中，Ionescu和Kenig证明了Benjamin-Ono方程的Cauchy问题在$L^2(\mathbb R)$中是适定的。本文给出了Ionescu和Kenig结果的一个较简单的证明，并提供了较强的唯一性结果。特别是，我们证明了无条件适定性$H^s(\mathbb R)$，为$s>1/4$。
2010-07-09 math.AP
Invariance of the Gibbs Measure for the Schrodinger-Benjamin-Ono System
我们证明了周期Schrodinger-Benjamin-Ono系统的Gibbs测度的不变性（当耦合参数|γ| \ne 0，1），通过在修正的索伯列夫空间中建立一个新的局部适定性，并构造Gibbs测度（对于Benjamin-Ono部分，该测度处于sub-L^2的设置中）.我们还证明了当s < {1/2}时H^s（\mathbb{T}）\times H^{s-{1/2}}（\mathbb{T}）的不适定性结果，|γ| \ne 0、1和任何s \in \mathbb{R}，|γ| =1。
2009-04-19 math.AP
Well-posedness and dispersive decay of small data solutions for the Benjamin-Ono equation
这篇文章是理解Benjamin-Ono方程解的长时间动力学的第一步。虽然这个问题是已知的完全可积和整体适定的$L^2$，似乎知道的更少，关于其长时间的动力学。在这里，我们证明，对于小的本地化数据的解决方案（近）分散动力学几乎全球的时间。另一个目标是重新审视Benjamin-Ono方程的$L^2$理论，并提供一种更简单、独立的方法。
2017-02-20 math.AP
New non degenerate invariant measures for the Benjamin-Ono equation
本文利用 Gérard-Kappeler-Topalov 的近期成果，在 H^s（s > -1/2）上为 Benjamin-Ono 方程构造了新的非退化不变测度。
2023-04-20 math.AP
Stabilization of Dispersion Generalized Benjamin Ono
本文研究了具有周期边界条件的色散广义Benjamin-Ono方程的$L^2$适定性和稳定性.我们的证明的主要成分是一个发展的耗散规范化的Bourgain空间，它获得光滑的性质，同时从耗散和色散方程。我们将建立一个双线性估计的导数非线性使用这个空间，并证明了小数据稳定的线性可观性不等式。
2017-09-29 math.AP
Asymptotic stability of solitons for the Benjamin-Ono equation
本文证明了能量空间中Benjamin-Ono方程孤子族的渐近稳定性。这个证明是基于一个刘维尔性质的解决方案接近孤子的这个方程，在精神的马特尔和梅尔（arXiv：0706.1174v2）。作为证明的推论，我们得到了精确多孤子的渐近稳定性。
2008-03-26 math.AP
On the propagation of regularity for solutions of the Dispersion Generalized Benjamin-Ono Equation
本文研究了色散广义Benjamin-Ono（BO）方程解的正则性传播的一些性质。该模型定义了一族色散方程，可以看作是Benjamin-Ono方程和Korteweg-de Vries（KdV）方程之间的色散插值。最近，已经证明KdV方程和Benjamin-Ono方程的解满足以下性质：如果初始数据在实数线的右侧具有某些规定的规律性，则该规律性通过流动解以无限速度传播。在这种情况下，色散广义Benjamin-Ono方程中的非局部项比BO方程中的非局部项更具挑战性。为了解决这个问题，需要一种新的方法。新的成分是将换位子展开结合到加权能量估计中。这使我们能够获得传播的属性和明确的平滑效果。
2019-09-26 math.AP
On the $L^2$ well-posedness and decay estimate of third order Benjamin-Ono equation
研究了三阶Benjamin-Ono方程的$L^2$适定性适定性.通过规范形和规范变换，我们证明了该方程可以转化为Airy型方程。这项工作的第二个目标是建立非线性三阶Benjamin-Ono方程问题的解决方案表现出相应的线性相关问题的色散衰减估计模拟。关键成分是使用非线性向量场方法。
2023-03-03 math.AP
Local well-posedness for fourth order Benjamin-Ono type equations
我们继续研究高阶Benjamin-Ono型方程，特别是四阶方程的局部适定性.证明是基于能量方法与校正项。虽然其中一个修正项可以消除能量不等式中的最高阶导数损失，但它可能产生比最差项更低阶的导数损失。为了消除这种导数损失，我们归纳地定义了校正项。
2019-02-18 math.AP
Well-posedness of the periodic dispersion-generalized Benjamin-Ono equation in the weakly dispersive regime
研究周期色散广义Benjamin-Ono方程，通过短时Fourier限制方法，在$\alpha\in(0,1)$时获得$H^s$（$s>3/2-\alpha$）中的局部适定性。
2023-05-09 math.AP
Long time behavior of solutions for a damped Benjamin-Ono equation
我们认为Benjamin-Ono方程的环面上的最小傅立叶模式（cos和sin）的附加阻尼项。我们首先证明了该方程在$L^2_{r,0}(\mathbb{T})$中的整体适定性。然后，我们描述了当时间趋于无穷大时，$L^2_{r,0}(\mathbb{T})$中轨迹的弱极限点，并证明了这些弱极限点是强极限点。最后，我们证明了该方程的高阶Sobolev范数的有界性。我们的关键工具是Benjamin-Ono方程的Birkhoff映射，我们将其用作自适应非线性傅里叶变换。
2020-10-12 math.AP
The IVP for a higher dimensional version of the Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
本文研究了Benjamin-Ono方程的一个高维版本的初值问题。我们的目的是建立加权索伯列夫空间中的局部适定性结果，并根据它们确定解流的一些尖锐的唯一连续性质。因此，确定了该模型的最佳衰减率。一个关键的组成部分是推导一个新的交换子估计涉及里斯变换。
2019-08-19 math.AP
Well-posedness and ill-posedness results for the regularized Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
我们考虑正则化Benjamin-Ono方程rBO的初值问题。我们的目的是通过压缩原理在加权索伯列夫空间中建立局部和整体的适定性结果。我们还证明了一个独特的连续性，这意味着任意多项式型衰变不保存产生尖锐的结果，关于适定性的初值问题在大多数加权索伯列夫空间。
2013-04-24 math.AP
On Local Energy decay for solution of the Benjamin-Ono equation
我们考虑Benjamin-Ono方程的大解的长时间动力学。使用维里技术，我们描述的空间区域中的每一个解决方案在一个合适的索伯列夫空间必须衰减到零沿时间序列。此外，在外部区域的情况下，我们证明了完全衰变的任何时间序列。其余未处理的区域基本上是强色散和孤子区域。
2022-04-27 math.AP
Unconditional uniqueness for the periodic Benjamin-Ono equation by normal form approach
在$H^s$中给出了$s>1/6$的初始数据，证明了Benjamin-Ono方程在周期边界条件下Cauchy问题解的无条件唯一性.这改进了Molinet和Pilod（2012）在$H^{1/2}$中的无条件唯一性结果。我们的证明是基于规范变换和分部积分法的时间变量。
2022-05-16 math.AP
The Benjamin-Ono approximation for 2D gravity water waves with constant vorticity
本文研究二维空间中具有常涡量的无限深重力水波。我们认为这个系统表示在位置-速度势全纯坐标。我们表明，对于低频的解决方案，Benjamin-Ono方程给出了一个很好的和稳定的近似系统的自然立方时间尺度。证明依赖于精细立方能量估计和微扰分析。
2022-07-16 math.AP
On the stability of the solitary waves to the rotation Benjamin-Ono equation
本文研究了旋转Benjamin-Ono方程的孤波解的几个方面。通过求解直线上的极小化问题，构造了一族偶行波$ψ_{c,γ}$。我们还研究了这个家族的强收敛性，我们建立了唯一的$ψ_{c,γ}$为$γ$足够小。注意，这改进了[5]中的结果，其中证明了基态集合的稳定性。
2017-09-17 math.AP
Statistical Mechanics of the Periodic Benjamin-Ono Equation
周期Benjamin-Ono方程是$L^2({\mathbb T})$上具有Gibbs测度的自治哈密顿系统.证明了$L^2$的有界球上的Gibbs测度满足对数Sobolev不等式.由Case发现的周期Benjamin-Ono方程的$n$ -孤子解空间是一个具有不变Gibbs测度的哈密顿系统。作为$n\rightarrow\infty$，这些吉布斯测度表现出测度集中现象。Case介绍了在复平面中由原子测度参数化的孤子解。这些测量的极限分布给出了满足等熵欧拉方程的可压缩气体的密度。
2019-02-04 math.AP
On the analytic Birkhoff normal form of the Benjamin-Ono equation and applications
本文证明了Benjamin-Ono方程在$H^{s}_{0}(\T, \R)$中的零开邻域中存在解析Birkhoff标准形，其中$H^{s}_{0}(\T, \R)$表示具有平均值$0$的元素的索伯列夫空间$H^{s}(\T, \R)$的子空间.作为一个应用，我们证明了对于任何$-1/2<s<0$，Benjamin-Ono方程$\mathcal{S}_0^t : H^{s}_{0}(\T, \R)\to H^{s}_{0}(\T, \R)$的流图在$H^{s}_{0}(\T, \R)$的零邻域内都不是局部一致连续的.
2021-03-14 math.AP
Sharp well-posedness results for the generalized Benjamin-Ono equation with high nonlinearity
在不对初始数据作小性假设的情况下，建立了广义Benjamin-Ono方程$\partial_tu+\mathcal{H}\partial_x^2u\pm u^k\partial_xu=0$在$H^s(\R)$中的局部适定性，$s>1/2-1/k$对$k\geq 12$的局部适定性.已知条件$s>1/2-1/k$是尖锐的，因为解映射$u_0\mapsto u$不属于$s<1/2-1/k$的$H^s(\R)$上的类$\mathcal{C}^{k+1}$。另一方面，在三次Benjamin-Ono方程的特殊情况下，证明了$H^s(\R)$，$s<1/3$的不适定性.
2007-03-21 math.AP
Nonlinear Stability of Periodic Travelling Wave Solutions for the Regularized Benjamin-Ono and BBM Equations
本文件有多个目标：首先，我们建立了正则化Benjamin-Ono方程在周期背景下的局部和整体适定性理论，其次，我们证明了该方程的Cauchy问题（在周期和非周期情况下）不能通过基于负Sobolev指数的Duhamel公式的迭代方案来求解，第三，周期行波解的平滑曲线的存在性的证明，对于正则化的Benjamin-Ono方程，给出了具有固定最小周期2L的解的存在性.同时还证明了这些解在能量空间$H^{1/2}_{per}$中对相同波长的扰动是非线性稳定的。最后，对正则化Benjamin-Ono方程的理论进行了推广，并作为例子证明了Benjamin-Bona-Mahony方程的椭圆余弦波解在$H^1_{per}$中是非线性稳定的.
2009-04-29 math.AP
The IVP for the Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
研究了Benjamin-Ono方程的初值问题。目的是建立加权索伯列夫空间$Z_{s,r}=H^s(\R)\cap L^2(|x|^{2r}dx)$，$s\in\R, \,s\geq 1$和$s\geq r$中解流的持久性.我们还证明了在这些空间中的解流的一些独特的连续性。特别是，这些连续性原则证明了我们的持久性属性是尖锐的。
2010-09-24 math.AP
Polynomial Bound and Nonlinear Smoothing for the Benjamin-Ono Equation on the Circle
对于Sobolev空间$H^s(\mathbb T)$，$\frac 12 < s \leqslant 1$中的初始数据，圆上Benjamin-Ono方程的柯西问题的解在时间上至多以多项式的速率$(1+t)^{3(s-\frac 12) + ε}$，$0<ε\ll 1$增长.建立这一结果的关键是发现了Benjamin-Ono方程的非线性平滑效应，根据该效应，在柯西问题的适定性理论中广泛使用的特定规范变换所满足的方程的解在去除其自由解后变得更平滑。
2020-01-19 math.AP
Well-posedness for the generalized Benjamin-Ono equations with arbitrary large initial data in the critical space
证明了广义Benjamin-Ono方程$\partial_tu+\mathcal{H}\partial_x^2u\pm u^k\partial_xu=0$，$k\geq 4$在尺度不变空间$\dot{H}^{s_k}(\R)$中是局部适定的，其中$s_k=1/2-1/k$ .我们的结果在非齐性空间$H^{s_k}(\R)$中也成立.在$k=3$的情况下，在$H^{s}(\R)$、$s>1/3$中获得局部适定性。
2008-07-14 math.AP
Global well-posedness of the Benjamin-Ono equation in H^1(R)
我们证明了Benjamin-Ono方程在$H^s(\R)$中对于$s \geq 1$是整体适定的.尽管存在非线性中的导数，但这会导致解映射对于任何$s$在$H^s$中不是均匀连续的。主要的新成分是执行一个全球规范变换，几乎完全消除了这个衍生物。
2004-06-26 math.AP
Unconditional uniqueness for the periodic modified Benjamin-Ono equation by normal form approach
我们证明了在$s>1/2$的$L^\infty_t(H^s(\mathbb{T}))$中，与修正的Benjamin-Ono方程相关联的具有周期边界条件的Cauchy问题的解（在分布意义下）是唯一的.证明是基于一个规范形式的方程的分析，通过无限多的减少步骤，使用分部积分法的时间后，一个适当的规范变换。
2019-12-04 math.AP
The dispersion generalized Benjamin-Ono equation
本文研究色散广义Benjamin-Ono方程族的适定性，通过结合拟微分规范变换、仿微分正规形式与变系数Strichartz分析，在负指数Sobolev空间中建立了与经典端点结果一致的适定性。
2024-07-01 math.AP
Invariance of the Gibbs measure for the Benjamin-Ono equation
本文考虑周期Benjemin-Ono方程。我们将建立与此方程相关的吉布斯测度的不变性，从而回答Tzvetkov [20]中提出的一个问题。作为中间步骤，我们还在比L^2粗糙的Besov型空间中得到了一个局部适定性结果，推广了Molinet [14]的L^2适定性结果。
2012-10-04 math.AP
On the flow map of the Benjamin-Ono equation on the torus
我们证明，对于任何$0 < s < 1/2$，在环面上的本杰明-大野方程是全球性的时间$C^0-$适定的索伯列夫空间$H^{-s}(\T, \R)$，在这个意义上的解决方案的地图，这是已知的定义为光滑的数据，连续延伸到$H^{-s}(\T,\R)$。解决方案映射不会连续扩展到带有$s > 1/2$的$H^{-s}(\T, \R)$。因此，临界Sobolev指数$s_c=-1/2$的本杰明-大野方程是阈值的适定性的环面。所得到的解在时间上几乎是周期性的。进一步证明了环面上Benjamin-Ono方程的行波解在$H^{-s}(\T,\R)$中对任何$0\le s<1/2$都是轨道稳定的.
2019-12-06 math.AP
Jost Solutions and the Direct Scattering Problem of the Benjamin--Ono Equation
在本文中，我们提出了一个严格的研究所产生的完全可积的Benjamin-Ono（BO）方程的直接散射问题。特别是，我们建立的Jost解决方案的Fokas-Ablowitz逆散射变换（IST）中的散射算子的存在性，唯一性和渐近性质。公式有关不同的散射系数的证明，连同其渐近行为的光谱参数。这项工作是第一步建设的BO方程的一般解决方案的IST。
2017-04-06 math.AP
Well-posedness and ill-posedness results for dissipative Benjamin-Ono equations
研究了耗散Benjamin-Ono方程组$u_t+\H u_{xx}+|D|^αu+uu_x=0$的Cauchy问题，其中含有$0\leqα\leq 2$.当$0\leqα< 1$，我们显示在$H^s(\R)$，$s\in\R$的不适定性，在这个意义上，流图$u_0\mapsto u$（如果它存在）未能在原点$\C^2$。对于$1<α\leq 2$，我们证明了$H^s(\R)$，$s>-α/4$的整体适定性.事实证明，这个指数是最优的。
2008-02-07 math.AP
