拟蒙特卡洛点集的可计算品质因数
A Computable Figure of Merit for Quasi-Monte Carlo Point Sets
AI总结：
针对拟蒙特卡洛点集，提出一种基于Walsh函数的新品质因数WAFOM，其满足Koksma-Hlawka型不等式且可在O(nSN)步内计算，通过随机搜索可得到优于传统构造的点集。
摘要：
设 $\mathcal{P} \subset [0,1)^S$ 是 $S$ 维单位立方体中的一个有限点集，势为 $N$，并设 $f:[0,1)^S \to \mathbb{R}$ 是一个可积函数。通过 $\mathcal{P}$ 对 $f$ 的 QMC 积分是 $f$ 在 $\mathcal{P}$ 中每个点处值的平均值，它近似于 $f$ 在整个立方体上的积分。假设 $\mathcal{P}$ 是通过一个具有 $n$ 位精度的数字网从 $\mathbb{F}_2$-向量空间 $P \subset (\mathbb{F}_2^n)^S$ 构造的。作为 Josef Dick 方法的 $n$ 位离散版本，我们引入了 $P$ 的 Walsh 品质因数 (WAFOM) $\textnormal{WF}(P)$，它满足 Koksma-Hlawka 型不等式，即在 $f$ 的 $n$ 阶光滑性下，QMC 积分误差被 $C_{S,n}||f||_n \textnormal{WF}(P)$ 所界，其中 $C_{S,n}$ 是仅依赖于 $S,n$ 的常数。 我们给出了 $\textnormal{WF}(P)$ 的傅里叶反演公式，该公式可在 $O(nSN)$ 步内计算。这一有效性使我们能够随机搜索具有小 $\textnormal{WF}(P)$ 值的 $P$，而对于其他品质因数（如差异度）则难以做到。通过与编码理论的类比，我们期望随机搜索可能找到比数学构造更好的点集。事实上，一个简单的搜索就能找到具有小 $\textnormal{WF}(P)$ 的点集 $P$。在实验中，我们展示了这些点集在 QMC 积分中比广泛使用的 QMC 规则具有更好的性能。我们提供了一些实验证据，表明我们的点集对于出现在金融中的甚至非光滑被积函数也是有效的。
英文摘要：
Let $\mathcal{P} \subset [0,1)^S$ be a finite point set of cardinality $N$ in an $S$-dimensional cube, and let $f:[0,1)^S \to \mathbb{R}$ be an integrable function. A QMC integration of $f$ by $\mathcal{P}$ is the average of values of $f$ at each point in $\mathcal{P}$, which approximates the integration of $f$ over the cube. Assume that $\mathcal{P}$ is constructed from an $\mathbb{F}2$-vector space $P\subset (\F2^n)^S$ by means of a digital net with $n$-digit precision. As an $n$-digit discretized version of Josef Dick's method, we introduce Walsh figure of merit (WAFOM) $\textnormal{WF}(P)$ of $P$, which satisfies a Koksma-Hlawka type inequality, namely, QMC integration error is bounded by $C_{S,n}||f||_n \textnormal{WF}(P)$ under $n$-smoothness of $f$, where $C_{S,n}$ is a constant depending only on $S,n$. We show a Fourier inversion formula for $\textnormal{WF}(P)$ which is computable in $O(n SN)$ steps. This effectiveness enables us a random search for $P$ with small value of $\textnormal{WF}(P)$, which would be difficult for other figures of merit such as discrepancy. From an analogy to coding theory, we expect that random search may find better point sets than mathematical constructions. In fact, a naïve search finds point sets $P$ with small $\textnormal{WF}(P)$. In experiments, we show better performance of these point sets in QMC integration than widely used QMC rules. We show some experimental evidence on the effectiveness of our point sets to even non-smooth integrands appearing in finance.
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