关于广义最小和集覆盖问题的一个注记

关于“连通集覆盖问题和容错连通集覆盖问题的算法”的注记

A Note on: `Algorithms for Connected Set Cover Problem and Fault-Tolerant Connected Set Cover Problem'

修正了Zhang等人提出的求解最小连通集覆盖问题的贪婪近似算法中的一个缺陷，并建立了改进的贪心算法的近似比的一个更强的结果.所得结果与连通支配集问题的已有结果一致，连通配集问题是最小连通集覆盖问题的一个特例。

关于Min-Rep标号覆盖的度与间隙的注记及连通性问题的改进的不可逼近性

A Note on Degree vs Gap of Min-Rep Label Cover and Improved Inapproximability for Connectivity Problems

本文关注约束图的度与近似标签覆盖的Min-Rep变体（又名投影博弈）的硬度差距之间的权衡。我们做了一个非常简单的观察，对于具有间隙$g$的NP-硬度，可以使度小到$O(g \log g)$，这改进了来自Laekhanukit的工作（SODA'14）的先前的$\tilde{O}(g^{1/2})$界限。请注意，我们的界限是最佳的对数因子，因为有一个平凡的$Δ$ -近似Min-Rep，其中$Δ$是约束图的最大程度。由于已知的减少，这种改进意味着更好的硬度的近似结果的根$k$ -连接，顶点连接生存网络设计和顶点连接$k$ -路由切割。

Reduction Rules and ILP Are All You Need: Minimal Directed Feedback Vertex Set

This note describes the development of an exact solver for Minimal Directed Feedback Vertex Set as part of the PACE 2022 competition. The solver is powered largely by aggressively trying to reduce the DFVS problem to a Minimal Cover problem, and applying reduction rules adapted from Vertex Cover literature. The resulting problem is solved as an Integer Linear Program (ILP) using SCIP. The resulting solver performed the second-best in the competition, although a bug at submission time disqualified it. As an additional note, we describe a new vertex cover reduction generalizing the Desk reductio…

关于Max $k$ -顶点覆盖的一个注记：更快的FPT-AS、更小的近似核和改进的近似

A Note on Max $k$-Vertex Cover: Faster FPT-AS, Smaller Approximate Kernel and Improved Approximation

在Maximum $k$ -Vertex Cover（Max $k$ -VC）中，输入是边加权图$G$和整数$k$，目标是找到$k$顶点的子集$S$，该子集最大化由$S$覆盖的边的总权重。在这里，我们说边被$S$覆盖，只要它的至少一个端点位于$S$中。我们提出了一个FPT近似方案（FPT-AS），运行在$(1/ε)^{O(k)} poly(n)$时间的问题，这改善了古普塔等人。的$(k/ε)^{O(k)} poly(n)$ -时间FPT-AS [SODA'18，FOCS'18]。我们的算法很简单：只需使用蛮力来找到最好的$k$ -顶点子集的$O(k/ε)$顶点与最大的加权度。我们的算法自然地产生$O(k/ε)$顶点的有效近似核化方案;先前，$O(k^5/ε^2)$ -顶点近似核仅对于Max $k$ -VC的未加权版本是已知的[Lokshtanov等人，STOC'17]。有趣的是，这有一个参数化复杂性之外的应用：使用我们的近似核化作为预处理步骤，我们可以直接应用Raghavendra和Tan的基于SDP的算法，用于具有基数约束的2SAT [SODA'12]，以在多项式时间内给出Max $k$ -VC的$0.92$ -近似。这改进了Feige和Langberg的算法[J. Algorithms'01]，该算法对某些（未指定的）常数$δ> 0$产生$(0.75 + δ)$ -近似。我们还…